книги / Применение методов теории вероятностей и теории надёжности в расчётах сооружений
..pdfПусть совместная плотность вероятности для процесса и его произ водной имеет вид
exP ( - 2 i r b - , |
(V — <И>)2 |
|
|
||
2р (у — <ti>) (v — <й>) |
(ti — <ti>)2| |
(60) |
|
|
|
а?
Здесь сги(/) и а-, (/) выражаются через средние квадраты центрированно
го процесса
v(t) = v ( t) - ( v ( t ) }
и его производной, т. е.
<*2Л 0=<о*(0>; а|(0=<о*(0>-
Далее, р(/) — коэффициент корреляции между процессом н его про изводной в совпадающие моменты времени
Р(7) ==-— |
(61) |
V <»*(<)>< «2(<)> |
|
Указанные функции легко выражаются через корреляционную функ цию процесса v(t) в несовпадающие моменты времени, т. е. через функ цию
K(t 1,*2) = <°(Ф(*2)>- |
|
|
Эти соотношения имеют вид |
|
|
ol{t) = K(t, 0; |
dt2 |
(62) |
|
|
|
дКУиЬ) |
tx= / , = t |
|
dt2 |
|
|
Подсчитаем среднее число пересечений v+ (0; /) уровня |
= 0 (пе |
|
реход к другим уровням осуществляется |
простым преобразованием |
|
исходного процесса). Подставим выражение (60) в формулу (49) и про изведем необходимые вычисления. С использованием тождества
|
<и>2 |
, |
2р <и> ( v —< v )) |
, |
(v — ( v ) ) 2 |
1 -Р 2 |
9 |
” • |
|
1 |
. 9 |
|
|
|
|
|
|
|
<a>2 |
, |
, |
Р<”> |
|
гг2 |
I 1 _ Л 2 -------- |
^ --------------- |
Г |
гг |
результат подстановки принимает вид
v+(0; |
/): |
1 |
ехр |
< у >2 \ |
||
2яOv G. У 1 — р2 |
К |
) X |
||||
|
|
|
||||
х ( е х р -------- !-----—О-— < V> |
, Р <Ч>1. |
|
yd о. |
|||
J |
|
2(1 -р*Д а- |
|
|
|
|
Для вычисления интеграла в правой части введем новую переменную
и -= |
1 |
I V — \ и> | р <v> |
/1 -р*
В результате формула для среднего числа Пересечений пепептиртга следующим образом:
v+(0; t) |
|
ехр |
|
|
|
>+ |
|
|
2лаГ1 |
|
|
т |
< |
> |
|
|
|
|
|
|
|||
+ (Т. ( / l - p |
2 w. |
Р <V> |
|
da. |
|||
|
|
|
|
|
|
||
Здесь обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
- |
1 |
( |
|
( у / |
р <а> |
||
■ j / l - p 2 |
|
|
|
ст., |
|||
Замечая, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
и2 |
|
|
|
1 |
|
|
^ ие |
z du =е |
Т" |
|
|||
|
и х |
|
|
|
|
|
|
со |
и2 |
|
|
|
|
|
|
§ е |
2 du = Y 2 n [l —Ф («х)]> |
||||||
Hi |
|
|
|
|
|
|
|
где Ф(и) — функция Лапласа, получаем окончательную формулу |
|||||||
v+; (0; t) = |
2nav |
|
ехр |
|
< У > 2 |
X |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
1 |
|
|
||
X | V 1 — Р2 ехр |
|
< V |
> |
р <0> \ 2 |
|||
2(1 |
- Р 2) |
а. |
|
+ |
|||
|
|
|
|||||
а. |
|
|
|
J___ ( |
(v ) |
р <ч> |
|
|
|
|
кт^-р* |
»• |
(63) |
||
Рассмотрим некоторые частные случаи формулы (63). Пусть Heog. ходимо найти среднее число положительных пересечений стаьионар. ным процессом v(t) ненулевого детерминистического уровня ц с.
