книги / Несущая способность конструкций при повторных нагружениях

гает величины, установленной стандартным допуском. Например, для вращающихся турбинных деталей предел ползучести обычно задается исходя из того, что допускаемая остаточная деформация не должна превышать 0,2% [34].

Аналогично тому, как это принято при расчете турбинных дисков по предельному равновесию [54], изохронная кривая деформирования может быть аппроксимирована и по пределу длительной прочности. В условиях повторных нагружений это означает, что односторонняя деформация, возникнув, будет про­ должаться вплоть до фактического разрушения, которое наступит

кконцу заданного ресурса (определяющего предел длительной прочности). Заметим, что отношение разрушающего напряжения

кпределу ползучести, отвечающему 1 % остаточной деформации при том же времени для различных конструкционных материалов, находится в пределах 1,3—2,5, причем для одного и того же ма­ териала оно может изменяться в указанных пределах в зависи­ мости от температуры [34].

Применительно к условию знакопеременного течения расчет должен производиться по циклическому пределу текучести стаби­ лизированного материала, полученному из специальных испыта­ ний при соответствующих температурах и длительности выдер­ жек [9]. При отсутствии таких данных в рамках принятого приближенного подхода в качестве циклического предела текучести можно принять сумму предела текучести и предела ползучести для двух полуциклов (в одном из которых имеется выдержка) с учетом соответствующих, температур, длительности выдержки и допуска на ширину петли пластического гисте­ резиса.

Еще большие затруднения в определении предельных напря­ жений при монотонном и циклическом деформировании возникают при усложнении программ нагружения (чередование нескольких переходных и стационарных режимов). В принципе здесь могут быть использованы какие-либо из предлагавшихся методов при­ ведения к эквивалентному циклу [32, 52, 54 ], однако следует иметь в виду приближенность и ограниченность последних.

Трудности, о которых шла речь, относятся не только к теории приспособляемости, но и почти в равной степени к другим методам анализа работы конструкций в соответствующих условиях. Они связаны с недостатком опытных данных и сложностью адекватного описания поведения материалов при разнообразных условиях нагружения.

Расчет на приспособляемость в условиях ползучести, исполь­ зующий рассмотренные приближенные предпосылки, должен осно­ вываться на задании длительности и числа циклов работы кон­ струкции. Для разных их значений может быть получена серия диаграмм приспособляемости, каждая из которых ограничивает такие значения параметров нагружения, при которых^непрекращающаяся неупругая деформация любого типа возможна лишь

113

в том случае, когда суммарная длительность работы конструкции превышает заданную. Построение диаграмм проиллюстрировано на примере плоского вращающегося диска в § 25.

§ 23. Влияние геометрической нелинейности

Процесс накопления односторонней деформации с каждым циклом может быть ускоряющимся или, наоборот, замедля­ ющимся (вплоть до полного прекращения роста деформации) в связи с происходящими изменениями геометрии конструкции. Последние приводят к изменению условий равновесия и соответ­ ствующему перераспределению напряжений. Так, например, в сфе­ рическом сосуде (см. § 20) следствием систематического увеличения диаметра при одновременном уменьшении толщины стенки будет рост напряжений от внутреннего давления. Это, в свою очередь, должно приводить к постепенному увеличению приращений де­ формации за цикл. В принципе можно представить конечную ситуацию, когда напряжения от давления станут достаточными для мгновенного пластического разрушения, однако практически такая опасность (в данном случае) может стать реальной лишь при очень большом числе циклов.

Более существенное значение в этом смысле может иметь воз­ никновение изгибных деформаций при наличии сжимающих сил. В случае тонкостенной конструкции в этих условиях возможно прогрессирующее выпучивание (коробление). Этот эффект из­ учался в связи с повторными воздействиями при механическом [36, 93 ] и при тепловом [7 ] нагружениях; применительно к последнему условию он воспроизводился также в некоторых опытах [60].

