книги / Микропроцессорное управление технологическими процессами в радиоэлектронике

на интервале Bk+i при произвольном и

Vi (г) - -J*- V, ( \ ) е ~ Фк~ г> —

( i ) rf5 + ^ - e (г),

1 г

где 0 = klt Lt такие же, как и в предыдущих фор­ мулах;

на интервале Ak+i при произвольном т

В заключение запишем управляющие функции дви­ жущегося двумерного материала, не приводя подроб­ ных формул.

Найдем такую функцию F (х, у, t), чтобы решение начально-краевой задачи

<rf<0- »*>-иг + *a(0 - g - + 20-е т - = *< *. г/.О

(4.28)

с начальными и краевыми условиями вида (3.36) и

коэффициента; функция у в правой части уравнения (4.29) заранее задана.

152

Если ©v (я* у, t) — решение уравнения (4.28), кото­ рое совпадает с решением уравнения (4.29) (при соответствующих граничных и начальных условиях), то 0 V(х , уу 0 удовлетворяет соотношению

Справедливо также соотношение

На основании этого получаем следующее соотно­ шение для нахождения искомой функции

(4.30)

Для вычислений необходимо подставить в форму­ лу (4.30) полученное в гл. 3.3 приближенное решение ©v в виде произведения. Замена точного решения 0V приближенным приводит к нахождению приближен­

ного значения управления F.

4.4.СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ

ПРОЦЕССАМИ ПРОИЗВОДСТВА НАМОТОЧНЫХ ИЗДЕЛИЙ

В существующем намоточном оборудовании отсутст­ вуют быстродействующие измерители натяжения и специализированные системы, способные отрабаты­ вать быстроизменяющиеся возмущения. Для компен­ сации этих возмущений применяют принцип инва­ риантности, разработанный акад. В. Н. Петровым.

163

При этом возникает задача разработки методов и средств, позволяющих обеспечить компенсацию из­ менения основных возмущений в динамическом и статическом режимах с необходимой для техноло­ гического процесса точностью.

Схема намотки провода на квадратный каркас показана на рис. 8. При намотке провода на квадрат­ ный (или прямоугольный) каркас в результате изме­ нения мгновенного радиуса намотки изменяется его линейная скорость икв в точке контакта провода с кар­ касом В. Вследствие этого возникает ускорение дви­ жущейся массы проводника, а соответственно и до­ полнительное усилие натяжения провода АТ. Для создания системы стабилизации можно использовать приближенную зависимость

А Т = k J ( u s , — V A ) d t ,

где k — статический коэффициент упругости провода; ивг — горизонтальная составляющая линейной ско­ рости 0КВ; VA — линейная скорость провода в точке касания с роликом А . С учетом предварительного на­ тяжения 7 0, величина которого определяется выбором рабочей точки ведения процесса на участке пропорцио­ нальности кривой Гука (приблизительно Т = = 0,857*max» где Тщах — граница участка пропорцио­ нальности а (е)).

Суммарное натяжение

Т = Т 0 ± АТ = 7 0 ± k £ (0вг — 0л) dt.

Зависимость линейной скорости от времени 0кв =* = / (f) для квадратного каркаса является периоди­ ческой функцией. Приближенно ее можно разложить на две составляющие: постоянную 0кво и переменную 0кв.п» меняющуюся по закону синуса,

0кв — 0квО 4 “ 0кв.п = 0квО "Ь 0кв

154

где I?KD — амплитуда переменной составляющей ли­ нейной скорости; со! — частота переменной состав­ ляющей.

Составляющие икв0 и укв.г зависят от угловой ско­ рости вращения каркаса ш и так называемого мгновен­ ного радиуса каркаса R (расстояние от центра кар­ каса до точки касания каркаса с проводом). Принцип построения системы стаби­ лизации натяжения бази-

\ м

К *

Компенсирующий сит а

Рис. 8. Схема намотки провода на квадратный каркас

Рис. 9. Схема компенсации продольных колебаний проводника

руется на компенсации переменной составляющей ли­ нейной скорости окв.п.

Рассмотрим метод регулирования линейной ско­ рости провода в точке А, сводящийся к тому, чтобы VA — Увг, тогда f (vBr — VA) dt = 0 и А7* = 0. Для решения этой задачи необходимо на ролике создать дополнительный момент вращения М, передаваемый через жестко связанный с ним двигатель (рис. 9). Уравнение моментов, приложенных к ролику в процес­ се намотки провода, имеет вид

/Ивр = м г - м = м с + у р- ^ - ,

где момент вращения М вр уравновешивается моментом сопротивления, имеющим статическую Мс и динами­

ческую J р составляющие; Мт = TRV— момент,

создаваемый усилием натяжения; Мс — момент ста­

166

тических сопротивлений ролика, обусловленный тре­ нием вращения ролика; J v — момент инерции ролика с проводом.

