книги / Основы радиоэлектроники
..pdfтока Ф2 пронизывает катушку вто рого контура. Величина Ф2 харак теризуется взаимной индуктивно стью (взаимоиндуктивностью) М:
Ф'2 = М/Х.
Ток /2, протекая через катушку |
|
||||
второго |
контура с |
индуктивно |
|
||
стью L2, создает магнитный по |
|
||||
ток Ф2 = Z/2/2J а часть этого пото |
|
||||
ка Ф\ пронизывает катушку пер |
|
||||
вого контура Ф\ = М/2. |
|
|
|||
Обе |
катушки |
оказываются |
|
||
связанными из-за взаимного |
|
||||
проникновения |
магнитных |
пото |
|
||
ков: изменения |
магнитных |
пото |
|
||
ков Ф\ и Ф2 приводят к появлению |
|
||||
в первом и втором контурахЭДС |
|
||||
взаимной |
индукции |
е12 = |
d o 1 |
|
|
— — |
|
||||
|
d02 г , |
учетом второго |
|
||
и e2i = ------ . С |
|
||||
закона Кирхгофа система связан- |
Рис. 2.45 |
ных контуров описывается системой уравнений:
uLx + uRl + Uc=e UL2+ uRi+ uC2 = e21.
Отсюда получаем:
Li |
+ |
С! 1 |
dt |
|
|
(2.6)
^ |
+ ' л + 1 ^ - - м т |
|
О |
Чвых
Представим токи /ь i2 и ЭДС еи меняющиеся по гармоническому закону, в комплексном виде:
h = L e Jo>'; h = L e Ja'-, 1\=Ёи еj( o t
и тогда система уравнений (2.6) может быть представлена в виде:
iiZ ^ + iiRi + hZc, = ЁМ—у'ооМД, |
|
|||
. |
. |
. . |
. |
(2-7) |
Д ^ с , + 727?2 + 722 CJ — у соМ Д |
|
|||
или |
iiZ i= E Mt-ja>Mi2, |
|
|
|
|
|
|
||
|
/2Z 2= -/ы М Д, |
|
|
|
где Z 1= Z Li + R 1 + Z Ci— импеданс первого |
контура |
при М = 0. |
Z 2 = Z LI + R2+ Z C — импеданс второго контура при М = 0. Найдем коэффициент передачи четырехполюсника, изобра
женного на рис. 2.46. Входное напряжение UBXравно напряжению на зажимах генератора ЭДС, т. е.:
Овх = и г= Ёщ
Будем снимать выходное й вых напряжение с емкости С2. В этом случае
Тогда коэффициент передачи к равен
j'r_ ^ВЫХ_ Д
и ., м с 2е „ ;
Из (2.7) можно найти токи Д и Д:
/ _ -УшМД. f _ |
|
12------ |
3----511 — |
Z. + -
Из последнего выражения видно, что ток Д определяется сопро тивлением первого контура Z x и вносимым в первый контур
сопротивлением ZBH= —;—. С учетом выражения /2 получаем:
C(Z, ■Z l + w2M 2)
Пусть С1 = С2 = С\ L I = L 2 = L; R t =R2 = R; тогда Z x= Z 2 = Z
уM
C (Z 2+ а>2М 2)
Представим Z в виде Ё= R+j(o0L^ = R(\ +jQ^) и положим
to2 asot>o; у = &• Тогда
|
к = - |
kQ1 |
|
(1 +JQ^)2+k2Q2' |
|
АЧХ системы имеет вид: |
|
|
|
1*1 = |
kQ2 |
|
|
|
|
ч/(1 ~Q2? + k2Q2)2 + 4Q V |
|
Возможны следующие случаи: |
||
1) При kQ<z 1 |
|
|
kQ2 |
-это соответствует одногорбой АЧХ. Чем слабее |
|
1*1 = 1+ Q2^2 |
связь (меньше к), тем коэффициент передачи меньше. Максимум
дрстигается на |
резонансной |
|
частоте |
оо = (ор при |
£ = 0. |
|
1*1ша%— kQ2<Q- |
Этот |
максимум |