Прогрессирующее выпучивание (как и выпучивание при одно­ кратном нагружении) характеризуется появлением качественно новых форм равновесия, не реализуемых при меньших значениях параметров внешних воздействий. Приобретенные в результате деформации перемещения оказывают более значительное (чем в обычных условиях прогрессирующего разрушения) влияние на последующее поведение конструкции. Заметим, что в некоторых реальных ситуациях наблюдается взаимодействие деформации с вызвавшими ее внешними воздействиями. Например, выпучива­ ние при теплосменах может приводить к такому изменению усло­ вий обтекания и теплообмена, при котором интенсивность тепло­ вых воздействий увеличивается, что, в свою очередь, приведет к ускорению накопления деформаций, которое может закончиться полным нарушением работоспособности конструкции.

В задачах выпучивания при повторных нагружениях исполь­ зуются как классические концепции [93], так и деформационный подход [7, 36], исходящий из существования начальных «неидеальностей» формы (наличия у стержня, пластины или оболочки начальной погиби). Могут быть применены также и методы пре-

114

дельного анализа, основной задачей которого является определе­ ние условий реализации соответствующего предельного состояния, правда, в несколько своеобразной постановке. Заметим, что в ли­ тературе отмечались определенная связь и аналогия задач пре­ дельного анализа и устойчивости как при однократном, так и при повторных нагружениях [1 ].

Рассмотрим подход к анализу прогрессирующего выпучивания при теплосмеиах, непосредственно основывающийся на теории приспособляемости. Как обычно, будем исходить из представления о идеальном упругопластическом (циклически стабильном) мате­ риале.

Пусть конструкция, имеющая заданное начальное состояние (геометрические характеристики, внутренние усилия и характери­ стики материала), подвергается таким циклическим механическим и тепловым воздействиям, при которых изменения ее геометрии вследствие необратимой деформации, реализуемой в каждом от­ дельно взятом цикле, настолько малы, что ими можно пренебречь при определении напряжений и деформаций в следующем цикле. Однако накопление деформации за ряд циклов может быть суще­ ственным. Тогда можно ввести представление о квазистационарных циклических состояниях, первое из которых'наступает после этапа стабилизации (первые k циклов нагружения) и существует в тече­ ние некоторого числа циклов (i = k + 1, k + 2, . . ., m), огра­ ниченного допуском, установленным на перемещения (или свя­ занные с ними изменения напряженного состояния от внешних воздействий). Сам процесс стабилизации обычно не рассматри­ вается, т. е. принимается, что /е = 0. Предполагается, что по прошествии т циклов, когда суммарные перемещения превысят допуск, устанавливается (сразу же без переходного периода) новое квазистационарное состояние, отвечающее соответственно измененной геометрии, и также существующее ограниченное число циклов, и т. д. Таким образом, непрерывное изменение цикла напряжений (вследствие накопления необратимой деформации) заменяется ступенчатым (скачкообразным). Отсюда вытекает воз­ можность постановки следующей задачи теории приспособля­ емости: для заданных (с точностью до множителей) внешних воздействий исследовать зависимость параметров предельного цикла от изменяющейся (с принятым «шагом») геометрии кон­ струкции. При этом распределение приращений перемещений при переходе к следующему этапу определяется распределением ско­ ростей пластической деформации (механизмом разрушения), реа­ лизуемым согласно результатам расчета на предыдущем этапе. «Шаг» изменения геометрии при переходе к следующему этапу выбирается с учетом тенденции изменения параметров предель­ ного цикла и возможных качественных изменений в характере распределения пластических скоростей.

Принятый подход аналогичен методу, используемому в теории предельного равновесия при анализе влияния геометрической

115

чается в необходимости при анализе «упругих» и остаточных (вызванных неизменяющимися пластическими деформациями) на­ пряжений в условиях приспособляемости учитывать изменения геометрии в течение цикла. В случае гибкой конструкции эти изменения могут оказать определенное влияние на значения параметров предельного цикла; по мере увеличения жесткости оно исчезает. Если пренебречь геометрической нелинейностью в упругой области, учитывая лишь необратимую деформацию, накапливаемую при переходе к новому квазистационарному цик­ лическому состоянию, условия приспособляемости (на каждом этапе изменения геометрии) могут быть найдены с помощью обыч­ ных формулировок статической и кинематической теорем. Огра­ ничимся вначале именно такой постановкой задачи.

