книги / Моделирование и автоматизация проектирования силовых полупроводниковых приборов

При характерном расстоянии 1 мм в рассматриваемом диоде реализуется режим, близкий к неизотермическому. Однако следует иметь в виду, что при возрастании гщ за счет неконтро­ лируемых погрешностей технологии может реализоваться также изотермический режим.

Итак, условно разделим СПП на ряд независимых МП, при­ чем ВАХ каждого МП предполагается известной и заданной, во­

где / „д — плотность тока в идеальной структуре без разбросов па­ раметров

жив отсутствие корреляции между изменениями исходных пара­ метров т, N и т. д. В результате получим

г='» + т (£)„<**+Т (^ L W +'" (4л5)

Из (4.13) также следует, что.

В иеизотермическом случае флуктуации тока приводят к не­ однородному по площади разогреву полупроводниковой пласти­ ны. Из (4.7) нетрудно получить следующую связь флуктуаций то­ ка с флуктуациями температуры:

bT=rthUbJ. (4.17)

Выражения (4.14), (4.16) полностью описывают работу неод­ нородного по площади СПП в изотермическом случае. В неизо­ термическом случае эти выражения следует дополнить формулой (4.17).

101

Хотя в общем виде выражения 7 и б/ записываются одинаково и для изотермического, и для пеизотермического режимов, сами выражения для производных в (4.15) и (4.16) сильно изменяются от одного режима к другому. Простой пример неоднородного р+-п перехода, иллюстрирующий сказанное, рассмотрен в [4.1].

Описывая метод учета флуктуаций электрофизических и гео­ метрических параметров структуры на характеристики СПП, мы проводили все рассуждения на примере ВАХ. Вид ВАХ определя­ ет ряд важных статических характеристик СПП, таких, как пре­ дельный ток, напряжение в открытом состоянии, ток в закрытом состоянии тиристора и обратный ток диодов и тиристоров, повто­ ряющееся напряжение в закрытом состоянии тиристоров и т. д. Применение метода для описания динамических характеристик тиристоров, определяемых неодномерными явлениями распростра­ нения включенного состояния по площади прибора, вообще говоря, невозможно. Сильные поперечные поля, возникающие при этом, меняют условие взаимной независимости МП, так что вопрос этот нуждается в дополнительном исследовании. Еще од­ но условие, ограничивающее применение описанного выше мето­ да учета разброса параметров структуры, следует из самого спо­ соба вычисления средней и среднеквадратичной флуктуации ха­ рактеристики. Фактически способ состоит в усреднении разложе­ ния в ряд по малым параметрам формулы, описывающей зависи­ мость выбранной характеристики от параметров структуры. По­ этому метод учета разброса параметров целесообразно использо­ вать тогда, когда зависимость характеристики от параметров структуры достаточно плавная. Это условие хорошо выполняется при описании характеристик СПП, указанных выше, однако для характеристик, определяемых пороговыми эффектами, например для напряжения пробоя р-п перехода, оно может нарушаться. Для описания таких характеристик следует пользоваться другим методом.

Влияние разброса параметров и нарушений кристаллической структуры кремния на напряжение пробоя р-п переходов подроб­ но рассмотрено в [4.3]. В рамках феноменологического описания лавинного пробоя реальных силовых переходов, носящего, как из­ вестно, микроплазменный характер, в [4.3] получена формула, связывающая снижение среднего напряжения пробоя р-п перехо­ да Ов с увеличением его .площади S:

боя микроплазм; сг — среднеквадратичное отклонение напряжения пробоя микроплазм.

Физическая причина снижения напряжения очевидна и опреде­ ляется увеличением вероятности появления электрически слабых мест, т. е. участков с низким напряжением пробоя — низковольт-

102

п ы х микроплазм. Конечно,, в рамках феноменологической модели нельзя аналитически связать параметры Ов и а с разбросом па­ раметров структуры, определяемых технологическим процессом. Однако такой подход позволяет получить общую формулу, не за­ висящую от физической природы возникновения микроплазм. В то же время накопление экспериментальных данных о зависимости Ов и а от вида технологии и исходного материала позволит опи­ сывать пробой диодов большой площади с хорошей точностью.