меньше, чем максимум |
коэф |
||
фициента передачи одиночного контура К= |
. Полоса про- |
|||||
|
„ |
- Д (0ГО |
|
0,65 |
1+JQ\ |
|
|
|
|
|
|||
пускания при слабой связи 2——£ = |
|
|
|
2) При критической связи kQ = 1
2^1+ е ч 4/4'
Максимум этого коэффициента передачи меньше, чем у одиноч ного контура в 2 раза. Вблизи резонансной частоты АЧХ меняет ся медленнее, чем у одиночного контура, а на краях полосы пропускания АЧХ меняется сильнее, т. е. АЧХ такой системы ближе к идеальной П-образной характеристике, чем АЧХ одиноч ного контура (рис. 2.47, 2.48). Полоса пропускания определяется из условия:
Q ^п> _I. 'je _^ 4®гр_\/2 |
|
|||
л |
15 ZC3rp |
Шо |
~ZT9 |
|
4 |
|
Q |
|
|
\ к \ |
|
|
|
|
Q. |
|
АЧХ оЗиночного контура |
||
Ц/2 |
|
АЧХ связанных |
контуров |
|
Чг |
|
|||
|
|
№ = 1) |
|
|
|
|
АЧХ связанных |
контуров |
{кЦ< 1)
о
Рис. 2.47
\KI
Рис. 2.48
т. е. полоса пропускания в v/2 раз больше полосы пропускания
Л Лсогп |
t _ |
одиночного контура 2—- |
= 1/Q. |
(00 |
|
3) При kQ > 1 АЧХ становится двугорбой. Максимальные значе ния |Х|тах = б /2 достигаются на частотах
«>1.2 = <»о1J l ± - ~R Q2~ 1
Провал на резонансной частоте достигает K /^/l при KQ = 2,41. При этом полоса пропускания, определенная по уровню
Х'ма.с1у/2 равна |
=3,1 /Q (рис. 2.48). |
Последним рассматриваемым в данном параграфе классом фильтров являются полосно-заграждающие фильтры (ПЗФ). Эти фильтры подавляют колебания лишь в определенной полосе частот, а колебания всех остальных частот— и более низких, и более высоких— пропускают. АЧХ идеального ПЗФ приведена на рис. 2.49. При создании таких фильтров используются резо нансные свойства параллельных и последовательных контуров. Простой ПЗФ изображен на рис. 2.50. Коэффициент передачи этого фильтра равен
и
l __________ [
Рис. 2.51 |
Рис. 2.52 |
На резонансной частоте |Z|->oo при отсутствии потерь в контуре, а |АГ| = 0. АЧХ этого фильтра приведена на рис. 2.51. Чтобы приблизиться к АЧХ идеального ПЗФ, изображенной на рис. 2.49, используют несколько параллельных и последовательных кон туров. Схема такого ПЗФ изображена на рис. 2.52.
§ 2.7. Линии передачи электромагнитных волн
Линии передачи электромагнитных волн служат для трансля ции этих волн от выхода передатчика к передающей антенне и от приемной антенны ко входу приемника. Всем известна широко распространенная линия передачи— телевизионный коаксиаль ный кабель, связывающий телевизионную антенну со входом телевизора.
Линии передачи электромагнитных волн и антенны являются линейными цепями с распределенными параметрами. Их раз меры соизмеримы, а для длинного кабеля могут быть и больше длины электромагнитной волны.
