книги / Регулярные методы решения некорректно поставленных задач

ББК 22.19 М80 УДК 519.6

М о р о з о в В.А. Регулярные методы решения некоррект­ но поставленных задач. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1 987 .- 240 с.

Вопросы регуляризации некорректно поставленных задач имеют как теоретическое, так и практическое значение, поскольку некор­ ректно поставленные задачи часто возникают на практике и в различ­ ных областях науки - в физике, механике и др. Книга содержит систематизированное изложение важнейших результатов по регуля­ ризации.

Для научных работников в области прикладной математики. Ил. 4. Бибпиогр. 147 назв.

Р е ц е н з е н т доктор физико-математических наук О.М. Алифанов

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Ряд задач математической физики сводится к необходимости решения уравнений вида

ния D Ai действующий из метрического пространства U в аналогич­ ное пространство F. Задание пространств U и F является необхо­ димым элементом математической постановки задачи ( 1), в тесной связи с которым находится важное определенйе ее корректности. Именно, Ж. Адамару [106, 107] принадлежит следующее опреде­ ление: задача ( 1) называется корректно поставленной (или кор­ ректной) , если выполнены условия:

1) область значений QA оператора А совпадает с F (условие разрешимости);

2)равенство Аих = Аи2 для некоторых иь и2 € DA влечет ра­ венство их ~и2 (условие единственности);

3)обратный оператор А~х непрерывен на F (условие устойчи­ вости) .

Выполнение условий 1) —3) корректности по Адамару казалось настолько естественным для всякой разумной математической задачи, что Адамар высказал мысль о нефизичности любой некор­ ректной, т.е. не удовлетворяющей всем требованиям 1) —3) задачи. Ему же принадлежит классический пример некорректной задачи — задачи Коши для уравнения Лапласа, который приводится в любом курсе математической физики. Как впоследствии оказалось, необ­ ходимость решения именно этой задачи возникает в самых разно­ образных областях математики и естествознания в целом. Так, к решению задачи Коши для уравнения Лапласа сводится проблема продолжения аналитических и гармонических функций, ряд гео-

и&юфизических задач, задачи обтекания тел сверхзвуковым потоком и др. Задача Коши для уравнения Лапласа стала

модельной в многочисленных научных исследованиях в 50-е годы [35,110].

Приблизительно в то же время бурно начали развиваться общая теория и методы решения некорректных (неустойчивых) задач.

5

Это развитие связано с именами видных советских математиков А.Н. Тихонова, Г.И. Марчука, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также с созданной ими математической школой, во многом определившей пути развития теории некорректных задач, ставшей одним из самых плодотворных направлений современной вычисли­ тельной математики.

Интенсивное развитие методов решения неустойчивых задач было предопределено широким внедрением ЭВМ в математические исследования и в народное хозяйство, что в свою очередь, по зако­ ну обратной связи, вызвало поток разнообразнейших задач, решить которые было необходимо в кратчайшие сроки. Потребовалось развитие новых приближенных методов, которые могли быть при­ менены для решения существенно более широкого класса задач, не стесненного жесткими рамками корректности их математичес­ кой постановки. Только при этом условии можно было справиться с задачами (в основном, неустойчивыми), поставляемыми геофи­ зикой, спектроскопией, электронной микроскопией, автоматичес­ ким регулированием, теплофизикой, гравиметрией, электродина­ микой, оптикой, ядерной физикой, теорией плазмы и другими областями науки и техники.

Предпосылки развития приближенных методов решения некор­ ректных задач были заложены в фундаментальной работе А.Н. Ти­ хонова [89], где введен важный класс так называемых обратных задач, связанных с восстановлением количественных характе­ ристик среды по порождаемым ею физическим полям, доступным для измерения. К обратным задачам (как правило, некорректным) сводятся многие задачи теории и практики обработки физического эксперимента, восстановления неизвестных параметров по некото­ рой системе функционалов от решений [46, 76] и др.