Выразив угловую скорость ролика со2 через линей­ ную и пренебрегая моментом УИС ввиду его малости, получим

dvA dt '

где Rp — радиус ролика.

Из-за влияния момента инерции Ур ускорение регу» лировочного ролика меньше ускорении провода в

ником появления переменного натяжения АТ. Рассмотрим схему стабилизации натяжения про­

водника (рис. 10). Регулирующее воздействие форми­ руется в блоке 10 синхронно со скоростью вращения

156

приводного электродвигателя 1 (синхронизацию осу­ ществляет датчик угловой скорости 9) и подается в ви­ де напряжения « 3 на якорь регулирующего электро­ двигателя 4, который и вырабатывает дополнительный момент =hМ, прикладываемый к валу тормозного ролика 6. При этом привод электродвигателя 4 рабо­ тает в режиме следящего привода 118]. В схеме пре­ дусмотрена обратная связь по натяжению проводни­ ка с помощью бесконтактного быстродействующего датчика натяжения 5, предназначенная для компенса­ ции случайных возмущающих воздействий, которые возникают в системе при западаний провода в бобине, из-за неточного изготовления механических узлов, эксцентриситета, перекоса роликов и т. д.

Предлагаемая схема стабилизации натяжения обладает некоторой инерционностью, определяемой электромеханической инерцией якоря двигателя по­ стоянного тока, поэтому при больших скоростях на­ мотки рекомендуются малойнерциоиные двигатели с гладким якорем типа МИГ, обладающие высоким быстродействием. Схему можно существенно упро­ стить, если заставить электродвигатель 1 выполнять две функции: основного и регулирующего (метод «колеблющегося каркаса») [18]. Поскольку момент инерции регулирующего электродвигателя определя­ ется переменной величиной момента инерции каркаса с проводом (вместо момента инерции облегченного ролика в первом случае), динамические свойства та­ кой системы значительно хуже.

Поэтому такую систему можно рекомендовать к применению только в станках с вращающимся повод­ ком и неподвижным каркасом.

Поскольку наиболее сложно реализовать форми­ рователь компенсационного воздействия 10, рассмот­ рим первый упрощенный вариант поставленной зада­ чи. Это оправдано тем, что любая система управления

167

содержит инерционные звенья, поэтому формирова­ ние воздействия с высокой точностью за счет дополни­ тельных аппаратурных затрат нерентабельно и зна­ чительно понижает надежность системы.

Разложим в ряд Фурье периодическую несинусои­ дальную функцию

о

При таком упрощении функции управления в ка­ честве формирователя компенсационного воздействия можно применять и стандартные устройства с автома­ тической синхронизацией (например, синхронные тахогенераторы).

Рассмотренные системы достаточно эффективны, но обладают существенным недостатком: они содер­ жат регуляторы контактного типа (тормозной ролик — провод), так как стабилизирующий эффект создается за счет трения между тормозным роликом и проводом. Их можно с успехом применять при разработке систем управления натяжением для проектируемого оборудо­ вания Однако парк существующего оборудования мож­ но использовать с большей эффективностью, если при­ менять бесконтактные методы стабилизации.

Рассмотрим компенсацию продольных колебаний в материале за счет создания гасящих поперечных колебаний с помощью бесконтактного струнного ге­ нератора с управляемой частотой и амплитудой. Бес­ контактный . источник поперечных колебаний разме­ щают на отрезке [а, р] рассматриваемого участка струны [0, /]. Рассмотрим случай, когда управляющая

158

функция представляет собой б-образную по х функ­ цию в правой части уравнения

(Ly) (t, х)=в + v у (/, х) —

гд е! — оператор, действующий по приведенному пра­

= ( « * _ , £ c L t„ 3 ( - 2 с ? - '- ‘ (х -

\£=0

159

где pft — некоторые константы, зависящие от a, v и с. Из полученного выражения следует, что в линей­

ную оболочку пар функций вида Ак (0, /) (/г = 0, 1, ...) входят функции, имеющие на 1а, р] следующий вид:

Из теоремы Вейерштрасса об аппроксимации лю­ бой непрерывной функции на [а, р] многочленами следует, что в замыкание в норме L2 рассматриваемой линейной оболочки входят произвольные функции из подпространства

W1[а, Р] 0 La tcs, РЬ

чю позволяет утверждать полную управляемость рас­ сматриваемой системы.

Для определенности рассмотрим частный случай: а = 2е; р = / — 2 в; а ' = е; р' — I — е; е > 0 .

При малых е этот случай описывает 6-образную им­

10, /] так, что на этих концах она принимает нулевое значение. Полная управляемость очевидна из преды­ дущих рассуждений. Время, необходимое для полного успокоения струны при ограниченной амплитуде воздействия

160