книги / Теория признаков распознавания образов на основе стохастической геометрии и функционального анализа

262 Гл. 12. Стохастическое распознавание в задачах прогнозирования

По аналогии, для линз третьей группы получим непересеченный резерв

Вероятность непересечения линз четвертой группы

1 - li.hi.

ab

и, следовательно, непересеченный резерв

Lihi

£ R ( ' - ab i=q+ 1

Общий пересеченный резерв при использовании решетки исследо­ ваний размера а х b будет

Выразим непересеченный резерв в процентах: (R*/R) • 100%. Вместо резерва руды можно было определить резерв металла Q*y

содержащийся в непересеченных линзах. Выраженный в процентах, он равен (Q*/Q) • 100%, где Q соответствует полному резерву металла во всех линзах. Ориентировочное среднее содержание металла в каждой линзе Ст = Q/R, после исследования с помощью объемной решетки оно уточняется:

г* = Q - Q *

тR - R * '

Ошибка, которая допускается по определению среднего содержания металла в линзе, есть Ст — С^, или в процентах по отношению к начальной оценке содержания металла

С—с*

™та • 100%.

т,

Она зависит от размера решетки геологических исследований а х Ь. Выполнив эти вычисления для различных решеток исследований, изменив шаги а и Ъ, можно найти решетку, которая позволила бы обна­ ружить резерв руды и металла в пределах допустимых погрешностей,

но с наименьшими затратами.

Числовые расчеты резервов руды и металла для различных решеток геологических исследований а X Ъ. Предположим, что име­ ем статистические данные резервов линз из областей предполагаемого месторождения (длиной I и высотой h). По описанной методике для каждой линзы вычисляют вероятность непересечения с решетками исследований а х Ъ (а — шаг вертикальных работ, b — шаг гори­ зонтальных работ), затем определяют резервы руды и металла (в процентах от общего резерва). Эта зависимость выражена графически

264 Гл. 12. Стохастическое распознавание в задачах прогнозирования

На основании данных, приведенных в таблице, можно сделать вывод, что при допустимой ошибке от непересечения или допустимых резервах, лежащих в пределах от 5 до 10%, приемлемые диапазоны значений шага горизонтальных и вертикальных работ соответственно 5 0 ... 100 и 5 0 ... 67,5 м. Это означает, что рост ошибок от непересече­ ния линз больше зависит от роста шага а горизонтальных работ, чем от роста шага b вертикальных работ.

Для выбора оптимальных размеров решетки необходимо при по­ строении номограммы учитывать и экономический критерий [101]. Этот критерий может быть найден из сравнения экономии, полученной от увеличения размера решетки геологических исследований, и эко­ номии, связанной с ростом стоимости добычи, обусловленной некото­ рыми дополнительными работами, которые нужны при более широких решетках [135].

12.4. Прогнозирование областей минерализации

Целью прогнозирования областей минерализации является опреде­ ление числа геологических тел или залежей ископаемых [36, 43, 101]. Предположим, что исследования осуществляются с помощью бурения

всоответствии с квадратной решеткой а х а. Свойства пересечений решетки такого типа с геометрическими объектами рассмотрены выше

вглаве 3.

В§ 4.3 было установлено, что вероятность пересечения линзы, имеющей в горизонтальной проекции форму круга, по крайней мере, с одной линией квадратной решетки

при D < a V2

где D — средний предполагаемый диаметр проекции линзы на гори­ зонтальную плоскость, а общее число линз диаметра D оценивается с

помощью формулы

(12.4)

где n(D) обозначает число линз диаметром D, пересеченных с решет­

кой.

Если линзы имеют разные значения диаметров Dj < а V2, то общее число линз в исследуемой области оценивается по формуле

(12.5)

где то — число вариантов диаметров линз; то,- — число пересечений или частота пересечений линз диаметром Dj с решеткой геологических исследований.

Предположим, что с помощью бурения скважин было пересечено определенное число линз разных диаметров и определено следующее

распределение значений диаметров D j < a\J2:

Среднее значение этих диаметров

YlnjDj

D = ^=,-----

3

Средняя площадь горизонтальных проекций линз

Отсюда общая полезная площадь (площадь прогнозирования) для линз с диаметрами Dj < ау/2

К общей полезной площади горизонтальных проекций линз диа­

метром Dj < а у/2 , пересекаемых решеткой геологических исследова­ ний, следует добавить и площадь проекции больших линз диаметром

Dj ^ а \/2 , которые заведомо пересечены решеткой (вероятность Р = = 1). Обозначим через В площадь этих больших линз, тогда общая площадь пересечений для линз любого диаметра

= ж— N0 + В.

Для каждого типа минерализации исследуемой области можно с помощью геологических исследований оценить среднюю плотность минерализации d, измеряемую в т/м2 [70]. Тогда прогнозируемый в ис­ следуемой области резерв минерала будет рассчитываться по формуле

Q = d { ^ D 2NQ+ B) .

Предположим теперь, что исследуемая область имеет следующую особенность типа минерализации: месторождения ископаемых имеют характер пластовых жил. Геометрическим аналогом пластовых жил являются отрезки линий, ибо толщина жил обычно неизмеримо мень­ ше их длины. Очевидно, что число пластовых жил в области геологи­ ческих исследований априорно неизвестно. Открытие и исследование пластовых жил может быть произведено с помощью геофизических или геохимических методов в соответствии с решеткой [36, 43, 135].

