книги / Основы научных исследований

т.е. изучить зависимость imax=f{R, L, С, U). Критерии подобия процесса определяются на основе анализа раз­ мерностей параметров i, R, L, С, U. Путем выбора в ка­

мет вид n i= imaxRIU=<p{L/R2C). Если известно матема­ тическое описание процесса, то для приведенного выше

шийся ток в цепи), яг=L/Rt, ns=t/RC. Если объеди­ нить второй и третий критерии в один, то при неизмен­ ном масштабе времени я = я 2яз = L/R2C = idem; крите­

рий я " 1определяет масштаб тока t* = j - . Таким обра­

зом, получается тот же результат, что и на основе ана­ лиза размерностей.

Переход к критериям подобия уменьшает количество варьируемых факторов с четырех (R, L, С, U) до одного (L/R2C). Это сокращает число опытов, необходимых для экспериментального определения искомой зависимости. Три-четыре опыта при вариациях значения безразмер­ ного комплекса дадут соотношение, выявляющее влияние на параметры R, L, С, U. Каждая точка этого соотноше­ ния будет соответствовать бесконечному числу подобных

процессов [fl, =idem , Я2 = 1бет].

Для определения критериев подобия необходимо знать начальные и граничные значения, значения неизменяющихся параметров режима и т.д.; текущие значения па­ раметров рш , ..., рип, составить матрицу размерностей А всех участвующих в процессе параметров (pi, ..., р/, ри 1, ..., рц.п) и определить ранг этой матрицы; выбрать в качестве независимых параметров R величин. Все это дает возможность определить на основе анализа размер­ ностей соответствующую форму записи безразмерных комплексов вида

Я 1 = P K + I 7 ( P |R + I Р 2Д+1 * **P k R -\-\)»•••»

я,_Л = р//(р*' Рр - P i1 )»

а также критериев подобия, каждый из которых в числи-

201

теле содержит текущее значение параметра

p l+ nt = р 1+1;/{р х{1+прУ1+п... Р%1+п).

Иногда называют такие критерии выраженными в отно­ сительных единицах параметрами режима.

В уравнениях процесса и начальных (граничных) ус­ ловиях надо заменить параметры ри .... PR на единицы, йараметры pH+i> .... Pi— на безразмерные комплексы щ,

.... ni-R, а текущие значения пР рм , •••> Pi+n — на выра­ женные в относительных единицах. Наличие критериев подобия дает возможность соответствующим образом спланировать проведение эксперимента.

Критериальное планирование эксперимента (КПЭ) '(теория планирования эксперимента) и теория подобия, способствующие наилучшей организации эксперимента й обработке его результатов, в настоящее время прак­ тически объединились. Пусть, например, требуется изу­

какое-либо экспериментальное значение параметра) со значениями других параметров.

Для КПЭ необходимо: 1) определение вида безраз­ мерных комплексов ль выраженных в относительных единицах n p pi+ \, .... pt+n*, и критериальной целевой функции (если дифференциальные уравнения процесса известны, следует преобразовать эти уравнения в на­ чальные (граничные) условия и привести их к критери­ альному виду в соответствии с описанным выше спосо­ бом); 2) определение диапазонов варьирования безраз­ мерных комплексов по заданным интервалам варьирова­

ального планирования отсеивающего эксперимента; 4) проведение опытов (расчетов) в соответствии с матри­ цей критериального планирования активного или пассив­ ного эксперимента с целью определения коэффициентов полинома:

202

Если эксперименты проводятся в реальной системе или на физической модели, в матрицу КПЭ, содержащую в качестве варьируемых факторов безразмерные комп­ лексы, необходимо ввести еще значения варьируемых па­ раметров pi, .... pi.

Полученный в результате проведения минимума опы­ тов (расчетов) полином, связывающий безразмерные комплексы, позволяет не только изучить конкретную за­ висимость, но и распространить результаты этих опы­ тов на широкий класс процессов.

7.4. Физическое подобие и моделирование

Поставленная задача может быть осуществлена: 1) при натурном моделировании (М),когда в объект, подлежа­ щий исследованию, не вносят изменений и не создают специальных установок (производственный экспери­ мент); при моделировании, осуществляемом путем об­ общения сведений о явлениях или отдельных процессах, происходящих в натуре, и т. д.; 2) на специальных моде­ лях и стендах.

Физическая модель (например, энергосистемы) пред­ ставляет собой миниатюрную копию физически реальной системы. Для всякой модели всегда четко формулирует­ ся круг задач, который будет решаться с ее помощью. Это выявляет те части системы, которые должны быть воспроизведены на модели с'наибольшей полнотой и точ­ ностью, требуемыми теорией подобия (условия соблю­ дения критериев подобия) и практической необходимо­ стью.

