книги / Скоростное деформирование конструкционных материалов
..pdfКонечно-разносная аппроксимация уравнения энергии не зави сит от конкретного вида функции р = р (V, U), хотя возможно и приводит к незначительному снижению точности вычислений.
При записи уравнений движения предполагалось, что в них вхо дит истинный тензор напряжений, правильным образом, ориентиро ванный относительно осей координат (г, г).
Рассмотрим движение расчетной сетки за время At. Зная старые и новые координаты ее узлов, можно по соотношениям (8.34) определить тензор приращений деформаций, правильным образом ориентирован ный относительно системы координат (г, z).
Движение ячейки кроме чистой деформации включает в себя также перемещение и поворот в плоскости (г, z), вместе с которым поворачивается и ее напряженное состояние (главные оси тензора напряжений), т. е. меняется вид тензора напряжений по отношению к неподвижным осям (г, г).
Для того, чтобы получить истинное напряженное состояние ячейки в момент t + At, необходимо записать компоненты тензора напряже ний в момент t в неподвижной системе координат (г, z) и добавить к ним приращения напряжений, связанные с приращениями дефор маций за время At.
Отметим, что приращения девиатора тензора напряжений вида Asrr = 2G [Aerr — AV/SV] и т. д. ориентированы правильным об разом по отношению к системе координат (г, г), что вытекает из пра вильной ориентации приращений деформаций. Отметим также, что компонента sфф при повороте ячейки в плоскости остается неизмен ной.
Известно, что если две системы координат связаны линейным пре образованием, при котором точка X переходит в X ' = [со] то компоненты одного и того же тензора второго ранга в этих системах координат связаны между собой соотношением
[s] = [(Of [S'J[(D], |
(8.36) |
В нашем случае система X есть исходная неподвижная система координат (г, z), а система X' жестко связана с ячейкой расчетной сетки. В момент i системы X и X' совпадают. В момент t 4 - At си стема X ' оказывается повернутой относительно х на угол а, который можно определить, разлагая поле перемещений на чистую деформа цию и поворот
Матрица поворота в плоскости (г, z) имеет вид
cos а, |
— sin а ] |
sin a, |
cos a J ’ |
откуда sin а = At (durldz — диг1дг)12
или
2sin а = {dvT!dt — dvjdr) At.
252
ш
I |
© I |
© |
I |
FT |
|
щ\ |
|
______ |
|
||
I |
I |
I |
Г Т |
I |
|
! |
© |
© |
|
L____ l_____I
I
Рис. 8.3. Условие симметрии в схеме Уилкинса
Рис. 8.4. Расчетная сетка для реше ния задачи о собственных колебаниях упругого шара
чах о сильных ударных взаимодействиях изделий из реальных кон струкционных материалов граничные условия такого рода пред ставляют в основном методический интерес, поскольку реализовать их на практике не представляется возможным.
Предполагая, что проскальзывание на границе раздела материа лов отсутствует, будем считать, что граница проходит по узлам рас четной сетки, в которых определены скорости. При этом один и тот же узел будет участвовать в расчетах деформаций материалов, лежа щих по обе стороны границы, чем достигается непрерывность поля перемещений на границе раздела. Массу, ассоциированную с узлом (1—2—3—4) и третьи слагаемые в уравнениях движения в этом слу чае следует усреднять с учетом соответствующих масс и плотностей ячеек, окружающих данный узел.
Программная реализация разностной схемы, обсуждаемой в на стоящей главе, выполнена на кафедре механики МИЭМ в виде ком плекса программ на алгоритмическом языке фортран-4 для ОС ЕС ЭВМ. В состав комплекса входят интерпретатор входного языка, управляющий процессом вычислений, подсистемы генерации рас четной сетки и росписи ее начальными условиями, собственно раз ностная схема, а также ряд подсистем для анализа результатов рас чета. К их числу относятся программы изображения на графопо строителе конфигураций расчетной сетки, генератор отсчетов для отображения функций состояния в виде графиков и/или таблиц, программы построения аксонометрических проекций трехмерных графиков функций состояния, вычисления интегральных характе ристик решения, обеспечения рестарта.
Оценим достоверность реализации и точность числового метода, обсуждаемого здесь, путем сравнения числового и аналитического решений задачи о колебаниях упругого шара.
Рассмотрим однородный шар, ограниченный свободной поверх
ностью радиуса R0, из |
линейноупругого |
материала плотности р |
|
с параметрами Ламе X и р,. Воспользуемся |
системой уравнений |
дви |
|
жения в перемещениях |
|
|
|
Р i*l |
— + Р) М;. JI + |
}]' |
(8.38) |
254
Рис. 8.5. Эпюры компоненты скоро сти vr в различные моменты времени
5
О
- 2
-1,0 |
-0,5 |
0 |
0,5 |
zlR |
Рис. 8.6. Эпюры касательных напря жений
первой формы собственных колебаний такого шара со = 2,3768301, период Т = 2л/ш = 2,6435146. Чтобы избежать эффектов, связан ных с геометрической нелинейностью задачи, выберем амплитуду формы С = 5-10“6. При этом максимальное радиальное смещение
«шах = max С | rf (г) | ~ С | rf (г) |г=0,8 = 5 • 10“° • 2,87 = 1,435.10"5,
Г
что составляет не более 0,002 % от радиуса шара.
