книги / Механика сплошной среды

P = P SP, Р,

дУт

(24.9)

дхп

где Р* Sij.*— безразмерные операторы

по размерному t от раз­

из них и функций

р,

дхп

можно построить безразмерные пере-

менные и функции

t

___ to

у * .

p

Po

1 J

tso0

К

ts

ts

- p * ;

S

dxn

lo

ps

ps

к

P s

dvm

P.S'L'O

К

Os

d x n

o sl 0

К

'

Операторы

Р* и S/у*, следовательно,

обязательно

имеют вид

^=W-£-p*

-j-

Ч,^

--Л

s;, =

V

J

где обозначены

Ps

D ___ а^0

___ ^0

D

___

(24.11)

»

А 6 ---

---

, А 7---

Ро

Ps^O

*s^o

а 0

условиями, которые при

использовании констант /0, ^о, ^о, go, Ро,

Ро, oSy оо и параметров

(24.5) станут безразмерными, они опре­

деляют задачу (К).

Р = РоР* (**» •**»

F*» ^1»

^4»

^5» ^о>

R i)»

/п . 10

р = р 0Р*(.

),

Г(= У 0у1(. .),

_

*

.).

(24.12)

О ц

= о 0о * ц ( .

Скобки (

) содержат перечисленные

для

р* аргументы

и

(при

F*= const)p*,

Р \ v*i,

o'tj—

некоторые их функции.

1. Тяжелая несжимаемая идеальная жидкость

(§ 14):

р =

р о =

ся искомой функцией (дс*. t * ) .

Заданы

постоянные t0, /0, v0t g Q, р0.

Параметры подобия (24.5), (24.11)

сводятся к

^0^0

(24.13)

R2 называется параметром Фруда. Давление

в любой

точке х в

момент t в воде равно р0Ф2

Р--^зРо^оФг ( ~7~* “

»

R2 1

Яз).

(24.14)

\

Ч)

*о

/

? „.= 0 ,

P = P . ( ^ - ) V

заданные размерные

постоянные /0> v0, р0, р0, cl=ypQ/p0

(с0 —

скорость звука при давлении р0). Постоянные параметры

(24.5),

(24.11), отличные от 0, оо;

—р = -= С а= А 40 = — ,

RP= ^ ~ ,

(24.15)

V R3

с0

Ро

3. Вязкая

невесомая

(g0 = 0)

несжимаемая

жидкость (§ 15)

при установившемся движении в ней тела со

скоростью v0\ коэф­

фициент вязкости

жидкости

р = р 5,

плотность

р=ро,

характерный

размер тела /0. Соотношения

(24.3),

(24.4)

р— неопределенно,

~

/

д и ; .

d v i

\

ai7 = p

\

—

------

I

dxj

dxt

приводятся к виду

(24.9),

(24.10)

l-^o

дХ;

o s

^0

Параметры

(24.5),

(24.11) сводятся

к Яз, R4,

# 7

или

к независи­

мым

Я 3=

Ро

__1__ __

Ро^о

lS ^ - =

Re,

(24.17)

Pot’o

R4R7

р

поскольку

a0

не задано

(R4 , R7 по

отдельности

неопределенны).

Решение этих задач имеет вид

Vi=v0vi9

р = р 0р

°

а

= ± г

s a,

10

гп= 1п

Re, R3y

р*=р' ( -^ ,

Re,

R3),

s ii=S'u(jy,

Re,

R3y

(24.18)

cP=c\ivQl0 + c1p0vll2o,

c=c(Re, R3), cx= c l (Re, R3).

(24.19)

исчезнет, первое

при Re-*0,

будет линейной функцией v0y

коэффициент с

будет постоянным. Для шара (например, капли

росы)

/о=^, с=6я.

4.

Идеально упругое изотропное твердое

тело в

равновесии

Ро=р5,

модуль

объемной

упругости ps=K Па,

модуль

сдвига

G Па

(GS—2 G) ;

внешние нагрузки: объемная сила pF характери­

зуется

удельным весом

p0go,

поверхностная —

распределенной

Р’ —Р* (emn),

S*i,=S*ij(emn),

(24.20)

дит

|

дип J

дик

дик

2ет п

дхт

дхт

хп

дхп

где Xi, х2, х3 — лагранжевы

(при /= 0

декартовы) координаты то­

чек тела, связанные с вектором скорости v соотношением

— = v ( x , t ) ,

х = х

+ и (х, t),

01

(24.21)

t = 0,

u = 0 .