Решетка геологических исследований для такого типа месторожде­ ний представляет собой решетку параллельных профилей с шагом а, геометрическим аналогом ее является решетка параллельных линий, рассмотренная в главе 3. В результате применения геофизических или геохимических методов исследования по направляющим линиям

266 Гл. 12. Стохастическое распознавание в задачах прогнозирования

решетки в некоторых точках будут получены аномальные значения данных по отношению к значениям в большей части области. Сум­ мируя общую геолого-геофизическую картину области, можно выде­ лить среди аномальных значений те, которые обусловлены пластовыми жилами минерализации. Топографическая позиция этих аномальных значений (координаты по направляющим) указывает место пересечения пластовых жил с направляющими решетки. На основании данных про­ веденных исследований попытаемся оценить общее возможное число пластовых жил, их среднюю длину и запасы минерала. Оцениваемое число пластовых жил определенной длины k при условии k < а в со­ ответствии с формулой (3.15)

д>/7 \ _ ^

N(h) — — ' ^ ni>

где через щ обозначено число пластовых жил длиной k, пересеченных данной решеткой геологических исследований, расположенной случай­ но; а* — шаг решетки, равный расстоянию между параллельными линиями.

Общее число пластовых жил независимо от их длины, но с k < а

составит

т

No

где т — число градации пластовых жил по длине.

Далее, воспользовавшись оценкой средней длины пластовых жил I из (3.3) и, зная плотность минерализации d на единицу длины пласто­ вых жил, можно оценить запасы исследуемой геологической области

Q = Njpld.

Оптимизация решеток параллельных профилей. В предшеству­ ющем параграфе отмечалось, что полная оптимизация решеток гео­ логических исследований предполагает использование экономических критериев. Оптимизация на основе экономических критериев означает сопоставление затрат на геологические исследования по данным ре­ шеткам со стоимостью резерва, который может остаться невыбранным, если исследования ведутся данной решеткой.

Исходными данными для расчета и оптимизации служат таблицы частот пересечения щ, имеющих распределение вида (12.6). Эти таб­ лицы (12 .6) строятся на основе геологических опытов, проведенных в соседней области минерализации, или данных подобной с геологиче­ ской точки зрения области. Для иллюстрации методики оптимизации воспользуемся практическими данными конкретного месторождения, описанного в [135]. Распределение частот для решетки параллельных профилей по этому месторождению приведено в табл. 12 .2 .

Далее определяются вероятности пересечения Р* с решеткой для каждого размера г* геологического тела — линзы или пластовой жилы. Определение вероятности пересечения осуществляется либо по мето­ дике, описанной в §3.3, либо по специальным номограммам из [101]. Найденные значения Pi заносят в табл. 12.3.

Таблица 12.3

Вероятность пересечения

Теперь для решеток можно вычислить число геологических объек­ тов каждого размера, которые не пересекаются решеткой: Д = Результаты занесем в табл. 12.5. По данным табл. 12.5 видно, что наблюдается быстрый рост числа объектов, которые не пересекаются решеткой при увеличении ее шага а. Таким образом, в качестве количе­ ственного критерия рациональности выбранной решетки геологических исследований можно принять потери от общего ресурса, или запаса, руды или минерала, которые являются следствием непересечения ре­ шеткой части объектов.

270 Гл. 12. Стохастическое распознавание в задачах прогнозирования

12.5. Оценивание и прогнозирование в экологии

Стохастическая геометрия успешно может применяться для реше­

чающегося в сканировании изображений случайным отрезком прямой длины I и усреднении числа пересечений, можно выполнять исследова­ ния по оценке растительного покрова или плотности ареала. Объекты на изображении могут иметь произвольную форму, быть выпуклыми областями или кругами, и чем конкретнее, точнее удается сделать выбор геометрических элементов-аналогов объектов на изображении, тем результативнее анализ, основанный на применении стохастиче­ ской геометрии. Разумеется, результативность достигается при условии адекватности геометрических элементов объектам.

Будем предполагать на первом этапе исследований, что оценивае­ мые объекты-области на изображении имеют произвольную форму и в среднем занимают Р-ю часть общей площади изображения. Допу­ стим также, что изображение настолько велико, что можно пренебречь краевыми эффектами, заключающимися в уменьшении объема выборки случайных отрезков, которые пересекают геометрические элементы при приближении к краю. Пусть случайные отрезки пересекают эти

убедиться в этом, рассмотрим какой-нибудь дифференциальный эле­ мент сканирующего отрезка dx. Вероятность того, что этот элемент попадет при случайном сканировании в какую-либо из анализируемых областей, равна Р , и, поскольку математическое ожидание суммы слу­ чайных величин равняется сумме математических ожиданий, справед­ ливо утверждение, что ^2gi = lP. Эту процедуру оценивания можно осуществлять с помощью устройства, рассмотренного в § 2.3, анализи­ руя по фотограммам изображения растительного покрова. Результатом анализа будет оценка площади областей. Оценку дисперсии, получа­ емой при работе устройства оценки площади, также можно получать экспериментальным путем, повторяя многократно процесс анализа и вычисляя выборочную дисперсию.

Для практики наряду с оценкой общей площади областей важна оценка плотности их расположения на изображении, т. е. оценка числа областей, приходящихся на единицу площади изображения. Получение этой оценки в принципе невозможно без предположения о форме областей. Будем считать их кругами со случайными диаметрами и с плотностью распределения f(2R). Тогда ожидаемое число кругов в большой области изображения площадью Q, диаметры которых лежат в пределах (2R, (2R + dR)), равно 2XQf(2R) dR. Следовательно, общее ожидаемое число кругов равно AQ (см. § 2 .2).

Таким образом, оценивание плотности расположения областей сво­ дится к оцениванию А. Его также можно осуществить путем слу­ чайного сканирования изображения отрезком длины I и измерения пересечений. Этот сканирующий отрезок образует хорду или часть