Получаемая из расчета зависимость параметров предельного цикла от характеристик «начальной» геометрии конструкции позволяет судить о возможности приспособляемости при заданных значениях параметров внешних воздействий, приближенно опре­ делять перемещения (обусловливающие геометрическую нелиней­ ность), которые будут накоплены к моменту приспособляемости (число циклов до приспособляемости, естественно, остается не­ известным). Кроме того, по разности между заданными параме­ трами нагружения и изменяющимися параметрами предельного цикла можно оценивать темп накопления деформации и его изме­ нение по числу циклов.

Предлагаемый приближенный метод рассмотрим на примере стержня (рис. 5.3, а). У стержня постоянное поперечное сечение, он шарнирно закреплен по краям и подвергается медленным, равномерным по длине нагревам до температуры t* с последующим охлаждением до нуля. Пусть в начальном состоянии (перед пер­ вым циклом изменения температуры) его ось идеально прямо­ линейна. Найдем температуру, при которой начинается прогрес­ сирующее коробление. С этой целью зададим стержню малое отклонение от первоначального прямолинейного положения равно-

116

весия, например, прикладывая к нему некоторую силу Р (рис. 5.3, б). Пусть эта сила прикладывается перед началом на­ грева и снимается в конце каждого цикла, после полного охла­ ждения стержня. При этом возможны следующие ситуации: а) стержень после каждого цикла возвращается к исходной прямо­ линейной форме, его поведение является чисто упругим; б) пластическая деформация прекращается после некоторого числа циклов (приспособляемость); при этом накопленные смещения, обусловленные наличием малой силы Р у пренебрежимо малы и могут не учитываться в условиях равновесия: в) имеет место ста­ бильное состояние с постоянным приращением необратимой дефор­ мации в каждом цикле, накопленные приращения в течение неко­ торого числа циклов могут не учитываться.

Воспользуемся кинематической теоремой, предполагая, что механизм разрушения имеет вид, изображенный на рис. 5.3, в. С помощью основного соотношения кинематической теоремы (1.67) нетрудно определить, что' при уменьшении силы Р условие про­ грессирующего разрушения применительно к рассматриваемому механизму стремится к следующему соотношению:

В предельном цикле скорости пластической деформации от­ личны от нуля в верхней части сечения в момент максимального нагрева (сжатие), а в нижней части — в момент полного охла­ ждения (растяжение). Направление односторонней деформации (изгиба) при этом связано лишь с присутствием сколь угодно ма­ лой, но конечной силы Р. Для идеально прямой балки условие начала прогрессирующего коробления при теплосменах совпа­ дает, как нетрудно заметить, с условием знакопеременного тече­ ния, которое в данном случае развивается во всем поперечном сечении стержня.

Неустойчивость, возникающая при знакопеременном течении, охватывающем зону, достаточную для реализации кинематически возможного механизма формоизменения, иллюстрируется рис. 5.3, г. Интересно, что условие (5.1) не изменится при других положениях точки приложения силы Р (и соответствующих им положениях пластического шарнира). В этом смысле оно отвечает состоянию безразличного равновесия, своеобразной бифуркации процесса деформирования. Отметим, что направление перемещения будет определенным и в том случае, если в качестве начального «возмущения» вместо механической нагрузки задано малое искри­ вление, либо тогда, когда пределы текучести при растяжении и сжатии имеют небольшое отличие, знак которого изменяется при нагреве.

Используя приближенный кинематический метод, рассмотрим теперь более общую (геометрически нелинейную) постановку за­ дачи об определении условий прогрессирующего выпучивания стержня (рис. 5.4, а). Применительно к более общим условиям

117

Рис. 5.4

непосредственное использование общих теорем, сформулирован­ ных в гл. 1, оказывается невозможным. Причиной является то, что при неизменной пластической деформации остаточные напря­ жения в цикле не могут считаться постоянными и рассматриваться независимо от внешних воздействий (поскольку неприменим прин­ цип суперпозиции). Связанные с этим изменения формулировок основных теорем обсуждались в статье [60]. В частности, одна из возможных формулировок кинематической теоремы имеет сле­ дующий вид: приспособляемость невозможна, если при заданных внешних воздействиях и «начальной» (в момент времени т = 0) геометрии конструкции можно отыскать кинематически допусти­ мый цикл скоростей пластической деформации, обеспечивающий выполнение неравенства

при любом допустимом распределении самоуравновешенных на­ пряжений в момент времени т = 0.