Из группы (24.5)

и (24.11)

и данных К, G,

находим

безразмер­

ные параметры

г

r

_

Pogp/p

r

о_

г —

г — 20

— 1~

2v

1

’

2

2G

’

3

2G ’

4

/0 ’

6 ЗА:

1 +

v

(24.22)

Первые

четыре

характеризуют

степени

деформации

от

силы

а при малых деформациях

— линейными функциями гп (п¥=5):

4

4

“‘ = /° 2 Гпф|п

V) ’ ° il=2G ^ j rn4>ii

v)

(24-24)

П — 1

П — 1

Если геометрически подобно уменьшить все размеры

тела в N

т. е. щ * , а,/*

будут одинаковыми

в

точках х//0,

если pogVo, u 0/ l 0l

0о останутся

без

изменения, т. е.

если

уменьшается в N2 раз,

удельный вес уо= роёо увеличится

в N раз, заданное перемещение

ио уменьшится в

N раз. Такое

моделирование

реализуется на

центрифугах.

сред, обладающих

склерономными

свойствами

5.

Динамика

(§ 14,

16, 17,

20)

в отношении задаваемых

внешних

констант, от­

личается от п. 4 заданием характерного времени

tQ (или

часто­

ты соо) действия нагрузки и скорости v0 какой-то

части

среды.

ру, составленному из

них

же

(например, по е /у е ;/) . Константы

/С,

G, v остаются и, может быть, дополняются

еще группой

К',

G',

ные постоянные параметры вещества — одна, две

(или

больше)

скорости звука:

С

у

=

л

[

С

,

=

т М .

(24.25)

F

З р 0

Г

р о

Безразмерные параметры

ги

г5

(24.22)

дополняются

динами­

ческими

Cl

г7 =

^ - = Л 4 0.

(24.26)

сх

Решение

задач

сохраняет

вид

(24.23),

но

в число

аргументов

u*v o*f

войдут

еще

переменная

Cit/l0

и

постоянные

г6

и

г7

выражения (24.24), но сумма будет

по

пяти rn (п= 1, 2, 3, 4, 7) и

функции ф будут иметь аргументы

f

-

v ) -

(24.27)

материала необходимо соблюдение постоянства

<т0, c/V/o,

Р0£(/о>

и0/10 и еще

из

(24.26) сохранение vQи /0со0=^о/^о;

в дополнение к

условиям п.

4

необходимо задавать одинаковыми скорости

v0 и

чить

линейный масштаб в

А/= 103, то получим для натуры

L0~

~ 0 ,2

км, /г0 — 60 м, d0~ 4 0

м, причем необходимый заряд

Q0=

= N 3Q ~ 1000 тонн.

6.

Примеры

решения задач

МСС или

их

упрощения,

получае­

мые на основе я-теоремы

(§14,

18, п. 2).

скоростью v в

а)

Внедрение

жесткого

конуса

с

постоянной

идеально

пластическое

несжимаемое

невесомое

полупространст­

во. Даны

плотность

среды р, предел текучести ст5, угол раствора

конуса

а.

Вместо

времени

t примем

за

независимую

переменную

глубину

по­

гружения h=vt. Найдем площадь кон­

такта s и силу сопротивления 9*. Полная

группа

безразмерных

параметров:

по­

стоянные

сводятся

к двум

Gs/pv2

и

а;

переменных

нет;

искомые

Q)\=9>lpv2h2y

0 2= s//i2. Согласно

я-теореме

Фь Ф2

за­

висят только от Oslpv2, т.

е.

получаем

формулы

<р“

р л ,ф 1 (-$ -■ “)•

5=,,ф -

а )

(24.28)

функции Фь Ф2 можно найти теоретиче­

ски и из опытов. Для идеальной жидкости

G s = 0, и потому Фь Ф2 постоянны

(зави­

Рис. 24.1

сят от а).

Сосредоточ

б)

ски действует на границу упругого

полупространства

по

нормали

(§

15);

найти

перемещение

и

и напряжения оц

в

любой

точке

М{г,

ф)

среды,

где г,

ф

—

и = Г1 | г

ф (ф,

V ) - - ^ - Ф ( ф ,

V),

о„

- 4

ф ;, (Ф, V),

(24.30)

Г2

у = с 0Ф1(у, М0, 0 ,

р=

р1Ф2(у,

Af0, £), р = р 1Ф3(у,

М0, £), (24.31)

т. е. уравнения в частных производных

(13.4),

(13.6)

согласно пре­

образованиям производных

J L =

__ £2

d

dt

t

at,

dx

c0t

dt,

становятся обыкновенными

£ ( 1 - & » - ^ - = - £ -- ^ - ,

£ ( l- £ y ) - § - = 0 .