4.3.ОСНОВНЫЕ ТИПЫ ЗАДАЧ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ СПП

Описанный выше метод позволяет находить статические характеристики ре­ альных СПП с учетом разброса исходиых параметров структуры. Фактически результат, полученный в предыдущем параграфе, можно понимать следующим образом: при изготовлении партии однотипных СПП из материала, характеризуе­ мого средними значениями исходных параметров х, и разбросами 6*£ этих па­ раметров, значения конкретной электрической характеристики у различаются от прибора к прибору, однако среднее значение у и среднеквадратнческая флуктуа­ ция бу связаны с Xi и 6xi соотношениями типа (4.15) и (4.16):

(4.20)

где упд определяется соотношением

Возможность учитывать разброс исходных параметров при расчете характе­ ристик существенно изменяет характер проектирования СПП. Кроме изменений, вносимых в постановку традиционных задач проектирования — анализа и синте­ за, оказывается возможной постановка новой задачи, а именно задачи обосно­ вания требований к качеству кремния и уровню технологического процесса при производстве СПП. Ниже, следуя (4.4), остановимся кратко на каждой из этих задач.

УЧЕТ РАЗБРОСА ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ СИНТЕЗЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВОЙ СТРУКТУРЫ

Обычно задача синтеза формулируется следующим образом. Задаются зна­ чения Yi, выше которых (или, наоборот, ниже которых) не должны быть выход­ ные характеристики СПП. Например, падение напряжения в проводящем состоя­ нии должно быть не больше, а предельный ток не меньше выбранных заранее значений и т. д. Эти неравенства при условии их совместимости (а только такой случай и будем рассматривать, поскольку в случае противоречивости требований к выходным характеристикам СПП задача синтеза не имеет решения) выделяют область в пространстве исходных параметров. Это означает, что обычно сущест­ вует ряд значений исходных параметров, удовлетворяющих исходным требова­ ниям. Поэтому зачастую в расчет вводят еще одно соотношение, называемое критерием оптимальности, и из ряда допустимых значений исходных параметров

103

выбирают те, которые наилучшим образом соответствуют этому критерию опти­ мальности. Именно такой подход использован л [2.15]. Математически его можно записать следующим образом. Для ряда выходных характеристик yi, являющих­ ся функциями исходных параметров xi, т. е. yi= fi(x ,, х2, . ... л'п), задается не­ который критерий оптимальности. Тогда вся процедура сводится к решению си­ стемы уравнений

в которых Y\, Y2, .... Ym заданы, а последнее уравнение представляет собой

математическую запись критерия оптимальности.

Обычно число выходных характеристик СПП т превышает число исходных параметров п. При очевидной невырожденности системы (4.22) это означает, что

для каждого конкретного случая удается оптимизировать лишь часть характе­ ристик, причем числа исходных параметров и выходных характеристик, участ­

вующих в расчете, связаны соотношением n = m -j-l. Например, в [2.15] в каче­ стве критерия оптимальности использовано условие максимальности преобразуе­

нять, как именно меняется вид уравнений, входящих в нее, можно следующим образом. Описанный в предыдущем параграфе метод вычисления среднего значе­ ния у и среднеквадратичной флуктуации £ у данной характеристики СПП вполне пригоден для вычисления моментов более высокого порядка: (Ду )3 (Ду)* и т . д

Это позволяет определить такие характеристики теоретического распределения

к нормальному, поставленная задача может быть решена следующим образом. Для любого близкого к нормальному распределения приборов по данной харак­ теристике у можно всегда найти такое число k, чтобы значения данной харак­ теристики практически всех СПП находились в интервале [y—k6y, y-{-kby].

