книги / Механика сплошной среды

ББК 22.25 И 45 УДК 531.01

Рецензенты:

кафедра теории упругости ЛГУ, профессор В . С. Ленский

Ильюшин А. А.

И 45 Механика сплошной среды: Учебник. — 3-е изд. — М.: Изд-во МГУ, 1990. — 310 с.

ISBN 5—211—00940—1.

В учебнике (2-е изд. — 1978 г.) рассматриваются статистическое обоснование основных понятий и полевых функций механики сплош­ ной среды (МСС), даны теория деформаций, напряжений и процессов деформации и нагружения в окрестности точки тела, законы сохране­ ния и функциональные представления термодинамических функций, теория определяющих соотношений и уравнений состояния, Замкнутые системы уравнений МСС и общие постановки краевых задач. Даны об­ щие преобразования квазилинейных уравнений МСС, упрощающие анализ и нахождение их решений. Подробно излагаются теория клас­ сических сред, сред со сложными физическими свойствами, описано действие электромагнитного поля, а также дана теория размерности й подобия с примерами ревизионного анализа уравнений МСС.

Для студентов университетов и вузов по специальности «меха­ ника».

ПРЕДИСЛОВИЕ

Механика сплошной среды (МСС) — раздел теоретической физики, в ко­ тором изучаются макроскопические движения твердых, жидких и газообразных сред. В ней вводятся фундаментальное понятие материального континуума и полевые характеристические функции, определяющие внутреннее состояние, движение и взаимодействие частиц среды, взаимодействия между различными контактирующими средами. Для этих функций устанавливаются конечные, дифференциальные и другие функциональные уравнения, представляющие фи­ зические свойства среды в виде определяющих соотношений, и законы сохра­ нения массы, импульса, энергии и баланса энтропии. Выясняются начальные

и граничные условия, при которых все характеристические функции в средах могут быть найдены чисто математически аналитическими и числовыми методами.

Исторически МСС развивалась параллельно с аналитической механикой сис­ темы материальных точек и абсолютно твердого тела. Но ее основные понятия полей: плотности массы, векторов перемещения и скорости среды, тензоров

внутренних напряжений, деформаций и процессов деформации, плотности кине­ тической и внутренней энергии и энтропии, а также законы сохранения и урав­

метры различных проектируемых аппаратов, сооружений, конструкций и про­ цессов. МСС — обширная и очень разветвленная наука, включающая теорию упругости, вязкоупругости, пластичности и ползучести, гидродинамику, аэроди­

что возникла обширная литература по всем этим разделам МСС, ее приложе­

Сен-Венана... теория упругости и гидродинамика (см. гл. IV) до недавнего вре­ мени представляли главное содержание МСС: единые для жидкостей и упругих тел представления и определения внутренних сил и перемещений в теории нап­ ряжений и деформаций (гл. II), связь между напряжениями и деформациями

в виде обобщенных законов упругости и вязкости (гл. IV), различные формы уравнений движения, постановки, методы и решения многообразных проблем

изадач естествознания и техники.

Всередине XX в. в теории пластичности выработаны общие принципы ее

построения, и произошло существенное обогащение и развитие основ МСС. Уже в начале столетия стало ясно, что «законы» упругости и вязкости прибли­ женно представляют уравнения состояния сред лишь в определенных диапа­ зонах параметров движения, но не представляют их, например, в пластической и вязкоупругой области деформаций металлов и полимеров, в области неодно­ родных турбулентных движений вязких жидкостей и газов с большими ско­ ростями и т. д. Постулатом макроскопической определимости в МСС устанав­

чениями деформации, скоростей деформаций и температуры, а всеми их зна­

температура частицы однозначно представляют термомеханический макропро­ цесс (гл. III). Следовательно, в общем случае напряжения и тепловыделение среды выражаются характерными для нее функционалами процесса, а не функ­ циями его мгновенных значений (при т = /)-

Поскольку классическая теория деформаций, напряжений и уравнений дви­

ние понятия материального континуума и функции поля в нем, причем на на­ иболее далекой от непрерывной сплошной среды статистической механической системе материальных точек. Излагаемые позже в гл. II и III основы МСС, аксиоматические понятия скорости движения, плотностей массы и энергии, энт­ ропии и количества тепла в гл. I возникают как статистические понятия, по­ лучают естественную статистическую трактовку. Этот результат служит еще одним основанием для применения методов МСС к весьма сложным системам тел.