(24.32')

d£

p dl

dl

чения, находим

из (13.29), (13.25)

*

_

од - * - = 0 , s = c vIn -В- + const.

(24.32")

dt

dl

PY

Система трех уравнений (24.32)

для трех функций v, р, р с на­

чальным

условием £=0

(£=0), v=v{=01 р=р\, p=pi и граничным

условием

на поршне:

v=v0 при x=v0t или

при

Z==MQ~X (М0=

= v o/co),

имеет

два различных решения. При положительной ско­

рости поршня

(^о> 0, М0> 0) решение имеет вид

ударной

волны.

v = v 2= const= vQ,

р = р 2= const,

(24.33)

причем

эти постоянные возникают

скачком

на

фронте

x=Dt и

вместе

с

D определяются из (12.23), (13.30). При

^0< 0 энтропия

не изменяется

на фронте x=c0t, и решение

находится из

(24.32')

ч,

kpo §Tds

(25.4)

Я=/г1р0Т —

б

0

10

(1Т

и обозначить

S

хт

(7*=йр0 j*Т ds,

um= —kqm,

zm=

(25.5)

0

~ к Г ’

то получим систему

дТ

дит - 0

,

дТ

ё'Уит —0 ,

т - 1 ,

2, 3,

(25.6)

дг

dzm

дгт

а в случае одномерной задачи — два уравнения

дЭ-

да

_ 0)

д Г

е - у

ы _ 0 .

(25.7)

дх

dz

dz

6Г=£Г®,

и = ^ - .

(25.7')

у т

После этого

система (25.7) интегрируется, т. е. находится част­

ное

решение

(25.7)

вида (25.7'). Излагаемый ниже метод

в этом

примере

позволяет

найти еще одну существенно отличающуюся

от

(25.7')

замену

переменных,

также сводящую задачу

к двум

х: х1,

х2,

х\

х1',

xN*

(г,

/ =

1,

2,

Nx)\

(25.8)

У- Уг,

У\

Ук,

У1,

У"«

Ф,

1 =

1,

2,

Ny),

частные производные у по х обозначим р :

Р

dy

Dk=

дУк

nk. =

дук

(25.9)

dx

1

dxi ’

J

dxi

Нл*. У>

р ) = н $ ( х> y ) p + H°s{x,

у) =

Н\к(х, y)pki+H'\(x, у) = О,

s =

1, 2,

N.

(25.10)

Рассмотрим некоторое

взаимно

однозначное

преобразование

всех переменных х,

у к новым х'у у':

x '= f { x ,

у):х'1= ! ц {ху

у),

i = l ,

2,

Nx\

у'=& '{х,

у):у'к= Р ' к(х, у),

6 = 1 , 2 ,

Nyy

(25.11)

x=f(y',

у’):х‘= У (х 'у у')-,

У= $ г (х 'у у')\ук= З к{х'у

у').

Подставляя х , у в

(25.10),

получим

преобразованные выражения

коэффициентов в переменных х', у' и уравнения

# ,(*,

У .

P ) = f i , V

,

&

)P +

H

l ( f ,

& )

= Н 1

{ Х

' У У ' ) р

+ н 1 ° ( х ' у

у ' )

= 0

(25.12)

Решением

(25.10)

называется у =

у ( х

) ,

а в новых переменных у ' =

= у ' ( х ' ) ,

причем р

=

д у / д х , р ' = д у ' 1 д х '

Дифференцируя по

х '

при

y ' ^ y ' i x ' )

равенство у =

у ( х ) :

Fix'*

У')=У(!(х'>

У'))у

получим уравнение для определения р через р'\

РЗГ

D f_

D

д

,

д

(25.13')

Dx'

~

Р Dx'

’

Dx'

дх’

ду’

В компонентах (25.13')

означает систему Nv-Nx уравнений для та­

кого же

числа p,fc (i= l,

2, . . . ,

NXy 6=1,

2,

. . . . A/v):

D f g.

. =

-U o'l

195 l.'tt