В линиях передачи распространяются электромагнитные вол ны, которые характеризуются напряженностями электрического
поля Ё и магнитного поля Н |
Вместо напряженности магнитного |
|
-» |
-* |
н |
поля Н можно рассматривать магнитную индукцию В |
= ---- , |
где ц— относительная магнитная проницаемость среды, в кото рой распространяется волна, ц0— магнитная проницаемость ва куума. Рассмотрим два типа линии передачи: двухпроводную линию, представляющую из себя два провода, расстояние а меж ду которыми много меньше длины волны (а< ),) (рис. 2.53), и коаксиальную линию, которая представляет собой внутренний провод, окруженный диэлектриком и внешней металлической
|
|
|
оплеткой |
|
(рис. 2.54). |
||||
|
|
|
Диаметр |
|
металличе |
||||
|
|
|
ской оплетки 2R также |
||||||
|
|
|
должен быть много ме |
||||||
|
|
|
ньше X (2R<z:X). |
|
|
||||
|
|
|
с^ |
Описания процессов |
|||||
|
|
|
помощью |
величин |
|||||
|
|
|
Ё и В можно избежать, |
||||||
|
|
|
и ввести привычные ве |
||||||
|
|
|
личины— токи |
i |
и на |
||||
|
|
|
пряжения |
и. Рассмот |
|||||
|
|
|
рим процессы |
в |
двух |
||||
|
|
|
проводной |
линии |
без |
||||
|
|
|
потерь. |
При |
распро |
||||
|
|
^ |
странении |
в |
|
линии |
|||
|
|
электромагнитной вол- |
|||||||
|
|
* |
ны |
между |
проводами |
||||
|
|
|
линии существуют |
на |
|||||
ческого поля |
Ё |
|
пряженность |
|
электри |
||||
(рис.2.53) и,соответственно, напряжение и= Еа. |
|||||||||
Одновременно |
существует напряженность |
магнитного |
поля |
В (рис. 2.53). Линии магнитного поля замкнуты вокруг провод ников с током. Между проводниками вектор В направлен перпен дикулярно чертежу от смотрящего. Магнитное поле определяется токами /, протекающими в обоих проводниках, причем в верхнем проводнике течет ток вправо, а в нижнем — влево. Такими осо бенностями обладают токи в распределенных системах. Если двигаться вдоль линии передачи, то обнаружим, что переменные ток и напряжение между проводниками зависят не только от времени, но и от координаты х:
/= /(**, /); и —и(дг, t).
Выберем отрезок линии передачи малой длины Ах. Так как вокруг каждого проводника существует магнитное поле и про
водник обладает индуктивностью, изменение напряжения А u = j~ Ах на отрезке Ах можно представить как падение напряжения
Au = A L — на |
последовательно |
dt |
индуктивности |
включенной |
|
AL = L0 Ах, где L0— погонная |
|
индуктивность |
(индуктивность |
линии единичной длины); соглас но второму закону Кирхгофа для схемы рис. 2.55:
и (дг)= и (х + Ах) -|-Аи =
= M(X)+ ^ A X + L 0AX ^ . |
|
' ox |
dt |
Отсюда получаем после исключения из правой и левой частей равенства и(х) и сокращения на Дх
ди _ |
т di |
дх |
0 dt |
Поскольку между двумя проводами линии существует электриче
ское поле, изменение тока Ai(x)= — Ах на отрезке |
Ал: можно |
||
|
7 |
дх |
|
представить как результат ответвления части тока |
Д /= Д С ^ |
||
через параллельно включенную |
емкость АС=С0Ах, где |
||
С0 — погонная емкость (емкость линии единичной длины). |
|||
Согласно первому закону Кирхгофа для схемы рис. 2.55 |
|||
i{x) = i(x + Ax) + Ai=i{x) + ^ A x + C0AxY (• |
|||
Отсюда |
|
|
|
Si _ |
r |
Sit |
|
дх |
0 dt |
|
|
Уравнения: |
|
|
|
< |
; + |
! Н |
|
описывают процессы в длинной линии и называются телеграфны ми уравнениями. Впервые они были получены английским уче ным Оливером Хевисайдом (1850— 1925).
Продифференцировав одно уравнение по х, а второе по t и ис ключив одну переменную (или /, или и), получим волновое урав нение:
д2и д2и I?'' LnCn ’ V
d2i
д?' V o дх25
описывающее распростране ние волн напряжения и тока в длинной линии. Решением этого уравнения, как легко проверить, является любая дважды дифференцируемая
волны. Но электромагнитная волна распространяется со скоростью
К =с/ч/ец, где с— скорость света в вакууме, е и ц— относительные диэлектрические и магнитные постоянные вещества между провод никами линии передачи.
