книги / Проблемы теории пластичности и ползучести

где

подстановка которого в соотношение (40) дает возможность утверждать, что

Теперь, используя теоремы, доказанные в разд. 3 и 4, можно сформулировать следующий ограничивающий принцип:

Теорема III. Остаточные перемещения, возникающие при произвольной программе нагружения, начинающейся от нена­

при условии, что Rs меньше статической разрушающей на­ грузки /?<?, а напряженное состояние crfy+orf/ (сумма чисто

упругих напряжений, соответствующих Rs, и переменных ос­ таточных напряжений off) находится внутри поверхности те­

кучести.

Однако решение вышеупомянутой задачи оптимизации в общем случае может быть весьма трудным. В связи с этим приобретает важное значение получение более элементарных оценок, которые могут быть легко вычислены и являются при­ емлемыми для инженерной практики. В частности, первое про­ стое ограничивающее неравенство можно записать в виде < (р) < йрг { \ «V+j r i j A,mtfs<sd'v} ■ 15°)

где Rc — значение Rs, отвечающее статическому разрушению;

ственно отвечающие ему остаточные напряжения.

Второй способ определения элементарной оценки можно получить, если предположить, что величина Rs совпадает с предельным упругим значением /?£. В этом случае, поскольку

Очевидно, что наилучшей оценкой, которую можно найти при данном подходе, является наименьшая из величин, опре­ деляемых неравенствами (50) и (51).

Наконец, было бы полезно отметить, что все полученные выше результаты можно распространить на одно- и двумер­ ные континуумы при использовании подходящих компонент обобщенных напряжений и деформаций. Кроме того, тем же способом можно анализировать условия однопараметриче­ ского нагружения, поскольку они могут рассматриваться как частный случай в теории приспособляемости.

В качестве примеров ниже рассмотрим две простые одно­ мерные задачи.

6. ПРИМЕРЫ

Приведенные ниже оценки предназначены только для ил­ люстрации простейшей техники определения границ, основан­ ной на неравенствах (50) и (51).

В качестве первого примера рассмотрим двухпролетную балку, изображенную на рис. 1,а. Неразрезная балка имеет постоянное сечение с предельным пластическим моментом МР,

изгибной жесткостью в упругой стадии Е1 и нагружена си­ лами F\ и Fz, изменяющимися независимо в одинаковых пре­ делах:

0 < F i </=■()>

(52)

Наибольшее значение F0l при котором балка приспособит­ ся, определяется величиной (см., например, [11, стр. 135])

а

Рис. 1.

Эпюра остаточных моментов Ms* при F0 = Fs изображена

на рис. 1,о; величина остаточного момента в сечении В определяется соотношением

з*

откуда следует вторая оценка перемещения w%:

Теперь, для сравнения полученных оценок с действитель­ ным состоянием конструкции при заданном цикле нагружения предположим, что после возрастания нагрузки F\ от нуля до FQ эта нагрузка остается равной F0 в то время как F2 может изменяться между нулем и тем же значением F0.

После простых вычислений остаточное перемещение

фициента запаса 5.

Различие между наилучшей полученной оценкой и действи­ тельной величиной весьма значительно, но оно может

быть уменьшено при использовании техники оптимизации об­ щего выражения, определяющего искомую оценку (48). Огра­ ничиваясь упрощенными неравенствами (50) и (51), можно надеяться определить лишь порядок остаточных перемещений.

Чтобы показать теперь, что результаты этой статьи позво­ ляют получать также границу остаточных перемещений в кон­ струкциях, подверженных однопараметрической нагрузке, ис­ следуем в качестве второго примера балку с защемленными концами (рис. 4, а). Балка имеет постоянное сечение с пре­ дельным пластическим моментом Мр и изгибной упругой жест­ костью EI и подвергается действию равномерно распределен­

Принимая во внимание, что

16Мр

равенство (71) можно переписать в виде

Результаты этих вычислений вместе с оценкой (70) показаны на рис. 6 как функции коэффициента запаса 5.

И в этом случае можно отметить, что различие между кри­ выми, определяющими оценку и действительное значение пе­ ремещения, достаточно велико.

7.ВЫВОДЫ

Встатье обсуждался метод получения верхних оценок для остаточного перемещения точки упругопластической конструк­ ции, подверженной переменной нагрузке.

Оценка получена в виде суммы перемещений, определяемых из энергии упругой деформации двух остаточных напряжен­ ных состояний: первое соответствует фиктивному условию на­ гружения, полностью определяемому теми характеристиками