книги / Операционное исчисление и обобщенные ряды Лагерра
..pdf1. Дискретный аналог функции Дирака
{1 при t= n
6(г— л).= О при t ^ n (У ле#),
п
т. е. ô(f—л)—(О, О,. . . , 0, 1 , 0, .. .). Справедливо операционное соотношение
b(t — л)*5-г".
2. Дискретный аналог функции Хевисайда
(О t < п
Я ( < - - » ) - (i t > „ ( v n e m ,
п
H(t—л) = (0, 0 , i . . , О, 1, 1 ,...).
Справедливо операционное соотношение
(1.2.2)
(1.2.3)
Нетрудно также убедиться в справедливости |
нижесле- |
|
дующих операционных соотношений |
|
|
*■ |
( v n e j f >- |
(1.2.4) |
|
||
4. |
< - 1 ) - * (* )+ (г - 1 )\ |
(1.2.5) |
в- СЬо^и+1 * |
(1.2.6) |
|
|
||
Замечания, а. Соотношения (4), (6) непосредственно сле дуют из (3), если воспользоваться алгебраическим диффе ренцированием ф. с. р.
б. Символом ^ ) обозначен биномиальный коэффициент
(сочетание из л по ft). Всюду полагается, что |
при |
|
л, kQN и л < ft. |
характеристики р |
вместо |
в. В случае конечных полей |
||
биномиальных коэффициентов |
рассматриваются |
их наи |
меньшие неотрицательные вычеты по mod р.
В связи с этим целесообразно отметить формулу
(mod/?),
где^—J — целая часть от деления т на р, а \т \р — остаток
(наименьший неотрицательный вычет) от деления т на р. 6. Если а 1= (1 , а, а 2, ...)» то
|
|
|
а t - i - , |
• |
|
(1.2.7) |
|
|
|
1—аг |
|
|
|
7. |
Если |
ф(£+1)=ф(£) + ф(£— 1) |
и ф(0)=ф(1)=1, |
то |
||
w + |
ï = h s r - |
|
|
|
|
|
8. Если |
0Щ, „ (*)= (!, |
О,..., О, — 1, О,..., О, |
|
|||
|
|
1) О,... у |
Oj 1) Oj•• • , Oj |
1 ) . . .)) |
|
|
то |
|
|
|
|
1 - г ” |
|
|
i. n(t)-i- l —zm-]-zn—zm+n-{-z2a-{- |
(1. 2.8 |
||||
|
. . . = j |
|||||
9. Очевидно, что в случае, когда Р является полем комп лексных чисел, любая функция F (г), аналитичная в окрест ности точки z —0, принадлежит классу P [z]. Следовательно* ей отвечает в P[t] вполне определенная функция /(£)
|
СО |
m |
^ f kzk= F (z). |
Например, ) ■*- (1 + г)х |
(У^еР). |
Приведем теперь некоторые простейшие правила дис кретного операционного исчисления, имеющие соответст вующие аналоги в непрерывном случае.
Пусть ф (£) 6 P W и ф(£)-т-Ф(г). Тогда
аналогом теоремы подобия является правило
а ' в ( £ ) - н ф ( а г ) , |
( 1 . 2 . 9 ) |
аналогом теоремы запаздывания — правило
(здесь qp(t—m) = 0 при t<Cm),
аналогом теоремы упреждения — правило
|
Ф(г)-(?0+?1г+ . ■. +?TO- i гт x) |
||||
<p(f + m)-*- |
|
гт |
|
(1.2.11) |
|
|
|
|
|
|
|
аналогом теоремы дифференцирования оригинала — пра |
|||||
вило |
|
|
|
|
|
|
д? (*) + |
Ш |
- |
-§ * <?о, |
(1.2.12) |
аналогом |
теоремы |
интегрирования |
оригинала — пра |
||
вило |
|
|
|
|
|
|
|
2 ? ( £ ) - * - < 1 . 2 . 1 8 ) |
|||
|
|
Л = 0 |
|
|
|
аналогом |
теоремы |
дифференцирования изображения — |
|||
правило |
|
|
|
|
|
|
СпП)9 (*+П)^ |
' ё |
" Ф(г)’ |
(1-2Л4) |
|
аналогом теоремы интегрирования изображения (в слу чае, тогда Р является полем комплексных чисел) — правило
Щ + |
(1.2.15) |
|
о |
Используя правило (13), можно получить дискретный аналог известной формулы Коши
2
1^0ftj=0
По индукции правило (12) может быть обобщено на об щий случай:
-T ( V ) " 2д ?о- • - • - 4 Н е
целесообразно ввести понятие взвешенной конечной разности, определяемой по формуле
Д<.и<Р(*) = eq>(*+1) — Р? (*)• |
(1.2.16) |
Этот оператор объединяет в себе, например, ряд практиче ски важных типов операторов:
при |
а = 1 , р=0 — оператор сдвига Ai,оср(£)= ЯфСО= ф(?+ 1) ; |
при |
а = 1 , Р = 1 — оператор конечной разности Ai,i<p(?) = |
=ф (*+1)—<р(Ц; |
|
при а = — ,р = ----i ------ оператор усреднения A i |
|
|
2 ’ 2 |
=M(p(f) = 4 [ф(* + 1 ) + ф(Ц] и т. п.
