книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

Т е о р е м а

92. Если оператор А нормально разрешим и Uj

яв­

ляется нормальным решением уравнения ( 1),

го

^

/ 6

+ h %/~5

|! и /1 |/Д 2/3

. ,

0 2 )

min || иа - Uf \\н ^ 3 ^ ----------

;------

' ----

)

II w0 II

-

Заметим, что оценки (10) и (И )

справедливы

и

без

предполо­

жения о нормальной разрешимости оператора А.

Оценка

(12)

со­

ный оператор А ,,: Н-+ F, \\ А - Ah || < h, || f b - / 1| F < 6

и задача

( 1) заменена задачей

Ahu = f b .

(13)

Оператор А считаем нормально разрешимым. Обозначим

через Р

факт, что QA - подпространство, и применить известную

теорему

Банаха о близких оператора* [131].

С л е д с т в и е . При достаточно малых h оператор А /г

нормаль­

но разрешим.

lim

Нк * - uf ||// =

0,

1ОI - О

где | а\ =

( h2 + 52)1'2.

Рассмотрим задачу минимизации функционала

Ф2{и] = Фа [м;Л/1, / б]

=

= II A h и - f b И2, + ot || и || //,

и G Н,

(14)

где OL >

0 -

параметр регуляризации, и пусть и 2 -

решение этой за­

дачи. Тогда

Ф£[и2 ] <

Фа[и]

Чи

е К

Полагая здесь и = uai имеем

\\Ahu°a - fb II?.- +<* || и°а \\н < \\А„иа - f 6 ||? + а

|| иа \\н.

Пусть

/ 6 = f'b

+ f'8', f'h

= P f 5,

f 8 1 f 8. Используя равенство

Пифагора, получаем

,

« ArhUa - f l

II?- + <*||И* II?/ + ll/s” II? <

< a | | u 0 ||?

+

II/;' II?,

так как

|| A„u0 -

f l

||F

=

0.

Следовательно, ||

II я

^

II “ о II я

при любом a > 0. Кроме того,

II Ahи°а -

fb

II ?

<

а( || иа || н -

|| и°а || ?/) <

< 2а || м о || я II мa —Ua || я •

Обозначая z =

иа, получаем

\\A„z ||?

<

2a

|| ист ||я

II z || я ,

II z II я

< II А/, || || A„z ||F <

|| A l || (2 а || иа ||я II г II н ) ш .

Следовательно,

II г ||я

<

II м2 -

Ия

<

2а || Л/, ||2 || иа \\н .

Из полученного соотношения и леммы 46 следует

Т е о р е м а

93. Пусть а,

| о\ -+0. Тогда и°-+Ыр При этом

|| и %

-

U f

II н

<

< 5

IM,; II + 1A l -

а + II \\f\\F + 2a\\A*h ||2 ||мст Ия-

Таким образом, при достаточно малых OL мы имеем

W u Z - i / / l l F<5I U/ ; i l

+ I M ,; - ^ + ll II/HF -

Отметим, что так

как

а,

0 независимо, то в рассматри­

ваемой

ситуации не возникает проблемы выбора параметра регу­

решения задачи в оператор А и и правую часть Д

вносятся допол­

нительные ошибки, так что A h

= A fl + SAhy

f 6 = f b + 5Д и

|| 8Ah ||

<

т ,

|| 6Д

|| < т . Предполагается, что т < | о | .

Пусть и° -

точное решение задачи минимизации функционала

К [ ы ]

= Ф* [ u\ Ah, f 8 ],

и е н .

Выбирая

о:= т2^3 и используя оценку (12),получаем \\и £ -и 0\\н <

< Сат 2/3, где

Со равномерно по о ограничено. Таким образом,

если при приближенном решении задачи (14) положить а = т2/3,то

\\Z£

- u f \\H < \ \ U o - u f \\H + С0т2/3,

и так как

т < | а |, то погрешность реально вычисленного решения

ИИ о -

U f

II Н ^

II Wa - U f II н

Пусть (1)

-

система линейных алгебраических уравнений с мат­

рицей порядка

п и вычисления ведутся на машине с плавающей

запятой. Если t —количество разрядов в двоичном представлении

мантиссы,

то, используя алгоритм, описанный

в

[8], получаем

т = 0 ( 2 ~ ')

и следует потребовать т < h. Выбор значения парамет­

ра а =

2“ 2^3

обеспечивает, как правило, численную устойчивость

метода.

6.

Изложенная выше методика может быть применена для чис­

13. В. А . М орозов

193

7.

Рассмотрим отыскание псевдорешений задачи (1)

при допол­

нительном предположении: Н = F, А* = Л,

А неотрицательно

определен. Нормальная разрешимость оператора А не предполагает­

ся, требуется лишь, чтобы псевдорешение Uf

задачи (1)

сущест­

вовало.

Пусть v a - решение (очевидно, единственное) уравнения

(аЕ

+ A )va = f t

а > О,

т.е. иа является решением регуляризованного

специальным обра­

зом уравнения

( a £ + A f i/a - А/.

(15)

ном смысле уравнению А 2иf = А / , то иа = (аЕ + А) ~2А 2 иf

и

Uf - иа - а ( а Е + 2А)(аЕ +A)~2Uf.