комоё число будет равно, очевидно, среднему числу положительных пересечений нулевого уровня вспомогательным процессом
|
I*! — v |
vt . |
(64) |
Для этого процесса < а1> |
^ р |
0, откуда по формуле (63) |
|
V+ (0) |
-ехр |
<vo |
|
|
|
||
2лаг |
|
|
|
Подставляя сюда значения |
= |
(о) — v,, at, = av, a = |
a - , |
придем к выведенной ранее формуле (56).
Пусть v(t) — стационарный гауссовский процесс, а уровень о,(/)— нестационарный гауссовский процесс. Если уровень и, (/) является достаточно медленно меняющейся функцией времени, то вспомога тельный процесс (64) будет близок к стационарному процессу. Поло
жим, что для этого |
|
процесса |
р ~ 0. Формула (63) |
принимает вид |
||||||
v+(0; t) |
|
|
a. |
|
exp |
<Ul>2 |
(ti,)2 |
+ |
||
|
|
2лa. |
|
e x p |
— |
2a? |
||||
|
|
|
|
2af, |
|
|
||||
+ \ |
|
|
2n |
\Ul/> |
1—ф I |
- |
|
|
(65) |
|
|
|
|
|
|
|
|
o. |
|
|
|
При этом |
2 |
|
|
2 |
+, 2о |
|
|
|
|
|
o |
|
—a |
, |
= + < |
|
|
|
|||
|
ГI- |
|
Г* |
' |
Г'.* < |
|
|
|
||
Приближенное выражение (65) было предложено А. С. Гусевым [45].
В качестве третьего примера рассмотрим пересечение центрирован ным нестационарным процессом v(t) постоянного уровня и*. Вводя
вспомогательный процесс (64) и полагая в формуле (63) (vl) = 0t |
— |
||||||
= —и*, придем к выражению |
|
|
|
|
|
||
V+ (о,;-О |
|
У 1 —р2 ехр |
|
|
|
|
|
+ Y 2л -^--ехр |
1 - Ф |
1 - р 2 |
|
( 66) |
|||
О,и |
|
2а,2 |
|
у |
|
|
|
В работе А. Фрейденталя и М. Шинозука [129] была |
предложена |
||||||
приближенная формула |
|
|
|
|
|
|
|
V+(y*’ |
|
— р* еХр |
2а, |
1+ |
|
||
. |
,/к - |
IРI о. |
( |
- |
|
|
(67) |
+ |
у 2л |
------ - ехр |
|
|
|
||
2а?
Эта формула может быть получена из точной формулы (66), если в по следней заменить квадратную скобку на единицу, а второе слагаемое в фигурных скобках заменить его абсолютным значением. При этом формула (67) дает для среднего числа пересечений (66) опенку сверху
§ II 1.6. Распределение экстремумов случайного процесса
Рассмотрим непрерывный дважды дифференцируемый случайный про
цесс v(t) с заданной совместной плотностью вероятности p(v, у, у, t). Зададимся вначале целью подсчитать среднее число экстремумов процесса v(t) в единицу времени, превышающих заданный уровень и*. При этом будем различать сред нее число максимумов vMaKC(u+; /), превышающих заданный уровень v.^ (рис. 50), и среднее число мини-
tмумов 'vMniI(y#; /), превышающих этот уровень. Заметим, что общее число максимумов vM4KC(—оо; /) и общее число минимумов vMHII(—оо; /)
может быть найдено с применением формул из предыдущего параграфа. В самом деле, суммарное среднее число максимумов можно най ти как среднее число отрицательных пересечений нулевого уровня про
цессом v(t). По формуле (52) находим
о
vMaiiC ( — |
0 = Я Р» (0, у ; 0 Г» U о, |
(68) |
|
— оо |
|
где p 3{v,v,t) — совместная плотность вероятности первой и второй производных процесса v(t). Аналогично, суммарное среднее число миниму мов процесса v(t) определяется как среднее число положительных пе
ресечений нулевого уровня процессом v(t). Используя формулу (49), получаем
00 |
|
vM1I1! (— 00; 0 = $ Рз (о, у; t ) v d v . |
(69) |
О |
|
Если процесс v(t) — стационарный, то р 3(0, у) =з р 3(0, —у) и, следова тельно, vMaKC (— оо) = vMllII (— оо).