Естественно, может быть определена взвешенная конеч
ная |
разность высоких порядков. |
Например, A3l, р,; р,<КО= |
= |
Л « „ | з Д д,f>,?(t))=« А а „3,| [ а 1 ф |
( ? + 1 ) — р 1 ф ( 02ф] =^ а+1 а2 ) — |
— (ctip2+ а2р1)ф(г+1) + Р1$2ф(0 И т. д.
Нетрудно заметить, что для взвешенной конечной разно
сти справедливо операционное соотношение |
|
||||
|
|
|
( г г ) - ■• |
• <г> - |
|
I V , ( * k * i- h + i* \ |
( a.n-^nz\ |
îV-i* p*+i ^ |
|||
k \ |
г |
] |
* ' * \ г |
/ Ч.Р.; |
|
В последней сумме слагаемые, отвечающие значениям, индекса суммирования k при k = l и k= n , полагаются соот ветственно равными
Д°. . . |
®(0)=<р(0) |
(при й = 1), |
Отметим также некоторые модификации правила диф ференцирования изображений.
Так можно получить операционное соотношение
Заметим, в частности, что справедливо
[*Т гг) т |
гПф Ы |
d -2-18) |
Отсюда, учитывая (18), из (17) получим новое операцион ное соотношение
(1.2.19)
§ 3. Операционный анализ конечных операторов
Из определения конечного оператора А следует, что каждая его компонента А *(/*) в общем случае имеет вид:
1) если Р — конечное поле, то A t (I() представляет собой полином'над Р переменных из I
2) если Р — поле характеристики нуль, то A t( I ,) являет ся несингулярным отношением двух полиномов переменных
из I t.
Несингулярность отношения полиномов понимается в следующем смысле: полином, расположенный в знаменате ле, не равен 0 при любых значениях его переменных. В про тивном случае оператор А будет не всюду определенным на Р[*].
Из описанного класса операторов выделим для изучения два типа операторов : линейные и дробно-линейные.
Оператор А будем называть линейным, если каждая его компонента A t { I t) является линейной комбинацией пере менных, входящих в I f
Оператор А будем называть дробно-линейным, если каж дая его компонента A t (It) является несингулярным отно шением линейных комбинаций переменных, входящих в 1(.
Нас будут интересовать операционные соотношения, свя занные с указанными типами операторов.
Вначале остановимся на структуре линейных операто ров.
Как обычно, общий вид линейных операторов может быть описан на языке матриц: каждый линейный оператор А находится во взаимнооднозначном соответствии с беско нечной матрицей А, определенной над полем Р, каждая строка которой содержит конечное число отличных от нуля элементов; так, t-я строка матрицы А содержит в качестве
своих |
элементов коэффициенты линейной комбинации |
A t(I t), |
причем коэффициент при переменной Xj(YXj(ù I t) |
располагается в j -м столбце (строки г).
Бесконечные матрицы указанного типа будем называть финитными.
Пр и мер. Пусть компоненты оператора А имеют вид
- A o t f o ) = / 0 0 * 0 + / о 4 * 4 ‘(/ о = { * 0 , * 4 » ,
A \(Il) = floXo-hfl2X2 + fn X i( I l= {x 0t х 2> Х 4} ) ,
A ^ I i ) = f^ X a -\ -f2 lX i-k -f2 2 x 2'\'f2Ax i(^ 2 — {*<)» Х|, |
x 2i X i } )> |
|
тогда действию оператора А на последовательность [х |
= |
|
= (хо, xi, Х2, . ..) отвечает матричная операция: |
умножение |
|
финитной матрицы на вектор-столбец |
|
|
Лю |
0 |
0 |
|
0 |
f 04 |
Л о |
0 |
f |
12 |
0 |
f u |
f 20 |
f a |
f |
22 |
0 |
f u |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
?х 2 Г |
0 0 |
||
Рассмотрим вторую форму представления конечных ли нейных операторов, имеющую непосредственный интерес для дискретного операционного исчисления.
