книги / Прикладные задачи устойчивости многослойных композитных оболочек

3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем 61

Таким образом, возможность применения модели прямой линии связана не с малостью собственной изгибной жёсткости несущих слоёв по сравнению с изгибной жёсткостью трёхслойного пакета (D*c D\), как иногда считают, а существенно зависит от жёсткости К трёхслой­ ного пакета на поперечные сдвиги.

Зависимость (3.36) позволяет получить критерий применимости классической модели оболочек с неизменной нормалью к трёхслойным оболочкам. В самом деле, из формулы (3.36) следует, что классическую модель можно использовать для расчёта на устойчивость при осевом сжатии, если влияние поперечных сдвигов пренебрежимо мало, т. е.

1. (3.40)

4К

При этом погрешность применения классической модели составляет

Из зависимостей (3.41) следует, что критерий применимости клас­ сической модели практически не зависит от толщины заполнителя.

От соотношений между обобщёнными жесткостями зависит так­ же степень влияния граничных условий на критическое усилие. Так, в области слабых на поперечные сдвиги заполнителей (2К Т^), как отмечалось выше, критическое усилие определяется, в основном, сдви­ говой жёсткостью заполнителя (Т,кр ~ К) и слабо зависит от собствен­ ной жёсткости TjQ несущих слоёв, см. (3.31). Поскольку сдвиговая жёсткость К трёхслойного пакета не зависит от граничных условий, то и критическое усилие в области слабых на сдвиги заполнителей практически не зависит от граничных условий. В области достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей (2К > Tffi) критическое усилие согласно формуле (3.36) определяется значением, рассчитанным по классической теории, поэтому влияние граничных условий в этой области практически такое же, как и для классических оболочек [1, 8, 14, 24].

Обратим внимание, что, в отличие от тонкостенных изотропных оболочек, где форма волнообразования (3.10) при потере устойчиво­ сти от осевого сжатия однозначно не определена, в цилиндрических изотропных трёхслойных оболочках со слабым на сдвиг заполнителем параметры волнообразования (Л = Акр, пкр = 0) определены однознач­ но, см. (3.31), (3.34). В связи с этим можно предположить, что в таких оболочках экспериментальные и теоретические значения критических сжимающих осевых усилий не должны сильно различаться. Имеющи­ еся экспериментальные данные [80] не противоречат этому утвержде­ нию. В том случае, когда сдвиговая жёсткость заполнителя велика (4К » Тщ), приходим к классической модели оболочек с неизменной нормалью, и форма волнообразования снова становится неоднозначной.

62 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

Поправочный экспериментальный коэффициент в этом случае можно оценить с помощью [8].

3 .3 .2 . Внеш нее давление. Для определения критических пара­ метров (кольцевого усилия Т2 = pR, характеристик волнообразования Акр) пкр) при потере устойчивости от действия внешнего давления р воспользуемся соотношениями (3.25) для полубезмоментных непологих оболочек [19, 61]. Это можно сделать, поскольку при потере устойчиво­ сти от внешнего давления в цилиндрической оболочке образуется одна полуволна в осевом направлении (Акр = Ai). Полагая в соотношении (3.25) Т\ = S = 0, найдём:

Критическое значение кольцевого усилия Т2кр получается отсюда минимизацией по параметру волнообразования п. Если количество волн в кольцевом направлении достаточно велико (n2 1; п2 3> А2), то можно получить следующее соотношение для расчёта критического значения величины п:

В том случае, когда заполнитель слабо сопротивляется поперечным сдвигам, т. е. выполняется условие ш(п2 —1) 3> 1, из второго равенства (3.42) можно получить:

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае форма потери устойчивости (пкр) не зависит от сдвиговой жёсткости заполнителя,

а определяется только свойствами несущих слоёв. Проводя минимиза­ цию выражения (3.45) по параметру гг, можно найти:

Здесь величина Т"с определяется критическим усилием в оболочке с раздельно работающими несущими слоями. Если число волн доста­ точно велико (?г2р 1, гг2р А2), то минимизацию можно провести аналитически, считая величину п непрерывной. В результате:

Если заполнитель достаточно жёсткий на поперечные сдвиги, т. е. выполняется условие и>р (п2 —1) ~ 1, то соотношение (3.42) можно привести к виду:

водя минимизацию выражения (3.48) по непрерывному параметру гг, найдём:

В этих соотношениях параметр t зависит от сдвиговой жёсткости заполнителя, а функция f p(t) определяет влияние поперечных сдвигов в заполнителе на критическое усилие.

Соотношение (3.49) можно упростить. Так, для малых значений параметра t (слабый на сдвиги заполнитель) функция f p(t) аппрокси­ мируется выражением

f P(.t) = I * 0 — 0 ,1412) .

Подставляя это выражение в зависимости (3.49), получим с учё­ том соотношения (3.46) формулу для расчёта критического усилия

66 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

Для исследования устойчивости при кручении трёхслойных цилин­ дрических оболочек воспользуемся как соотношениями (3.4) теории трёхслойных пологих оболочек, так и полубезмоментными соотноше­ ниями (3.5), позволяющими учесть непологость. Полагая в указанных соотношениях Т\ = Тг = 0, получим:

M — крутящий момент, действующий на оболочку.

Рассмотрим сначала трёхслойные оболочки со слабым на попереч­

Из соотношений (3.57), (3.58) видно, что они пригодны, если вы­ полняется условие

ь* (1 + ^ к Р) < !•

Критические значения параметров волнообразования и сдви­ гающего усилия определяются из соотношений (3.58) после ми­ нимизации его по аргументу ф. Численный анализ показывает,

что функция Т (ф) в области минимума слабо зависит от аргумента ф, поэтому при определении величинв1 критического параметра фкр будем считать Т (ф) = const. Проведя с таким условием минимизацию выра­ жения (3.58), можно получить:

/Т™ /

S KP = K ^ l + ^ - y / l - 462 .