Например, в случае точно нормального распределения А = 3 . Э то сразу позволяет

записать систему уравнений для определения средних значений исходных пара­

В случае, когда As и Ем не малы и теоретическое распределение существенно

104

отличается от нормального, решение поставленной задачи несколько усложняет­ ся. Теперь вычисленные центральные моменты (Atji)2, (Ayt)3, (Ayi)* и т. д. позво­ ляют найти производящую функцию центральных моментов

Мд. (О = « Р (УС—Ус) *

и по этой функции известным способом [4.5] восстановить само теоретическое распределение. После того как вид функции распределения G{yi) установлен, легко записать условие, при выполнении которого значения данной характери­ стики практически всех СПП оказываются меньше (или превосходят) заранее заданного значения У/. Например, соотношение

ляет такую связь между средними значениями параметров хи *2, . ••, in , при которой Ai — часть СПП — имеет среднее значение характеристики, большее, чем Yi. Уравнения (4.24) в этом случае являются исходными для решения задачи синтеза параметров структуры по совокупности требований к ее выходным ха­ рактеристикам.

Дополнительное условие оптимальности может быть добавлено к уравнениям (4.23) либо (4.24) так же, как это было сделано при обсуждении системы (4.22).

ОБОСНОВАНИЕ ТРЕБОВАНИЙ К КАЧЕСТВУ КРЕМНИЯ И УРОВНЮ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Задача обоснования требований к качеству кремния и уровню технологиче­ ского процесса может быть решена с помощью тех же уравнений (4.23) либо (4.24) , что и задача синтеза. При этом как в одной, так и в другой задаче за­ данными считаются значения выходных характеристик У*. Однако в отличие от задачи синтеза, где неизвестными являются средние значения исходных парамет­ ров xi, в задаче обоснования требований необходимо найти допустимые разбросы исходных параметров 6х{, а сами средние значения xi считаются заданными. По­ этому ясно, что для решения задачи обоснования требований можно воспользо­ ваться уравнениями (4.23) либо (4.24), но решать их теперь надо относительно неизвестных величин бxi. Таким образом, для определенной конструкции (заданы средние значения параметров структуры xi) данного СПП (заданы выходные параметры У,) можно определить допустимые значения разброса исходных па­ раметров 8а',-, позволяющие получить заданный процент выхода годных приборов по конкретным характеристикам. Найденные значения 6х, и определяют требо­ вания к качеству кремния и уровню технологии.

Отметим, что помимо общей формулировки задачи обоснования требований практический интерес может представлять частная задача, когда заданным счи­ тается само значение среднеквадратичной флуктуации выходной характеристики бyi. Например, если для безотказной работы СПП нужно, чтобы разброс плот­ ности тока по его площади вследствие разброса исходных параметров не пре­ вышал т, %, то этого вполне достаточно, чтобы сформулировать требования, которым должны удовлетворять технологические операции при изготовлении прибора.

105

УЧЕТ РАЗБРОСА ИСХОДНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПРИ АНАЛИЗЕ ХАРАКТЕРИСТИК СПП

Задача анализа при проектировании СПП оказывается проще других. Это

ность, которая может встретиться, — это вычисление процента выхода годных

приборов, поскольку заранее неясно, какова теоретическая функция распределе­ ния приборов по выходным параметрам. Решить этот вопрос можно так же, как в предыдущем разделе.

Практически метод учета разброса исходных параметров при анализе харак­ теристик СПП был реализован в виде пакета прикладных программ «Тиристорстатистика», который описан в гл. 8 данной книги.

В заключение подчеркнем, что флуктуации исходных параметров структуры особенно сильно влияют на характеристики мощных СПП, диаметры которых превышают 100 мм. П оэтому учет флуктуаций параметров при расчете и проек­ тировании таких СПП становится необходимым. Попытки учесть разброс путем введения «запасов» по тому или иному исходному параметру, на наш взгляд, неэффективны и приводят лишь к ухудшению совокупности электрических харак­ теристик СПП.

