книги / Расчет конструкций при случайных воздействиях

извольного числа моментов времени. По ним могут быть построены соответствующая функция и плотность этого распределения.

Вначале определим одномерные функции распределения про­ цесса и его первых двух производных по известным моментам их распределений

где n == 1, 2, . . .

Дисперсии и центральные моменты порядка п для всех этих распределений обозначим через о2 и тп. Тогда плотности иско­

Плотность распределения процесса и его первых двух произ­ водных для совпадающих моментов времени может быть представ­ лена в виде следующего ряда:

ОО

f (х, х, х) = h (.х) /2 (х) f3 (х) £ ckф№(дг) <p2h (х) фзь(х ), (1.26) k—O

где <Pih (JC), qp2h (ж), ф3й (х) — ортогональные нормированные полиномы, соот­ ветствующие весовым функциям fi, f2 и f3, т. е. для них выполняются соот­

ношения ортогональности

21

Подставляя полиномы (1.28) в выражение (1.29), замечаем, что коэффициенты сп определяются моментами (1.22)—(1.24).

Действительно, из этих соотношений следует, что.

оо оо оо

и T. Д.

Аналогично определяют совместную плотность распределения процесса и его первых двух производных для любого числа несов­ падающих моментов времени.

Если процесс является Гауссовским, то плотность его совмест­ ного распределения с двумя первыми производными также будет Гауссовской. Эту плотность можно записать в следующем виде:

Mij — алгебраическое дополнение элемента Kij в определителе [Ж |; К и — вто­ рые центральные моменты распределения (1.32),

*(*i) = 2j, Х(^) = г2, X (t3) = Z3, . . ., X (tn) = Zan.

Таким образом, задача построения совместной плотности рас­ пределения Гауссовского процесса и его первых двух производных сводится к вычислению моментов в матрице (1.33).

Вычислим эти моменты для Гауссовского стационарного про­ цесса. Будем рассматривать два момента времени it и tj, разделен­ ных интервалом т = tj—t-t.

22

Имеем:

K Xixj = <* f t ) х f t » = f t (0) х f t - ti)) = К ft);

= ft ft) * ft» = -щ- (х f t) х ft» = К(х) = —K*j*i;

Кх& = (х ft) х (tf)) = -g r ft ft) * ft» = * (т>^ AV ‘ ’

Полученные соотношения можно обобщить в виде следующей формулы:

где индексы v и / показывают порядок производных.

Матрица моментов совместного распределения Гауссовского процесса и его первых двух производных для^ произвольного числа моментов времени представлена следующей формулой:

К( 0) ........................................................ K ( x h) k ( x h) X p h )

* Точками сверху и цифрами III и IV показан порядок производных.

23

Из формулы (1.35), как частный случай, получаем матрицу моментов совместного распределения процесса и его первых двух производных в совпадающие моменты времени:

М 12 ■— м21— М23 — М 92 — 0.

Используя матрицу (1.36), можно записать следующие выра­ жения для матриц моментов двухмерных совместных распреде­ лений процесса х (i) и его первой производной i (/), а также пер­ вой и второй производных этого процесса. Соответственно имеем:

Приведем также матрицы моментов совместных распределений процесса и его первой производной, а также первой и второй производных для двух моментов времени 0 и т. Соответственно имеем:

Рассмотрим нестационарные Гауссовские процессы, которые могут быть приведены к стационарным и описаны математической моделью (1.3). Процесс х0 (i) будем считать стационарным, со сред­ ним значением, равным нулю. Корреляционную функцию этого

24

процесса обозначим через К (т). Тогда корреляционная функция процесса, определяемого соотношением (1.3),

Предполагается, что процессы х„ (t), хх (t) и х2 (t) статистически независимы. Из соотношения (1.41) при т = 0 получаем дисперсию процесса х (t)

Из соотношения (1.45) при т = 0 получаем коэффициент кор­ реляции между процессом х it) и его первой производной в совпа­

дающие моменты времени

Также вычисляют и другие моменты распределения процесса (1.3) и его первых двух производных.