Переходим к выводу формулы для среднего числа максимумов, пре вышающих произвольный уровень у# из области возможных значений процесса v(t). Как и в предыдущем параграфе, рассмотрим достаточно малый интервал времени At. Обозначим через Рх(у#; А/) вероятность случайного события, состоящего в том, что в интервале At находится один максимум процесса v(t), превышающий у*. Через Р 2(и*; А?) обо значим вероятность нахождения в интервале At двух максимумов и т. д. Далее выразим среднее число максимумов за промежуток ареме-
ни At через вероятности Ph(v^\ At). Учитывая, что вероятность обна ружить в достаточно малом интервале времени At два и большее число максимумов является величиной более высокого порядка малости, по лучим формулу, аналогичную формуле (48):
\ia iu : |
> 0 ' |
ИГЛ |
р, (р«; |
(70) |
|
|
д/-»о |
м |
|
Теперь вычислим вероятность P^v*; At). Пусть момент времени, соответствующий максимуму, разбивает интервал At на два интервала Ati и Д/2 (рис. 51). Вычислим вероятность сложного события
п*—Д у^у(т)< ;оо;
Av„^. у(т) ^ Д ух;
Pi(v,; At) = P
у (т) < 0;
/ < т < / + Д* _
Выражая эту вероятность через совместную плотность p(v, v, v; t), находим с точностью до малых более высокого порядка:
0 Ду,
Р х(у*; Д/)= I dv I d v x
— СО Д и в
со
х § р(у, v, у; /) dv + о (At).
V + — & V
Произведем в правой части пре образования с учетом соотно шений
/
AV Т \ \ / // / — At-
Avx = — +
Av2 = vaAt2-\~o(At)]
Atf A |
t |
Рис. 51
Аи = о (Дt)\ |
A tx~\- At2= Д/. |
|
|
Тогда вероятность Р^и*; |
At) |
определится как |
|
|
|
0 |
оо |
Рх |
Д0 = —Д< |
j |
dv ^ р (у, 0, v, t)vdv + o(At). |
— оо
Подставляя найденное значение вероятности в формулу (70), получим окончательно
V |
(71) |
умакс |
|
Полное число максимумов в единицу времени найдем, полагая в формуле (71) и* -э— оо. С учетом условия согласованности
оо
5 р (и, О, у; t) d v = p 3 (0, у; /)• —00
В правой части стоит совместная |
плотность вероятности p 3(v> v\ /)♦ |
при v == 0. Отсюда получаем ранее |
выведенную формулу (68). В силу |
аддитивности среднее число максимумов за интервал 0 ^ т < / найдем, умножая уМ11<с(ц*; т) на dx и интегрируя в пределах от 0 до /. Таким образом,
t |
|
N Mam(v,i 0 < T < 0 = SV«O.CC(V. T) dT- |
(72) |
О |
|
Аналогично выводится формула для среднего числа минимумов, превышающих уровень v#. Не останавливаясь на подробностях, выпи шем окончательные результаты:
t) = \ d v \ rp{v, 0, v)vd'v, |
(73) |
v0 О |
|
0 x < / ) = JvMII1I(t»,; т) dx. |
(74) |
Используя формулы (71) и (73), нетрудно получить распределение экстремумов случайного процесса. Остановимся, например, на распре делении максимумов. Функция распределения максимумов РМ1ИС(и*; /) представляет собой вероятность случайного события, состоящего в том, что взятый наугад максимум окажется меньше, чем ц*. Эту ве роятность вычислим, относя среднее число максимумов, меньших, чем у*, к полному числу максимумов в единицу времени:
Fмакс К ; 0 = Умакс (— гс I 0 —Умакс ( v * о Умакс ( 0
Плотность вероятности максимумов рмакс(у*> t) определяется путем диф ференцирования функции распределения FM1KC(u#; /). Отсюда
Рмакс |
VMaKc (в*» |
О |
0 ~ |
(75) |
|
|
Умакс ( |
0 |
(штрихом обозначается операция дифференцирования по v*). Анало гично плотность распределения минимумов находится как
|
|
Умни К ; 0 |
(76) |
|
|
Р м н н 0 |
^ '* 0 |
||
|
|
Умни ( |
|
|
В случае |
узкополосного |
процесса для |
плотностей |
вероятности |
Рмакс (y*i 0 |
и рмин (у#; /) |
могут быть получены приближенные фор |
||
мулы. Заметим прежде всего, что имеет место очевидное |
неравенство: |
|||
|
^макс(^*» 0 ^ |
0* |
(77) |
|
При этом превышение числа максимумов над числом положительных пересечений происходит вследствие внутренних циклов, содержащих минимумы, величина которых больше, чем v*.