Отметим, что в качестве причин, определяющих изменение характеристик СПП, в описанном методе рассматриваются флуктуации электрических парамет­ ров кремния и структуры, которые в рамках используемых физических моделей и определяют выходные характеристики СПП. Здесь не рассматриваются причи­ ны, обусловленные недостатками организации технологического процесса. Эти факторы не входят в физическую модель СПП, и учет их должен производиться другими методами.

Г л а в а п я т а я

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ. УДАРНЫЕ ТОКИ И ТОКИ АВАРИЙНОЙ ПЕРЕГРУЗКИ

Важность моделирования и расчета нестационарных тепловых процессов и токов перегрузки обусловлена как сложностью экс­ периментального измерения температурных полей в структуре СПП, так и тем, что при измерениях допустимых токов перегруз­ ки СПП разрушается.

Вбольшинстве случаев отказы полупроводниковых приборов,

ив том числе и СПП, вследствие воздействия импульсов тока связаны с перегревом всей кремниевой структуры или ее части.

При воздействии импульсов тока большой длительности воз­ можны различные механизмы отказов, но большинство авторов отмечает как основной механизм проплавление кремниевой пла­ стины в результате образования шнура тока или расплавление припоев [5.1].

106

Различают ударные токи и токи аварийной перегрузки. Удар­

пропускании которого через тиристор без последующего прило­ жения прямого напряжения определенные классификационные параметры еще не выходят за пределы норм. При использовании других режимов, например при изменении длительности и формы импульсов, в случае приложения прямого или обратного напряже­ ния после воздействия импульсов тока, будем использовать тер­ мин «ток аварийной перегрузки».

Для расчета ударного тока и тока аварийной перегрузки не­ обходим расчет температуры кремниевой структуры. Исследова­ ние тепловых процессов в полупроводниковой структуре при од­ нократном воздействии импульса тока приводилось в [5.1—5.3]. Аналитическое решение уравнений теплопроводности не обеспе­ чивает требуемой точности при расчете температуры, так как мо­ дель структуры принимается упрощенной, в ней не учитывается влияние контактных тепловых сопротивлений, прокладок, а так­ же нелинейных эффектов, связанных с температурной зависимо­ стью теплофизических и электрических характеристик.

Наиболее перспективными для расчета температур перегрева при воздействии импульсов тока большой длительности представ­ ляются численные методы, развитые в [2.6, 2.7, 5.3—5.5, 5.12].

5.1. МОДЕЛЬ ДЛЯ РАСЧЕТА ТЕМПЕРАТУРЫ КРЕМНИЕВОЙ СТРУКТУРЫ

Расчет температуры при воздействии мощных импульсов тока большой длительности будет проведен при следующих предполо­ жениях.

1. Тепловые потоки одномерны, направлены вдоль оси при­ бора. Для диодов это предположение справедливо и при коротких импульсах тока. В случае тиристоров оно выполняется при им­ пульсах достаточно длинных, превышающих 1 мс, так как время включения тиристоров по всей площади, как правило, заметно меньше 1 мс. В тиристорах с разветвленной геометрией катода и управляющего электрода процесс распространения включенного состояния заканчивается еще быстрее. Поэтому выделяющаяся в процессе включения энергия значительно меньше энергии, рассеи­ ваемой в СПП при воздействии ударного тока или тока аварий­ ной перегрузки.

2 . СПП можно представить в виде многослойной модели, со­ стоящей из последовательности однородных слоев; типичная кон­ струкция показана на рис. 5.1.

Будем учитывать лишь те элементы конструкции, которые на­ греваются за интересующий нас промежуток времени (единицы

идесятки миллисекунд. Поэтому радиатор учитывать не будем.

3.В местах спаев тепловой контакт идеален, т. е. не обладает теплоемкостью и тепловым сопротивлением. Влияние прижимных

107

Рис. 5.1. Модель структуры СПП, используемая для расчета температуры

контактов учтем с помощью тепловых контактных сопротивлений RK, теплоемкость которых принимается равной нулю.

4. Начальную температуру всех элементов конструкции будем считать равной Т0, а температуру свободных торцевых границ — постоянной и равной То.