Рассмотрим частный случай (рис. 2.56), когда /и м представ ляют собой волны, которые описываются формулами:
i(x, t) = Jmcos((ot±kx+q>i), и(х, t)= Umcos((ot±кх+(ри),
где k= — = ^ — волновое число.
U л
Воспользуемся комплексным методом и представим ток и напря жение в комплексном виде:
/(*, t) = iMej<°“±kx\
(2.8)
й(х, l)=Umejla,±kx\
Знак «—» соответствует волне, бегущей вправо. Действительно, для максимума тока i(x, /), когда COS(G)/ —Ъг+<р,-)= 1, имеем со/—kx+<Pi = 2nn (п — целое число). Отсюда
ср/ — 2кп+Ш
Очевидно, что с течением времени (с ростом /) максимум тока перемещается вправо (.v растет), а величина V характеризует перемещение точки волны / с постоянной фазой ф = со ? —Ъ :+ ср,-; т. е. является фазовой скоростью. Аналогично доказывается, что знак «+» в выражении Ш+кх описывают волну, бегущую влево. Подставив в телеграфные уравнения комплексные выражения тока и напряжения волны, бегущей вправо, получим:
j(oLoimjk U m = 0,
Отсюда |
= Z0; величина Z0 называется волновым сопро- |
*т |
V ^ 0 |
тивлением линии передачи. Волновое сопротивление телевизион ного кабеля равно Z0 = 75 Ом. Таким образом, амплитуды тока и напряжения бегущей волны связаны волновым сопротивлени-
с |
n |
uj„ |
и± |
ем, а мощность бегущей волны равна Рпад = —— = ——. |
|||
|
|
2 |
2Z 0 |
Бегущие вправо и влево волны возбуждаются источником ЭДС (рис. 2.57) только в линиях передачи бесконечной длины. Выделим в линии передачи отрезок длиной / и рассмотрим коэффициент передачи четырехполюсника, содержащего отрезок линии такой длины. Коэффициент передачи равен отношению комплексных амплитуд напряжения на выходе и входе четырех полюсника:
^_ ^лых ~ ~о.7'
Для волны, бегущей вправо, согласно (2.8):
ивхй = U е ~jkx,
и= й е -#<*+«
ивых и /ис
Отсюда
К = \ К \ е * > = U„e-Jkix+,) _ е jkl _ е —jme
0 те~»* |
V ' |
Рис. 2.58 Рис. 2.59
Модуль этого коэффициента передачи равен \К\=\,& фаза линей но зависит от частоты <p(a>)= —ш —= —ют. Отрезок линии об
ладает идеальным коэффициентом передачи, постоянным по мо дулю на всех частотах и осуществляющим задержку сигнала без искажений на время т = l/V В частности, если необходимо т = 10 ~6 сек, следует выбрать линию передачи (без диэлектрика) длиной /=300 м. В линиях передачи конечной длины режим бегущих волн не реализуется при наличии на конце линии: корот кого замыкания (рис. 2.58), холостого хода. (разрыва) (рис. 2.59)
или |
произвольного |
сопротивления Z'H, |
отличного от |
Z0 |
(рис. 2.60). В |
этом случае бегущая |
вправо волна |
tinaa = AeJ(‘0‘~kx), достигнув неоднородности, отражается и появля ется отраженная волна и0™= BeJim,+kx\ которая без затухания (так как линия без потерь) бежит влево. В любой точке х линии передачи напряжение и(х) теперь равно сумме напряжений, обус ловленных падающей и отраженной волнами
й = кпад + йотр = е [ А е ~*х+ Ве'кх] = е * ‘[ 0тплд+ UmoTp] (2.9) Комплексная амплитуда этого напряжения имеет вид:
Um —^тпад ^тотр-
Согласно первому телеграфному уравнению комплексную ам плитуду тока 1т(х) можно найти в виде:
Ф ) = |
____1 |
дОт(х) _ Ae->kx- B e ikx |
|
ju>L0 |
дх |
Z 0 |
|
|
U,/ я п м U тогр |
(2.10) |
В точках подключения произволь ной нагрузки ZH отношение ком плексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока опре-