В (5.2) o\fx — изменяющиеся во времени напряжения, вы­ численные в предположении идеальной упругости материала с учетом заданных внешних воздействий, начального состояния (характеризуемого напряжениями р?/) и геометрической нелиней­ ности.

Рассмотрим теперь задачу об определении условий прогрес­

температура равномерного нагрева циклически изменяется в пре­ делах

118

причем в начальный момент времени цикла в стержне, согласно предположению, имеется остаточное растягивающее усилие R 0 (см. рис. 5.4).

Будем полагать, что для определения дополнительных про­ гибов w (х) может быть применено приближенное уравнение изо­ гнутой оси балки. Естественно, это накладывает определение ограничения на величины поперечных смещений; при большей изгибной жесткости стержня точность получаемых результатов будет соответственно выше. Интегрирование уравнения продольно­ поперечного изгиба стержня с учетом неизменности расстояния между опорами (в предположении идеальной упругости) приводит к следующим соотношениям, определяющим величину продоль­ ного усилия при нагреве и соответствующего дополнительного прогиба:

Здесь

модуль упругости и предел текучести для упрощения считаются независящими от температуры и продолжительности нагружения (ползучесть не учитывается); / , F — соответственно момент инерции и площадь поперечного сечения стержня; AR — изменение про­ дольного усилия при увеличении температуры от нуля до t (т).

Отнесенные к пределу текучести напряжения от нормальной силы и изгибающего момента в сечении х = у , соответствующие

усилиям, определяемым из выражений (5.5)—(5.7), можно пред­ ставить в виде

тральной оси по толщине стержня (положительное направление оси z вверх); Н — высота сечения; о = FlfiM.

119

1

? = 2 (}= 0

6

-/ 0 1

ь -1

Рис. 5.5

При t (т) = 0 напряжения в среднем сечении стержня опре­ деляются из выражений

На рис. 5.5 показано распределение фиктивных упругих на­ пряжений, определяемых выражениями (5.8), (5.9), в среднем

в форме, показанной штриховой линией на рис. 5.4, а . Предпо­ лагается, что пластические деформации, отвечающие приращению прогиба Aw0t сосредоточены в среднем сечении стержня, где имеет место разрыв приращений осевых перемещений Aw0i» опре­ деляющий изменение угла <р0 и соответствующее увеличение длины осевой линии. Величина Ац01 является функцией при­ ращения прогиба и координаты £:

Пусть прогибы стержня таковы, что во всех точках сечения максимальные растягивающие напряжения достигаются в момент полного охлаждения, а максимальные сжимающие — при дей­ ствии максимальной температуры (из рис. 5.5 видно, что, напри­

Тогда в тех точках сечения, где в предельном цикле приращения деформаций сжатия отличны от нуля (т. е. при £ > £0), минимум подынтегральному выражению в левой части неравенства обеспе­ чивается напряжениями (5.8), а в точках, где приращения де-

120

формаций положительны (£ < £0), — напряжениями (5.9). При этом неравенство (5.2) принимает вид

Предельное значение параметра q определяется путем совме­ стного решения неравенства (5.12) и уравнения (5.6). Результаты при указанных выше параметрах стержня приведены на рис. 5.6. Линия 1 отвечает условию прогрессирующего выпучивания для случая, когда максимальные остаточные напряжения, определя­ емые (5.8), равны пределу текучести, т. е.

Линия 2 соответствует началу прогрессирующего выпучивания при о 0 = 0. В соответствии с кинематической теоремой более близким к действитёльному предельному циклу является решение, соответствующее линии 1 (максимизация по начальным напря­ жениям).

При w0 = 0 условие прогрессирующего выпучивания (5.12) совпадает с условием (5.1), полученным выше на основании линей­ ной теории: прогрессирующее выпучивание в идеально прямо­

121