Оглавление дает достаточное представление о структуре и содержании учебника. Для многих сплошных сред и тел с простыми и сложными физичес­ кими свойствами изучающий узнает полные замкнутые системы разрешающих уравнений, типичные граничные условия и условия на волновых фронтах, пос­ тановки краевых задач, простые методы их анализа на основе теории размер­ ностей и подобия и получит доступ к свободной проработке и активному ис­ пользованию любого из перечисленных выше разделов МСС; но что, пожалуй, более важно — изучающий научится методам построения фундаментальных математических моделей механики сплошных сред, познакомится с методом построения полных систем уравнений МСС, особенно уравнений состояния среды, т. е. в определенной мере научится переводить на язык математики и ЭВМ интересующие естествознание и практику новые явления природы, про­ цессы в новых материалах и средах с заранее неизвестными физико-механи­ ческими свойствами. Поэтому автор придает значение гл. III и V, в которых разъясняются особенности взаимодействия термомеханических и электромаг-

А. А. Ильюшина, В. А. Ломакина, А. П. Шмакова «Задачи и упражнения по механике сплошной среды» (Изд-во МГУ, 1979) по-прежнему представляет полный курс МСС, читавшийся автором в Московском государственном универ­ ситете по специальности «механика» для студентов механико-математического

ника и механика деформируемого твердого тела выделены в самостоятельные курсы.

ных и других специальностей ВТУЗов и что введение курсов лекций с упраж­ нениями по МСС в учебные планы ВТУЗов — естественный путь повышения

правление ошибок в текстах и выкладках, сотрудникам кафедры Л. С. Харько­ вой, В. И. Шестаковой, Т. М. Серединой — за скорую техническую подготовку рукописи, с. н. с. А. Д. Пучковой — за редактирование и оформление, с. н. с.

Глава I

СИСТЕМА ЧАСТИЦ И КОНТИНУУМ

Физическое тело в классической статистической механике обычно представляют в виде системы большого числа .частиц, взаимодействующих между собой и с пограничными телами и на­ ходящихся в поле внешних сил. Для такого тела предполагаются справедливыми классические законы механики системы матери­ альных точек (или законы квантовой механики). Предполагается, что любая частица системы взаимодействует с границей лишь в непосредственной близости к ней. Взаимодействие между любы­ ми двумя частицами системы не допускает их соударения, но позволяет им как угодно удаляться. Например, потенциал и цент­ ральную силу взаимодействия двух электрически нейтральных атомов часто представляют в виде «6—12» Леннарда—Джонса:

где 01 — характеристическая, выраженная в кельвинах (К) температура взаимодействия атомов, k= 1,38-10-21 Дж-К-1 — пос­ тоянная Больцмана, г — расстояние между атомами, а — равно­

мере удаления частиц, составляя менее 1% от максимальной уже при г= 2а. Силы притяжения существенны для объяснения агре­ гатных состояний. Сила взаимодействия частиц F, следователь­ но, возникает при сближении и исчезает при удалении на рассто­ яния порядка а (рис. 1.1). Величину d порядка а называют диа­ метром атома, хотя масса его сосредоточена в ядре значительно меньшего диаметра. Модель атома представляет собой точечную массу, заключенную в упругую, почти безынерционную, шаровую

Движение системы большого числа взаимодействующих частиц во внешнем силовом поле может представлять движение и свойства

тела в различных агрегатных состояниях. Моделью твердого тела при сравнительно низких и нормальных температурах и давлениях является система почти плотно упакованных частиц, совершающих небольшие тепловые колебания около состояния равновесия; мо­ делью газа — система удаленных

(на расстояния r> d) частиц, взаи­ модействующих только при «соуда­ рениях», т. е. сближениях на рас­ стояния порядка диаметра частиц d и, следовательно, совершающих хаотическое движение. Охлаждать систему — значит уменьшать кине­ тическую энергию хаотического дви­ жения, нагревать — увеличивать. Охлаждение и нагревание возможно за счет внешнего силового поля. При охлаждении системы — газа — в результате соударения двух ча­ стиц с некоторой малой энергией происходят «захваты», система ста­ новится жидкостью, а при дальней­

шем охлаждении переходит в твердое тело с колебаниями частиц около положения устойчивого -равновесия.