Если процесс v(t) является узкополосным, то почти все его макси мумы лежат выше математического ожидания <у), а вероятность об наружить внутренний цикл достаточно мала. Поэтому среднее число максимумов узкополосного процесса, превышающих уровень и* > <v), будет приближенно равно среднему числу положительных пересече ний этого уровня. Среднее число максимумов, меньших, чем матема тическое ожидание (v )t может быть приближенно положено равным нулю. Отсюда приходим к соотношению
если
( v+«t»>, t), если
Подставляя это соотношение в формулу (75), получим следующую при ближенную формулу, применимую к узкополосным процессам:
|
v+ ( y О |
, |
если |
f . X » ) ; |
(78) |
Рмакс (^* ’ О |
v+ (<t>>; t) |
||||
|
О, |
|
если |
У* < < V ) . |
|
Поскольку среднее число пересечений определяется проще, чем сред нее число максимумов, то приближенная формула (78) имеет неко торые преимущества.
Аналогичные упрощения можно ввести для плотности распреде ления минимумов. Вместо точной формулы (76) получаем формулу
|
О, |
если о, > (v); |
Рмпп (^*> 0 ’ |
v l (и ; t) |
(79) |
|
(<t)>; t) ’ |
если |
Применим полученные формулы для вычисления распределений экстремумов стационарного гауссовского процесса. Без ограничения общности можно положить, что а = <о> = 0 (переход к процессам, для которых это условие не выполняется, сводится к замене уровня v* на о* — а). Напомним прежде всего, что общее выражение для сов местной плотности вероятности п-мерного центрированного гауссовс кого вектора х1%х2, .... хп имеет вид
Р (X,, х2, ..., хп) |
ехр ---- 2 |
LJkXjxк |
( 2п)п/2у det К |
2 |
/Г, |
Здесь К — корреляционная матрица с элементами
Kjk= (XjXh'),
LJk — элементы матрицы К-1 . Чтобы составить выражение для трех мерной совместной плотности вероятности p(v, v, v), рассмотрим кор
реляционную матрицу соответствующего трехмерного вектора V, v, v:
< М 2 > |
<о*о> |
(v*v) |
К = < У * У > |
< М 2> < V * V ) |
|
|
<v*v) |
< М 2> . |
Выразим элементы матрицы К через спектральную плотность S„((o) процесса v(l). Замечая, что
• $ ) = ('~ 1)мl‘,l+v s - И coM'v^°-
и используя обозначения предыдущего параграфа, включая обозна чение для эффективной частоты (57), получим
<у2> = сх2; |
<о2> = (о2 а 2; |
<у*у) = 0, |
<у*у>= —а>2а 2. |
Кроме того, введем обозначение |
|
оо |
|
<У2> = J |
(й)) СО4 rf(0 = р 2 СО* о». |
Безразмерный параметр |3 является мерой широкополосности про цесса
\ / J* S v (со) со4 d a J S v (a>)d<i>
Р=---° со--------°--------- • |
(80) |
j S 0 (со) со2 dto
о
Для узкополосного процесса, энергия которого сосредоточена в части спектра, лежащей около несущей частоты со0, параметр р близок к еди нице. С увеличением ширины спектра этот параметр возрастает. Как мы увидим в дальнейшем, параметр р можно также истолковать как отношение среднего числа экстремумов процесса к среднему числу пересечений нулевого уровня.