совпадающей с известным результатом [68]. Этот результат следует из зависимости (3.59), если положить Т“ = 0, и соответствует так называемой сдвиговой форме потери устойчивости.

Можно показать, что для слабых на поперечные сдвиги заполните­ лей, когда выполняется условие (3.56), критические усилия заключены в пределах:

Заметим, что в соответствии с зависимостями (3.59) параметры вол­ нообразования Акр и пкр близки друг к другу (фкр « 1) и, кроме того, велики (пкр 1, Акр 1). Отсюда можно сделать вывод о слабом вли­ янии граничных условий на значения критических сдвигающих усилий. Поэтому в рассматриваемом случае достаточно слабых на поперечные сдвиги заполнителей, когда выполняется условие (3.56); применение первой из зависимостей (3.55) оправдано, хотя эта зависимость и не полностью соответствует условиям шарнирного опирания.

Полученные выше соотношения характерны при потере устойчиво­ сти от кручения достаточно коротких трёхслойных оболочек со слабым на поперечные сдвиги заполнителем.

Если жёсткость К заполнителя на поперечные сдвиги достаточно

68 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

аналогичной форме при потере устойчивости классических оболочек с неизменной нормалью: образуются одна полуволна в осевом направ­ лении (Акр = Ai = л R /t) и несколько спиральных волн [66]. В этом случае поперечные сдвиги можно учитывать по модели прямолинейно­ го элемента, а характер волнообразования позволяет применить полубезмоментную теорию трёхслойных оболочек.

В результате для расчётов критических параметров воспользуемся

Критическое значение сдвигающего усилия S определяется отсюда минимизацией по параметру волнообразования п — числу спиральных

Выражение (3.65) можно проминимизировать по параметру п, счи­ тая его непрерывным. В результате, используя решение [24], получим следующие формулы для расчёта критических параметров:

3.3. Трёхслойные цилиндрические оболочки с лёгким заполнителем 69

В полученных соотношениях функция / S(s) характеризует влияние поперечных сдвигов. При абсолютно жёстком на сдвиги заполнителе, когда s ^ оо, fs(s) —>1, получаем классические формулы (3.19).

В случае достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей, когда ввгаолняется условие (3.64), величина s довольно велика, поэто­ му можно положить

Тогда для расчёта критических параметров можно получить:

Анализ показал, что при выборе расчётных формул можно пользо­ ваться следующими оценками:

- если выполняется условие

то необходимо вести расчёт по формулам (3.59) или (3.62); - если выполняется условие

К >

то целесообразно применять формулы (3.66) или (3.68).

Полученные выше зависимости (3.66), (3.68) относятся к оболоч­ кам с шарнирно опёртыми краями. Если края жёстко закреплены, то

По аналогии со случаями осевого сжатия и наружного давления, при кручении также можно выделить жесткостные характеристики

В том случае, когда оболочки достаточно длинные, а критический параметр пкр волнообразования снижается до двух, можно получить расчётную зависимость, обобщающую на трёхслойные оболочки из­ вестную для изотропных однослойных оболочек формулу Шверина. Полагая во втором выражении (3.55) п = 2, найдём:

70 Гл. 3. Общая устойчивость изотропных цилиндрических оболочек

При абсолютно жёстком на поперечные сдвиги заполнителе ( ш = 0) отсюда следуют формулы (3.21). Заметим, что в рассматриваемом слу­ чае, как следует из зависимости (3.70), шА^р <С 1, поэтому в соотно­ шениях (3.70) можно полагать D* = D*, шр = ш.

При расчёте конструкций необходимо считаться с тем, что теоре­ тические значения критических усилий вследствие влияния начальных неправильностей могут отличаться от их экспериментальных значений. Как отмечалось выше, особенно большие различия наблюдаются в тех случаях, когда имеет место неоднозначность формы потери устойчи­ вости. К счастью, при кручении форма волнообразования при потере устойчивости всегда однозначно определена. Это позволяет предпо­ ложить, что при кручении трёхслойных оболочек не будет больших различий между теоретическими и экспериментальными значениями критических усилий. Кроме того, в области слабых на поперечные сдвиги заполнителей, когда расчёт проводится по формулам (3.59), кри­ тическое усилие определяется величиной сдвиговой жёсткости К трёх­ слойного пакета, а эта величина не подвержена влиянию начальных неправильностей. В области достаточно жёстких на поперечные сдвиги заполнителей, когда расчёт ведётся по формулам (3.68), критическое усилие определяет величина £ ж, полученная на основе классической модели оболочек с неизменной нормалью. В этом случае при выборе поправочного коэффициента для тонких оболочек можно ориентиро­ ваться на рекомендации [8] для классических оболочек.

3.4. Трёхслойные с жёстким заполнителем и многослойные изотропные оболочки

Заполнитель в трёхслойных конструкциях принято называть жёст­ ким, если его жёсткости на растяжение-сжатие, сдвиги, изгибы и кру­ чения сравнимы с соответствующими жесткостями несущих слоёв. Из полученных выше расчётных зависимостей следует, что если сдвиговая жёсткость заполнителя велика, т. е. выполняется условие

то для расчёта критических усилий можно пользоваться сдвиговой моделью оболочек с прямолинейным элементом. Из соотношения (3.71) следует, что если жёсткости заполнителя и трёхслойного пакета одного

с жёстким заполнителем применима модель прямолинейного элемента или даже классическая модель оболочек с неизменной нормалью.