Приведенное качественное описание может быть дополнено количественными методами аналитической механики системы ма­ териальных точек, но очень велико число материальных точек (скажем, порядка 1020 в 1 см3), и потому информация об их ин­ дивидуальных движениях практически ничего не говорит о мак­ роскопических свойствах движения тела. Специальный подход к этой проблеме дают методы статистической механики, позволя­ ющие ввести необходимые в МСС основные понятия — плотности, скорости, внутренних напряжений, энергии, температуры, энтро­ пии и количества тепла.

В механике сплошной среды тело представляют в виде некото­ рой субстанции, называемой материальным континуумом, непре­ рывно заполняющей объем геометрического пространства. Беско­ нечно малый объем тела также называется частицей. Феномено­ логически вводятся понятия плотности, перемещения и скорости, внутренней энергии, температуры, энтропии и потока тепла как непрерывно дифференцируемых функций координат и времени. Вводятся фундаментальные понятия внутренних напряжений и деформаций и постулируется существование связи между ними и температурой, отражающей в конечном счете статистику движе­ ния и взаимодействия атомов. В МСС используются основные уравнения динамики системы и статистической механики, в пер­ вую очередь законы сохранения массы, импульса, энергии и ба­ ланса энтропии. Обоснование этого и установление соответствия

вводимых феноменологических и статистических одинаковых поня­ тий и величин целесообразно для более полного понимания и возможно на основе статистической механики. Некоторым вопро­ сам взаимосвязи аналитической механики, статистической меха­ ники и МСС посвящена эта глава.

§ 1. О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ

Рассмотрим свободную от связей систему N = n/3 материаль­ ных точек, обладающую, следовательно, n = 3N степенями свобо­ ды. Прямоугольные декартовы координаты любой k-n точки обо­ значим х к= (хм -2, хзл-i, *зь); т{к)=тзк-2 =гпзк-\=тзк— ее масса.

=U(xi, ..., хп, t) и непотенциальной F -. Функцией Лагранжа системы называется

где К —кинетическая энергия системы. Уравнения движения можно записать в виде уравнений Лагранжа 2-го рода:

Внутренние силы (взаимодействия частиц) предполагаем центральными и имеющими потенциал U' (х, t), внешние — час­ тично потенциальными: #Y = —dl//dxi + F£. Из уравнений движе­ ния точки в векторной форме

G = L<?

k^-\ о

называемые: Я — средней кинетической энергией системы, В — вириалом (в некотором смысле — средней работой системы). До­ пустим еще, что для любого i

т. е., например, xit xi ограничены по модулю. Тогда, умножая уравнение (1.3) на xkdt!2, интегрируя по / от 0 до т и суммируя по всем k, получим теорему вириала:

в небольшом объеме пространства, в среднем неподвижной, т. е.

к уравнениям состояния системы в' целом и проверяется непосред­

поля. Поэтому составление выражения функции Лагранжа пред­ ставляет основную задачу механики системы. Все необходимые дифференциальные уравнения движения находятся формально из уравнений Лагранжа (1.2).

Введем новые переменные 1— импульсы и координаты:

Pi = mixl, qi = Xi\

тогда

L=L(q, q, t)= K (q )-U (q , t),

Легко видеть, что

Функцией Гамильтона, зависящей от координат qi и импульсов pi, называется

При этом предполагается, что система п уравнений (1.5) разре­ шена относительно ф, и эти выражения подставлены в функцию Лагранжа и первую сумму формулы (1.6). В случае декартовых координат построение функции Гамильтона системы является эле­ ментарным. Криволинейные координаты часто более удобны для анализа динамики систем.

Пусть п независимых криволинейных координат (называемых также лагранжевыми координатами) определяют все декартовы Xi, число которых также 3N. Пусть дано преобразование

Тогда

I I 2 , т к‘<™'' i-i /=1

Следовательно, кинетическая энергия остается квадратичной одно­

родной функцией скоростей ф, но коэффициенты kij зависят от координат qit