5. Удельная теплоемкость с и плотность р всех материалов, а также коэффициенты теплопроводности металлов X будем пола­

где Т— абсолютная температура, которая дает хорошее совпаде­ ние с экспериментальными данными (погрешность не более 5%) в диапазоне температур 300— 1300 К [5.7].

6. Выделение тепла происходит только в кремниевой пластине, так как омическим сопротивлением металлов можно пренебречь.

Уравнение теплопроводности

Cp f - = d i v ( * grad 7)-f-Q

для металлов имеет вид

где Q (х, t, Т) — объемная плотность тепловых источников.

108

Граничные условия имеют вид

Для идеального контакта RK= 0. Начальное условие

Температура торцевых границ постоянна и равна 7V В наибо­ лее общем случае уравнения (5.1) — (5.5) решаются совместно с уравнениями, описывающими ВАХ СПП при больших плотностях тока (см. гл. 3). Подобный подход осуществлен в [5.8]. Однако он требует большого объема памяти и высокого быстродействия ЭВМ, так как решение задачи становится достаточно громозд­ ким. Другой подход, дающий возможность получить сравнительно простое выражение для плотности тепловых источников Q(x, t, Т), состоит в представлении ВАХ в виде

где и0— напряжение отсечки, определяемое в основном падением напряжения на р-п переходах; RR— динамическое сопротивление в открытом состоянии, зависящее от температуры*.

Экспериментальная зависимость Ra{T) достаточно хорошо ап­ проксимируется выражением

тическими исследованиями, результаты которых приведены в гл. 3. В качестве достаточно хорошего приближения для решения теп­ ловых задач можно брать

фективная толщина базы, залитая подвижными носителями, см.

* В (5.6) и далее в гл. 5 пороговое напряжение (напряжение отсечки) обозначается £/<>, а динамическое сопротивление — Ял, тогда как по ГОСТ реко­

мендовано Ут(То) и Гт- Эт° связано с тем, что в гл. 5 рассматриваются плот­ ности тока порядка 103 А/см2 и режимы измерения U0 и /?д могут отличаться от общепринятых.

109

В дальнейшем примем, что выделение тепла происходит рав­ номерно по всей толщине кремниевой структуры W. В этом слу­ чае Q(х, t, Т) не зависит от х. С учетом (5.6), (5.7)

Уравнения (5.2), (5.3) решаются с использованием явного се­ точного метода [2 .6].

В [5.9] было найдено, что для рассматриваемого круга задач условие устойчивости решения может быть представлено в виде

где I— шаг по времени, с; h— шаг по координате, см.

Как показали расчеты, уже при количестве пространственных узлов N=30 решение практически перестает изменяться. Увели­ чение N > 30, не повышая практически точность расчета, резко увеличивает время счета, так как согласно (5.10) приходится уменьшать шаг по времени.

В [5.12] исследован вопрос о возможности замены в математической модели

расчета температуры тонких слоев одного материала (например, серебряной про­ кладки) другим тонким слоем, эквивалентным по тепловым свойствам. Тепловое поле других элементов конструкции при этом должно остаться неизменным. Пусть имеется слой 1 толщиной h с теплофизическими константами Xi, Ci, pi,

отражающего равенство стационарных тепловых сопротивлений, для этих слоев должно также быть выполнено соотношение

Условие (5.12) показывает, какие материалы взаимозаменяемы, а (5.11) определяет соотношение толщин слоев. Если в слое 1 действует источник тепла

ciPi

В некоторых случаях удается исключить тонкий слой за счет утолщения контактирующего с ним материала. В частности, серебряную прокладку можно исключить из модели, эквивалентно увеличив слой меди и сохранив контактное

(Хср)си

тепловое сопротивление RK, так как ' (Л,ср)А

Выше отмечалось, что в описываемой модели принято равномерное распре­ деление источника тепла в кремниевой пластине. В ряде работ для расчетов используют плоскостной источник тепла [5.9], расположенный в центре пластины. Вероятно, наиболее близко к реальному распределение, использованное в [5.8],

110