Сопоставим каждому столбцу финитной матрицы опера тора А формальный степенной ряд. В итоге получим не бо лее чем счетную последовательность ф. с. р.
F 0(z), Fi{z), F 2(Z), ... |
(1.3.1) |
По построению каждой финитной матрице отвечает одна и только одна последовательность вида (1), которую будем называть z-последовательностью оператора А.
Достоинство представления линейных операторов 2-по- следовательностями состоит в том, что на языке таких по следовательностей легко осуществляется операционная трактовка действия оператора А на элементы пространства
оригиналов Р [*]. |
|
отвечает |
Действию линейного оператора А на [а,]«ем |
||
в пространстве изображений Р [2] операция |
|
|
со |
|
|
Ж я*.Ьс*г ■+■2 |
(2). |
(1.3.2) |
ft=0 |
|
|
В пространстве ф. с. р. бесконечный ряд (2) имеет вполне определенный смысл, так как он подчинен принципу финитности, который выражается в данном случае в том, что в процессе приведения подобных членов при одинаковых сте пенях 2 коэффициенты результирующего ф. с. р. иечйсляются посредством конечного числа арифметических опера ций над элементами поля Р.
Из изложенного следует, что конечные линейные опера торы, определенные над пространством оригиналов, могут быть единственным образом описаны в пространстве изоб ражений посредством ^-последовательностей.
В связи с этим исследуем некоторые свойства 2-последо вательностей.
Введем определение: бесконечную последовательность целых неотрицательных чисел будем называть ограниченно возрастающей, если каждое целое число встречается в ней не более чем конечное число раз.
Из определения 2-последовательностей непосредственно следует утверждение: последовательность ф. с. р. Fo(z), Fi(z), F 2(2), ... является з-последовательностью некоторого линей ного оператора тогда и только тогда, когда порядки членов этой последовательности образуют ограниченно возрастаю щую последовательность целых чисел.
Покажем, что совокупность всех 2-последовательностей образует коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля.
Очевидно, последовательность (1, 0, 0, 0, ...) является 2- последовательностью. Здесь нулевые элементы рассматри ваются как ф. с. р. бесконечного порядка. Указанной 2-по следовательности отвечает оператор проектирования прост ранства P[f] на Хо-оеь.
Нам нужно показать, что сумма двух любых 2-последо- вательностей и их произведение (свертка) также являются 3- последовательностями. С этой целью отметим несколько свойств ограниченно возрастающих последовательностей:
а) для того чтобы последовательность целых чисел была ограниченно возрастающей, необходимо и достаточно, что бы любая ее подпоследовательность не была бы стационар ной;
б) последовательность целых чисел, мажорирующая ограниченно возрастающую последовательность, является ограниченно возрастающей;
в) если [a t]re.№ и [b t]tew — ограниченно возрастающие последовательности целых чисел, то последовательности целых чисел [cjtew, образованных по правилам
ct=m in{a„ bt}
или
c,/=m in{ot_ ,+ b f),
0«»«f
являются ограниченно возрастающими.
Первые два свойства непосредственно следуют из опре деления ограниченно возрастающих последовательностей целых чисел.
Переходя к третьему свойству, докажем вначале его первую часть.
Предположим, что последовательность целых чисел [c,j teN не является ограниченно возрастающей, т. е. что существует стационарная подпоследовательность [с^] : с*х =•
= с*, = . . . = с. Отсюда, поскольку |
=m in{afei, bk.}, то |
имеет место система равенств |
|
Oji==Os,==Û8,:= . . . =С, |
|
bml= bm ,~bm>— . . . |
= С, |
из которых хотя бы одна бесконечная. Последнее противо речит тому, что последовательности целых чисел [a t] и [b,J ограниченно возрастающие.