С учетом сказанного выше корреляционная матрица К принимает вид
|
o l |
0 |
— C02 (J2 |
к = |
0 |
со2 а 2 |
0 |
|
2 |
2 |
р2 со* а 2 . |
- |
COg |
Ои 0 |
Отсюда следует, что двумерный процесс v(t), v(t) стохастически не свя зан с процессом v(t). Таким образом:
р (v, v , v ) = p 1 {v, v)p2(v). |
(81) |
Совместную плотность вероятности pt(v, v) представим вначале в виде
Pi(v, v) = |
- - - - - - -X |
|
|
|
||
2ло |
- Р |
а |
|
|
|
|
V |
|
|
|
|||
1 |
2pvi> |
, |
Ь‘2 |
(82) |
||
X exp |
0 |
v |
O' |
' |
2 |
|
2(1 —Р2) 1«т; |
|
v |
|
a v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь р — коэффициент корреляции между функцией v(t) и ее второй
производной v(t) в совпадающие моменты времени. Нетрудно связать этот коэффициент с параметром широкополосности (80):
Р = — ~ |
(83) |
Для узкополосного процесса р —1. Этот вывод является естествен ным, если учесть, что узкополосный процесс мало отличается от си нусоидального процесса, для которого р = —1. С увеличением ширины спектра коэффициент корреляции р убывает по модулю. Выражая ойчерез 0о и учитывая формулу (83), представим плотность веро
ятности Pi(v, о) в следующей форме:
Pi (у. |
______ 1_______ ехр |
P 2 |
d ) ji » 2 - f |
2 шvo2 -\- i>2 |
||
|
2(р2—l)Wg ff„ |
(84) |
||||
|
2я /Г = Л й > е202„ |
|
• |
|||
Подставим выражения (71) и (81) в формулу (75). После несложных |
||||||
преобразований получаем |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
J |
Pi(v*,v)\v\ do |
|
|
||
|
Рмаьс К; 0 = — |
о----— |
— |
|
• |
(85) |
|
|
| p(o)\v\dv |
|
|
|
|
При этом |
|
|
|
|
|
|
|
р (о) |
|
v “ |
|
|
|
|
|
2р2ш*а2 |
|
|||
|
У 2п №% ov еХр [ |
|
||||
Вычислим интеграл в числителе формулы (85) |
|
|
||||
и |
|
|
|
|
|
|
Pi |
v)\v\dv = 2л j рг_1(о202 exp |
2о; |
(86) |
|||
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
где использовано обозначение
о
J ( v J =-f\ exp . ( » + “ «О * 2 гм do. 2(Э2— l) col cr
e'-'v
Полагая
P+ < |
P, |
= и; |
= «i, |
Y P2- |
ft)2 CT |
||
£ |
|
/ P 2- l a „ |
перепишем интеграл в виде
J = Y |
\u>tov |
j (о, — j^ p2— 1 ov u) e 2 du. |
||
Ho |
«1 |
W2 |
|
|
|
|
|
||
|
J e |
2 d« = |А2я Ф (HJ); |
|
|
|
u* |
«* |
|
|
|
f «e |
2 dw |
|
|
откуда |
|
|
|
|
J ^=Y p2— 1 cog o^ | |
P2— 1 exp |
• |
+ |
|
|
|
|
2(p2— l) o2 |
|
|
+ |
Ф f- |
|
|
|
<*v |
\ / P 2- l |
Ov |
|
Далее, интеграл в знаменателе формулы (85) определяется к^к
[ |
р ( о) | о |do = ^ |
e ^L. |
J |
Y |
2 л |
(87)
( 88)
Попутно можем найти полное среднее число максимумов в едцни. цу времени. В самом деле, для стационарного процесса форц,уда (68)
принимает вид |
у ' |
|
о |
умакс (— 00) = р2 (0) |
S p (o )|o |d o , |
|
— оо |
где р2(о)— плотность распределения производной, определ^^ад п0 второй из формул (54). Подставляя сюда формулу (88), находИ)у1
v ( — о о )= vManc\ / 2Л