Для проведения такого исследования необходимо со­ здать модель, имеющую параметры, при которых кри­ терии подобия модели одинаковы с соответствующими критериями подобия оригинала. Возможны также слу­ чаи, когда модель специально не сооружается, а вместо нее применяются какие-либо подходящие установки, обеспечивающие при эксперименте получение процессов, близких к оригинальным. Затем выбираются наиболее существенные у данного процесса критерии подобия, для чего предварительно оцениваются параметры, входящие в эти критерии.

Известные критерии позволяют выбрать масштабы, при которых учитываются как постановка задачи, тай и возможности оборудования. Неудачный выбор масш­ табов может привести к тому, что параметры оборудо­

203

вания модели будут отличаться от расчетных. Поэтому каждому исследованию на модели должна предшество­ вать тщательная проверка всех ее параметров. Перед проведением эксперимента следует предварительно про­ верить работу оборудования модели по отдельным ее частям. И только после того, как получена полная уве­ ренность, что все элементы модели в отдельности подоб­ ны соответствующим элементам оригинала, можно со­ брать модель в делом, соблюдая граничные условия при соединении ее отдельных элементов. Подготовленная таким образом модель дает возможность провести экс­ перименты, получить достоверные данные и обработать их в критериальных зависимостях.

7.5. Аналоговое подобие и моделирование

Если явления в двух сопоставляемых системах имеют различную физическую природу, но некоторые наиболее интересные для данного исследования процессы, проис­ ходящие в двух системах, описываются формально оди­ наковыми дифференциальными уравнениями, то можно сказать, что одна система является прямой модельюаналогом другой (структурное моделирование является разновидностью аналогового моделирования, при кото­ ром дифференциальные уравнения, описывающие физиче­ ский процесс, представляются отдельными элементами). Применение прямых моделей-аналогов ограничено, по­ скольку не для всех задач можно выявить аналогию и по­ добрать модель. В этом отношении структурные моде­ ли, поэлементно моделирующие отдельные математиче­ ские операции, более универсальны и обеспечивают большую точность.

Примером электрических моделей прямой аналогии являются расчетные модели постоянного тока, исполь­ зующие постоянный ток в качестве аналога переменного тока. При этом электрическая схема системы перемен­ ного тока воспроизводится с помощью активных сопро­ тивлений, а ЭДС генераторов электростанций— с по­ мощью источников постоянного тока. Расчетные модели переменного тока частично (для установившегося режи­ ма) оказываются физическими моделями, а частично аналоговыми (для переходного режима). Исследуемые схемы представляются комплексными сопротивлениями и ЭДС с соответствующим сдвигом фаз.

Расчет переходного процесса сложной системы пред-

204

ставляет значительные трудности и требует для своего выполнения много времени. Стремление упростить эту работу привело, с одной стороны, к созданию специали­ зированных аналоговых моделей, а с другой — к широ­ кому использованию для исследования таких процессов типовых (универсальных) структурных аналоговых мо­ делей (аналоговые вычислительные машины типов МН-7, МН-18 АВК-2 и др.). При таком моделировании масш­ табы mj, обеспечивающие подобие на АВМ, являются в общем случае размерными величинами, связывающи­ ми параметры системы с машинными переменными — напряжениями на входах и выходах решающих блоков. Число этих переменных может превышать число уравне-

k — конструктивный коэффициент блока; М/ — коэффициент уси­ ления; — коэффициент передачи по i-му входу; 2, х — те­

кущие переменные; т — масштабы

205

ний моделируемого процесса, так как между машинны­ ми переменными могут существовать некоторые допол­ нительные зависимости, которые в явном виде отсутст­ вуют в исходных уравнениях.

Условия подобия получаются на основе первой тео­ ремы подобия и связывают коэффициенты щ с масшта­ бами тj и коэффициентами передачи решающих блоков (см. табл. 7.4).

Обеспечение аналогичности процесса в модели про­ цессу в оригинале требует установить дифференциаль­ ные уравнения, описывающие процесс; составить прин­ ципиальную схему для решения задачи на модели, для

ментов, затем набрать рабочую схему на коммутацион­ ном поле АВМ, задать начальные условия, осуществить пуск машины и зарегистрировать получаемое решение с помощью электронно-лучевого индикатора, светолуче­ вого осциллографа и т. д.