25

Корреляционные моменты нестационарных составляющих хх (t) и х2 (t), а также из первых двух производных вычисляют по формулам (1.42), (1.44), (1.46), (1.48), (1.51)—(1.54).

Так, если процессы xL(t) и xz (t) заданы в виде степенного ряда (1.1) со случайными статистически независимыми коэффициентами, то

Аналогично вычисляют и другие коэффициенты.

Для последующего анализа представляют особый интерес нор­

Из соотношений (1.55)—(1.60) видно, что в числителе первых двух коэффициентов отсутствует дисперсия скорости чисто слу­ чайной составляющей процесса нагружения. Так как для реаль­ ных процессов эта величина значительно больше, чем все осталь­ ные, то можно считать, что почти всегда эти коэффициенты намного меньше единицы и ими можно пренебречь. В этом случае плот­ ности совместных распределений процесса И его первой производ­ ной и первой и второй производных этого процесса можно запи­ сать в виде произведения соответствующих одномерных плотно­ стей:

Третий коэффициент можно считать постоянным гХх ~ так как для реальных процессов почти всегда Кх,х, <С К (0).

26

6. Спектральный анализ случайных воздействий

Преобразование Фурье корреляционной функции определяет спектральную плотность, или энергетический спектр, случайного процесса

Ряд полезных соотношений можно получить, дифференцируя соотношение (1.69). Имея в виду, что в практических расчетах следует использовать лишь действительную часть этого соотно­ шения, получаем

т, ■

и т. д.

Из этих соотношений при т — 0 получаем, что все нечетные производные равны нулю, а четные определяются соотношениями

27

и т. д.

Примеры наиболее употребительных нормированных корре­ ляционных функций и соответствующих им энергетических спек­ тров приведены в табл. 1.2.

Т а б л и ц а 1.2

Корреляционные функции и энергетические спектры случайных процессов

28

7. Примеры описания нагруженности конструкций

Основными задачами при описании нагруженности элементов конструкций являются выбор и обоснование математических

и построение совместных распределений процессов и их произ­ водных.

Рассмотрим примеры реализации решения этих задач для слу­ чая, когда основной математической моделью непрерывного во времени процесса нагружения является Гауссовский стационар­ ный процесс. На его основе с помощью обобщенной модели (1.3) можно описать широкий круг характерных особенностей в нагру­ жении самых различных элементов конструкций. Выбор модели нагружения производится на основе качественного анализа общего процесса функционирования элемента конструкции. Строгое ста­ тистическое обоснование математических моделей и проверку соответствующих статистических гипотез адекватности моделей реальным процессам нагружения можно найти в специальной ма­ тематической литературе [25, 29].

Пример 1. Требуется описать нагруженность болта в соединении с натягом, показанным на рис. 1.5. Характерной особенностью этого соединения является постепенное уменьшение натяга со временем.

Обозначая стационарную составляющую процесса нагружения через xQ(t),

струкции которой показаны на рис. 1.6. Характерной особенностью нагружен­ ности такой рессоры в наиболее опасной центральной зоне является постепен­ ное увеличение напряженности, обусловленное ослаблением затяжек стремя­ нок 1 со временем.

(1,3). При ха (/) яв 0 она принимает вид произведения х (() = х0 (0 Xi (/). Не­ стационарную составляющую Xi (О, так же как и в первом примере, можно опи­ сать степенным рядом (1.1).

Рис. 1.5. Нагруженность болта в соединениях с натягом:

X) (<) — внешнее воздействие; xf (/) — усилие затяжки; х (1) — суммарное воздействие

29

бательном состоянии, в случайный момент времени действует случайный по величине импульс силы.

Рис. 1.7. Нагруженность вращающихся деталей:

а — схема нагружения; 6 — вид процесса нагружения; в — плотность распределения процесса нагружения; г — нагружение дирка; д — нагружение колеса со спицами

3Q