Аналогично предположим, что последовательность це лых чисел - [c 'J не является ограниченно возрастающей. Тогда существует хотя бы одна ее стационарная подпоследо
вательность с'*, = с'ь, = . . . |
= с', что эквивалентно системе |
|
равенств a*,-*, -f- b$t = |
+ b*a = . . . = с', где |
st некоторые |
фиксированные индексы, |
удовлетворяющие |
условию 0^ |
sÇs I ^ Й[,
Последняя система равенств может быть переписана в
виде |
|
®ki—si С |
2, 3,. . . ). |
Из (а) следует, что любая подпоследовательность огра ниченно возрастающей последовательности целых чисел является ограниченно возрастающей, следовательно, под последовательность [bs.] является ограниченно возрастаю
щей, поэтому найдется такой достаточно большой номер s£, что Ь— > с . Последнее противоречит тому, что последова
тельность [с А] ограниченно возрастающая.
Теперь утверждение, что совокупность г-последователь- ностей образует кольцо, вытекает непосредственно из систе мы неравенств, связывающих порядки компонентов операн дов:
0(F*±G*)>min[0(F*), 0(G*)J,
О) 2 |
F k -t •G. I > nnn[0(F*_,)+0(G,)j. |
Vî5> |
J о<»<к |
Для того чтобы точнее описать кольцо 2-последователь ностей, воспользуемся соотношением (2), полагая в нем a(t)= w*. Тогда каждому линейному оператору А соответ ствует (взаимно однозначно) выражение
00 |
|
А <— > 2 F * (2) wk — F (w, г). |
(1.3.3) |
*=о |
|
В силу изложенного выше это выражение может рас сматриваться как элемент, обозначаемый символом F(w, z), кольца формальных степенных рядов, изоморфного кольцу 2-последовательностей.
Указанный элемент F(w, z) при фиксированном значе нии и>еР может рассматриваться как элемент пространства изображений Р[г] и согласно принципу финитности может быть представлен в виде
00 |
|
|
F(w, 2)= 2 |
(H)) 2S , |
(1.3.4) |
8=0 |
|
|
где Qs (w) многочлены относительно w.
Сопоставляя (3), (4), выводим тождество, справедливое в Р[з] :
СО |
00 |
к=0 |
8=0 |
Из приведенного тождества непосредственно следует': 1) для того чтобы элемент F(w, z) кольца ф. с. р. над
полем Р при разложении по степеням w производил 2-после довательность (F o (3 ), Fi(z), F 2(2),...), необходимо и доста точно, чтобы разложение F(w, 2) по степеням z генерирова ло последовательность многочленов Qo(u>h Q1(10)» 62(10),....
относительно w ; |
|
|
кольцу |
|
2) кольцо 2-последовательностей изоморфно |
||||
ф. с. р. над кольцом многочленов. |
|
|||
Таким |
образом, следующие |
кольца: кольцо конечных |
||
линейных |
операторов; |
кольцо |
финитных матриц; |
кольцо |
2-последовательностей; |
кольцо |
формальных степенных ря |
||
дов над кольцом многочленов изоморфны.
Кроме того, из соотношения (5) в силу (3) и (2) следует,
что
со оо
2 |
4 F k (г) = 2 « . (И) з*. |
(1-3.6) |
А=0 |
8=0 |
|
I f
Поэтому
(1.3.7)
в=0
где Qs([<x]) вычисляется следующим образом: если
№ ) = |
2 Cft8)U)b |
|
|
ft= 0 |
|
H |
|
|
[ « î l e » — ( « » « ю « 2 , . . . ) , |
||
то |
|
|
e .ff« ]> - 2 |
« ïW |
|
|
fc=0 |
|
яричем многочлены Qt (w) |
генерируются производящей |
|
функцией |
|
|
|
со |
|
F(w, z) = |
2 |
Q A v )*t |
|
ь=о |
|
где F(w, z) определяется соотношением
00
2 ™крк{г) = F(w , z).
k=0
В качестве примера найдем производящую функцию F(w, z), когда финитная матрица конечного оператора пред ставляет обобщенный треугольник Паскаля, т. е. имеет вид
Я(ю 0 |
0 |
0 |
а 1Ъ~*’а Ц |
0 |
0 |
а 20~У а21~ *а 22 |
0 |
|
Фф
ФФ Ф
a4o^-a41-Hi42-+a43 |
Ф |
|
Ф |
Ф |
|
* • |
|
К |
где элементы первого столбца и главной диагонали опреде ляются из разложения