7.6. Математическое цифровое подобие и моделирование

Цифровые ЭВМ, моделирующие различные процессы, применяются в двух основных направлениях. Первое — это моделирование в натуральном времени происходящих процессов, когда данные для вычислений поступают на ЭВМ непосредственно от изучаемой системы или той, ко­ торой необходимо управлять. При втором направлении '(например, при решении задач проектирования, плани­ рования и прогнозирования) нет надобности в моделиро­ вании в темпе действительного процесса, можно эти процессы при моделировании ускорить. Аналогичные за­ дачи возникают и при больших количествах уравнений, отвечающих, например, модели развития большой си­ стемы. Здесь также требуется быстродействие ЭВМ для того, чтобы в обозримые сроки решать поставленные за­ дачи.

ЭВМ не являются моделирующим устройством како­ го-либо конкретного процесса в том смысле, какой обыч­ но на основе наших привычных представлений вклады­ вается в понятие модели. Получая данные для анализа, ЭВМ вычисляет какую-либо функцию, перерабатывает, хранит и выдает информацию, создавая формальную мо­ дель — а л г о р и т м в ы ч и с л я е м о й ф у н к ц и и .

206

Алгоритмы, перерабатывающие информацию, должны иметь общность характера, т. е. отражать ход решения не какой-нибудь отдельной задачи, а целого класса обоб­ щенных подобных задач, общность которых выявлена методами теории подобия и запись алгоритмов проведе­ на в критериях подобия; обладать четкостью и одно­ значностью указаний по проведению операций на каж­ дом этапе их выполнения, непосредственно и быстро приводить к решению, выдаваемому в удобной для ис­ пользования форме, т.е. должны обладать результатив­ ностью при любой исходной информации и точном со­ блюдении распоряжений, определяющих вычислительный процесс, выдавать окончательный результат в виде обобщенных зависимостей (соотношений, графиков), позволяющих распространить результаты на группы яв­ лений, подобных данным.

При соблюдении указанных условий ЭВМ вместе с соответствующим алгоритмом может рассматриваться как модель изучаемого процесса, обеспечивающая реше­ ние научных и технических задач.

Современную технику все больше и больше начина­ ют интересовать решения, использующие не только ма­ тематические модели, алгоритм которых предусматрива­ ет жесткий программный ход, как это делается в боль­ шинстве случаев при применении ЭВМ, но и модели, которые позволили бы подходить к задаче как к эргатической, предусматривающей вмешательство оператора в процесс исследования или управления, что равносильно переходу к более высокому классу задач. При реализации эргатического моделирования требуются изменения в подходах к программированию и в сочетаниях комплек­ сов цифровой и вычислительной техники. Отсюда появ­ ляются новые модели — гибридные, сочетающие цифро­ вые ЭВМ и АВМ.

Требования к точности и достоверность результатов моделирования различны в зависимости от поставленных задач и характера исследований. Исследования, касаю­ щиеся проектных разработок, а также оценки и относи­ тельного сопоставления вариантов, не требуют высокой точности результатов. Однако точность результатов име­ ет весьма большое значение, если исследования прово­ дятся применительно к конкретной схеме, а полученные результаты необходимо распространить на ряд ориги­ налов.

При получении на основе моделирования характери-

207

добия, представляемой в виде уравнения регрессии

где я/, Kj — кодированное значение критериев. Получен­ ное уравнение показывает степень влияния каждого кри­ терия подобия на величину я и позволяет установить зоны заметной погрешности, которое надо исключить из рассмотрения.

Полученная информация позволяет объективно ре­ шить вопрос о необходимой точности воспризведения кри­ териев подобия, соответствующей степени их влияния на исследуемый процесс.

П о г р е ш н о с т и п р и б л и ж е н н о г о м о д е л и р о ­ в а н и я выявляются двумя корректирующими друг дру­ га путями. Во-первых, проверкой последовательным мо­ делированием, когда, моделируя одну и ту же систему в разных масштабах, при разных коэффициентах линеа­ ризации и т. п., можно получить представление о воз­ можном искажающем эффекте моделирования. Во-вто­ рых, исследованием уравнений, положенных в основу приближенных критериев подобия, и проведением се­ рий опытов и расчетов с разным сочетанием величин, входящих в приближенные критерии.

Г Л А В А V I I I

П Р И М Е Н Е Н И Е Э В М В Н А У Ч Н Ы Х И С С Л Е Д О В А Н И Я Х

8.1. Типы ЭВМ и возможности вычислительных систем

Электронно-вычислительная машина (ЭВМ) 1 является устройством, предназначенным для выполнения вычисли­ тельных и логических операций в соответствии с про­ граммой, управляющей ее работой.

ЭВМ подразделяются на универсальные и специали­

1 См.: Каган Б. М. Электронные вычислительные машины и си­ стемы М., 1985; Юрьев В. Н. Вычислительные машины и программи­ рование. М., 1980; Соловьев Г. Н„ Никитин В. Д. Операционные си­ стемы цифровых вычислительных машин. М., 1977.

209