Выберем в качестве начальных условий значения первой соб ственной формы колебаний шара в момент = я /2, когда пере мещения отсутствуют, и следовательно, равны нулю поля деформа ций и напряжений
|
еГг (г, к ) = |
ezz (г, /0) = |
ефф(г, /0) = |
егг (г, t0) |
= |
0; |
|
Р ( л |
t0) |
= Srr ( г , |
to) = Szz (/■, |
to) = SqMp (Г, |
to) — S rz ( г , |
^o) = 0, |
|
а радиальная |
компонента поля |
скоростей |
|
|
|
||
|
|
|
v(r, t0) = - C a r f{ r ) . |
|
|
(8.44) |
|
Система |
уравнений (8.38) — (8.40) с начальными |
и |
граничными |
условиями решалась числовым методом, изложенным выше, на рас четной сетке, показанной на рис. 8.4. Сравнение числового и анали тического решений иллюстрируется рис. 8.5 и 8.6.
На рис. 8.5 приведены эпюры компоненты поля скоростей vr вдоль Or (сплошные линии) в различные моменты времени с шагом
в 0,1 периода Т, а также радиальная компонента скорости |
v (г) |
аналитического решения (штриховые линии) в те же моменты |
вре |
мени. Расхождение между ними не превосходит 10 %. Видно, |
как |
с течением времени распространяются возмущения, вызванные не точностью дискретного анализа граничных условий для свободной поверхности.
На рис. 8.6 в условных единицах приведены эпюры давления и компонент девиатора тензора напряжений вдоль ячеек, прилегаю-
256
Рис. 8.7. Зависимость скорости от |
Рис. 8 .8 . Зависимость внутренней |
координаты |
энергии от времени |
щих к оси симметрии Ог в момент t = 0,27\ Отличие от нуля сдвиго вой компоненты srz объясняется тем, что давление и компоненты девиатора согласно принятой разностной схеме относятся к центрам ячеек расчетной сетки.
Рис. 8.7 иллюстрирует радиальную симметрию числового реше ния. На нем изображено распределение vz (сплошная линия) число вого решения, а также распределение компоненты vz (сплошная ли ния) числового решения вдоль оси 0z в момент t = Т (через период), и аналитическое решение в тот же момент (штриховая линия).
Дискретный аналог закона сохранения энергии при колебаниях шара иллюстрируется рис. 8.8, на котором по горизонтальной оси отложено время, а по вертикальной — отклонение полной энергии Uj от первоначального значения, (Uf — Uf0)IUf0, %. Полная энер гия шара Uf подсчитывается как интеграл по объему от суммы плот ностей кинетической и внутренней энергии
Uf = \d V р [(vj + vl)/2 + v],
где v — удельная внутренняя энергия на единицу массы. При вы числениях вместо интегралов берутся соответствующие конечные суммы по расчетной сетке.
Величина Uf сохраняется с точностью до 3—4 %, причем от клонения носят периодический характер, и не наблюдается система тического накопления ошибок.
23.Эпштейн Г. Н., Кайбышев О. А. Высокоскоростная деформация и струк тура металлов. М.: Металлургия, 1971. 197 с.
24.Barker Z. М., Butcher В. М., Karnes С. Н. Yield-point phenomena in impact
loaded 1060 aluminum. — Journ. Appl. Phys., 1966, vol. 37, p. 1289.
25.Chhabildas L. C., Swegle J . W. Dynamic pressure-shear loading of materials using anisotropic crystalls. — Journ. Appl. Phys., 1980, vol. 51, No. 9, p. 4799—4807.
26.Jones 0 ., Holland J . Effect of grain size on dynamic yielding in explosively
loaded |
mild steel. — Acta |
Met., |
1968, vol. 16, p. 1037. |
||||
27. |
Jones О. |
E., |
Mote J . |
D. |
Shock induced dynamic yielding in cooper single |
||
crystals. — Journ. |
Appl. |
Phys., |
1969, vol. 40, No |
12, p.4920—4928. |
|||
28. |
Jones О. |
E., |
Neilson |
F. |
N., Benedick W. B. |
Dynamic yield behavior of ex |
plosively loaded metals determined by a |
quartz transducer technique. — Journ. Appl. |
Phys., 1962, vol. 33, No 11, p. 1227— |
1229. |
29.Hayashi T., Tanimoto N. Behavior of materials under dynamic combined stresses of torsion and tension. In: IUTAM Symp., Tokyo, 1977 «High Velocity De formation of Solids», Springer—Verlag Berlin, 1978, p. 279—288.
30.Holland J . R. Strain ageing effects and stress relaxation in iron during shock loading. — Acta Met., 1967. vol. 15, p. 691.
31. |
Kim |
K. S., |
Clifton |
R. I. Pressure-shear impact |
of 6061—T6 alum inium .— |
Journ. |
Appl. |
Mech., |
Trans. |
ASME, 1980, vol. 47, No |
11, p. 11—16. |
32.Lee R. S., Suh N. P. Deformation of annealed low carbon steel at high strainrate. — Journ. Mech. Phys. Solids, 1972, vol. 20, p. 251—264.
33.Lindholm U. S. Some experiments with the split Hopkonson pressure bar. — Journ. Mech. Phys. Solids, 1964, vol. 12, p. 317—335.
34.Lipkin J., Asay J . R. Reshock and release of shock-compressed 6061—T6
aluminium. — Journ. Appl. Phys., 1977, vol. 48, No 1, p. 182—189.
35.Rohde R. W. Dynamic yield behavior of shock-loaded iron from 76K to 573K.— Acta Met., 1969, vol. 17, p. 353.
36.Seaman L., Curran D. R., Shockey B. A. Computational models for ductile
and brittle fracture. — Journ. Appl. Phys., 1976, vol. 47, No 11.
37.Tanaka K., Ogawa K., Nojiina T. Dynamic strength of Tialloys and Al-alloys. In: IUTAM Symp., Токуо, 1977 «High Velocity Deformation of Solids», SpringerVerlag, Berlin, 1978, p. 98—107.
38.Taylor J ., Rice M. Elastic-plastic properties of iron. — Journ. Appl. Phys.,
1962, vol. 34, No 2, p. 751-758.