(16)

Т е о р е м а

94. Справедливо предельное соотношение

lim || uf -

иа ||// = О,

OL *О

рое

спектральное

разложение единицы, порожденное опера­

тором А:

м

Аи

- f \ d t \ u .

(*)

{аЕ + 2А)(аЕ+А) - 2и = / ---------

г dExu,

с оператором АИ= — (А

+ А ) и

полагая

d v a

(18)

= va + а

dot

Здесь

оператор A h уже

самосопряжен и удовлетворяет оценке

||Л -

Д. Уравнение (17)

всегда однозначно разрешимо

при а > А.

Используя неравенство треугольника, имеем

lim

|| и а -

и а || я

= 0.

5, л -

о

Тогда

II

- Uf\\H

о,

| о | -►0.

формулой. Пусть а и

та — два соседних значения параметра,

т ^ 1 . Тогда имеем

и* % v a +«- ос — та

Va - Vr

= ”<*+ —1 —т

Как было отмечено, при Auf Фf

элементы иа не сходятся к Uf

при ос

^ 0. Если же A Uf- / , то имеет место предельное соотношение

lim

II va - Uf || я = 0,

(19)

Мой II*

<

Mo IIII и ||я,

и е

н .

Если Uf.e В , то вместо (19)

имеет место более сильное соот­

ношение

lim || uf

-

va \\B = Q.

(20)

а -* О

Докажем это. Легко видеть, что

va - U f

1

= -------(>lo(i>a - Uf)+auf ).

1 +а

Но тогда

II

va -

Uf II в ^

1

<

-----------(

M

o II II Va - U f \ \ H

+ а

|| Uf | | в )

0 , а ^ О ,

1 + а

II Va -

иа II н

<

^

•

С другой стороны,

Va ~~VQC “

1,

1

С^О( V#

f ~ /*)»

+ а

поэтому

1

II Va -

Va

Iв

io l l | + So].

1

+ а

II va - Uf\\B

So

0 ,

ot + —

0 .

\ \ A u - f W r ,

и е я,

(1)

\\Аи\\р+(Ти,и)н

> к2 || и || //,

u e D T ,

(2)

где к ~ к (А, Т) > 0 -

постоянная, не зависящая от выбора и.

Определим функционал

Ф г[м ;£] = \\A u - g \\2F + ( Тиуи )н ,

и Е DT ,

где g Е F — произвольный

элемент. Легко видеть, что элемент

uj Е DT , минимизирующий

[м; g ], удовлетворяет уравнению

(Г + А*А)ит

= A *g.

(3)

В силу (2) уравнение (3) имеет единственное решение

ит = R Tg,

R T = (Г + Л * А Г 1А*

Пусть элемент / задан приближенно: / =

/ + £, где | - некото­

рый ’’малый” в определяемом ниже смысле

случайный процесс со

значениями в Я, для которого выполнено условие

= 0, где М —

оператор математического ожидания. Пусть иг = R r /;

положим

е2г (игЛ ) = M\\Rr f ~ uf \\н

е т({иГ}, Ш )

=

sup

ет{иЛ)-

и t

{иг ), це {О

Далее рассматриваются следующие задачи.

З а д а ч а

I. Построить оператор

Topt G { Г), определяемый

из условия

€T ov t ( { u r ) *

Ш

) =

inf € T { { u f ) >

{ Н ) -

( 4 )

т

и = и +и",

А *Аи

= О,

.so

и '±и\

и'*-

2

и, =(м,

(5)

/ : 1

Заметим, что условие А Аи = 0 эквивалентно условию А и = 0.

Полагая

со,- =Ае,'1 \ А / , замечаем, что

А *A ajj

= yf \j со,-,

( со,-,

со,-)// = 6//.

где 6 ij -

символ Кронекера:

5 {у = 0, / =£/,

< 5 = 1. Из предыду­

A*g’= 0. g"= 2 gfUj, gi = (g, w , ) / .

( 6 )

Из (5) и (6) следует

Л е м м а

48.

Если Uj -

псевдорешение (1), то

2

а

A

f i

Ujeit

щ = — — ,

i = \

V X i

fi = (/. cOi)F,

i =

1,2,...

(7)

Далее

всюду

будем

считать, что класс {Г} = (Г:

7е, = а,-*/,

л/ > 0}.

Справедливо представление

Л е м м а

49.

// = ( /. <0,)|Г, /,= /} + * /, !/ = U

, л#«г=0.

Заметим, что а,-

+ X ,•

>

> 0 в силу (2).

Рассмотрим

случай,

когда

возмущение £

принадлежит классу

{ £ } А= {?: sup о? < о1 } , где о - некоторая

заданная положитель-

°

i

причем

о2 > sup а?,

о] = М%2. Таким образом, £

ная величина,

может быть обобщенным случайным процессом.

Л е м м а

50.Для любых ТЕ {Т},

£ Е { £ }л

4 -(«/,£ )=

2

\ ( * i

+ V )2

(9)

i-l

еор10 /, £)

S

о Щ

( 10)

Х#(а?+/,2)

при а/ = a ? pt ='^f0 2!f'j(i

= 1, 2 , ...) . Следовательно, ({7'},м ^,£ )-

оптимальное приближение имеет вид

ц.р, = S

/7

\

/ /

( п )

( —

/ VT7

/ - - 1

V а/