А.Н. Тихонову принадлежит следующее обобщение классическо­ го (по Адамару) понятия корректности, в основе которого лежит фундаментальная идея сужения области определения исходного оператора [89]. Именно, задача (1) называется корректной по Тихонову (условно корректной) , если:

1') априори известно, что решение задачи ( 1) существует для некоторого класса данных из F и принадлежит априорно заданному множеству M C D a \

2') решение единственно в классе М\ 3') бесконечно малым вариациям правой части ( 1), не выводя­

щим решение из класса М, соответствуют бесконечно малые вариа­ ции решения.

Множество М назьюают множеством корректности. Впервые А.Н. Тихонов обратил внимание на следующую топологическую теорему, дающую достаточные условия для корректности зада-

6

чи ( 1) в его смысле и играющую в теории методов решения некор­ ректных задач важную роль.

Т е о р е м а (об устойчивости обратного оператора). Если не­ пустое множество М QDA - компакт и удовлетворяет условиям Г) и 2'), то при непрерывном А обратный к нему оператор А~], рассматриваемый на образе множества М, является непрерывным.

Как заметил М.М. Лаврентьев [37], при выполнении условий теоремы существует непрерывная неубывающая функция щ(т) = = со(т\ М),т> 0, щ(0) = 0 такая, что для любых и, v из М, для кото­ рых pF (Au, AV) < г, имеет место оценка: PL,(u, и) о(т). Здесь ри и pF обозначают расстояния в метрических пространствах U и F соответственно. Функцию оэ(г) часто называют функцией коррект­ ности (ши устойчивости) задачи ( 1) на множестве М. Очевидно, функция GJ(г) равна модулю непрерывности оператора А~х на образе М.

Обобщения этой теоремы на метрические и топологические пространства в случае замкнутого оператора А получены В.К. Ива­ новым [22, 27], а в случае необратимого оператора - О.А. Лисковцом [44]. Локальный вариант этой теоремы рассмотрен в [53].

Теорема А.Н. Тихонова об устойчивости обратного оператора, показывая возможность устойчивого решения ( 1), еще не опре­ деляет метода решения. Трудность заключается в том, что на прак­ тике обычно не выполняется условие принадлежности задаваемой

приближенно правой части / уравнения (1) образу оператора А

на множестве АГ, т.е. уравнение ( 1) неразрешимо при заданном /. М.М. Лаврентьев показал [37], что при определенных условиях на оператор А можно заменить задачу (1) на близкую, но уже разрешимую при любых / Е F . При этом существенным момен­ том приближенного решения ( 1) являлось необходимое знание как точности задания элемента / , т.е. оценки уклонения pF (f,f) < < 5, так и функции корректности со(г). Это позволило М.М. Лав­ рентьеву указать алгоритм построения таких приближений и Е U,

для которых рц (й, и) -►О, когда рр ( /,/) - * 0 (где и - решение ( 1), принадлежащее компакту Л/), для достаточно широкого класса задач. При аналогичных условиях задача рассматривалась Джо­ ном [108].

В.К. Иванов, используя некоторые идеи математического программирования, продвинулся дальше. Именно, в работах [20. 21] он избавился при приближенном решении ( 1) от задания функ­ ции корректности со(г). Вместе с тем не требовалось и знания 5, характеризующего точность задания правой части (1). Однако метод В.К. Иванова требовал задания компактного множества М, т.е. множества корректности задачи ( 1).

7

Приближенные решения, названные В.К. Ивановым квазиреше­ ниями, определялись как элементы и Е Л/, на которых

ном А и условии компактности М следует из того, что непрерывная

функция $(и) = pF (Аи, / ) (и Е М) на компакте достигает своей

нижней грани. Сходимость непосредственно следует из теоремы о непрерывности обратного оператора. Метод квазирешений имеет наглядную геометрическую интерпретацию, что послужило отправ­ ным пунктом для ряда исследований. В случае, когда U и F гиль­ бертовы, а М = MR = { и Е U: \\и\\ц < R } - слабый компакт, метод квазирешений сводится к необходимости решения операторного уравнения второго рода

шения интегральных уравнений Вольтерра первого рода.

Нетрудно видеть, что квазирешение обобщает классическое по­ нятие решения уравнения Аи = / (и ЕМ).

Метод квазирешений обобщался как В.К. Ивановым, так и дру­ гими авторами в различных направлениях. В частности, эти обобще­ ния состояли в отказе от требования единственности решения ( 1), а также непрерывности оператора А. В работе [61], в частности, не требовалась компактность множества М при построении квази­ решений. См. также [28, 29,45].

Существенному продвижению теории решения некорректных задач способствовал метод регуляризации, предложенный А.Н. Ти­ хоновым [90, 91 ]. По существу, общая теория решения некоррект­ ных задач была заложена на основе этих работ. Метод регуляриза­ ции Тихонова основан на радикальной идее о стабилизации мини­

мума уклонения значений Аи от заданной правой части / при помощи некоторого вспомогательного неотрицательного (сглажи­ вающего) функционала £2 (и ), определенного на некоторой части U0 С D a , которая сама является метрическим пространством. Требуется, чтобы множества Мс = { и Е U0: £2(м) <С } были ком­ пактны в U при любом С > 0. Относительно решения ( 1) предпо­ лагается, что оно содержится в Мс при некотором значении С < +°°. Тогда решается задача минимизации по и Е U0 параметрического функционала Тихонова

Ma [u\f] = p 2F{Au,f) + аП 2(ы), а > 0.

8

Решение этой задачи иа при определенном выборе параметра регуляризации а - а (б) принимается за приближение к искомому решению и. Доказывается, что при равномерной по б ограничен­

ности отношения 5/х/сГэлементы иа -+и в пространстве U при 5 -*0. В дальнейшем А.Б. Бакушинскому [3] и В.А. Морозову [50] уда­

Метод регуляризации А.Н. Тихонова оказался необременитель­ ным на практике, так как не требовал фактического задания ком­ пакта М, в котором содержится искомое решение уравнения ( 1). При линейном А и гильбертовых U и F метод регуляризации сво­ дился, как и при применении метода М.М. Лаврентьева, к решению уравнения второго рода:

(<хЕ +А*А)йа - А */ , а > 0,

и выбору параметра а. В случае нелинейного А требовалась мини­ мизация параметрического функционала, определенного ранее.

Основная трудность применения метода регуляризации заключа­ лась в формулировке алгоритмических принципов выбора парамет­ ра регуляризации а. Этим вопросам посвящен ряд работ автора. Так, в [50] при основных предположениях Тихонова предложен и обоснован способ выбора параметра а по значениям функционала

Ма[и\ / ] на регуляризованных решениях из условияМа[иа\ /] = = б2 (метод стабилизирующего функционала). Для нелинейного случая этот метод обоснован в [53].

В работах [51, 52] для линейных операторных уравнений был предложен и обоснован выбор параметра регуляризации в соот­ ветствии с принципом невязки (целесообразность применения это­ го принципа отмечалась также в работе [16]), являющимся пере­ несением широко используемого на практике критерия точности приближенных решений на некорректны^ задачи. Именно, параметр

женном задании оператора А, Его уточнение было получено в [10]. Эффективные численные алгоритмы выбора параметра регуля­ ризации, непосредственно реализуемые на практике, были получе­ ны в работах [72, 79]. Это позволило осуществить и внедрить в практику вычислений ряд программ, написанных на языке фортран. Существенный эффект при этом достигается за счет при­ менения метода В.В. Воеводина для решения регуляризованной

задачи [8,9].

Дальнейшему развитию метода регуляризации посвящен целый ряд работ: [3, 6, 7, 12, 18, 33, 44, 48, 79, 86-97]. Специальной

9