книги / Механика промышленных роботов и манипуляторов с электроприводом

Рис. 4.36. Схема шарнира Гука со связанными системами координат

Выражение (4.76) представляет скалярное произведение векторов. Вы­ полнив умножение, получим основное уравнение универсального шарнира:

Если ось*z(1) направить перпендикулярно к плоскости вилки 1 и соответ­ ственно изменить расположение осей остальных звеньев, то окажется, что в процессе движения сохраняется ортогональность осей у(1)и у(3) что приводит к уравнению

tg 0 3 = t g0 j / cosa .

Из условия ортогональности осей JC(2) и у(3)после выполнения вычисле­ ний, аналогичных приведенным выше, следует формула для определения движения по координате <р2:

Для определения 03 примем во внимание, что ось х(3) совпадает с осью JC(s) и имеет постоянное направление. Тогда, приравняв соответствующие элементы векторов Txs и Тх3, получим три уравнения, из которых следует:

Продифференцируем по времени зависимости (4.77)—(4.79). Опуская промежуточные преобразования, приведем окончательные формулы для определения угловых скоростей и ускорений в шарнирах А, В, С:

При выводе формулы для ускорений предполагалось, что ф х = const. Векторы и операторы угловых скоростей и угловых ускорений определяют­

Все векторы и операторы даны в связанных системах звеньев. Существенным недостатком шарнира Гука является непостоянство ско­

рости вращения выходного звена. Из анализа формулы для определения ф$ следует, что при фх = 0, тг угловая скорость выходного звена достигает минимума ^ 3min = 0icosa, а при фх = тг/2, Зтг/2 — максимума фз т а х = =0 jcosa. В моменты прохождения вилки выходного звена через плоскость, в которой лежат оси х, у, скорость выходного звена максимальна и мини­ мальна, когда вилка перпендикулярна к той же плоскости. Если угловые скорости входного и выходного звеньев совпадают, соответствующие зна­ чения угла фj определяются из уравнения

c o s a / ( l s i n 20 j S i n 2a ) = 1.

Неравномерность движения характеризуется коэффициентом

8 = (^ 3ш>х * 3« i n > ^ i = s i n 2a / c o s a ,

возрастающим с увеличением угла а. При малых значениях a 6 s a 2. Карданная передача, составленная из двух шарниров Гука, симметрично расположенных относительно соединяющего их промежуточного вала, обеспечивает постоянство частоты вращения выходного звена. Симметрич­ ность достигается установкой осей входного и выходного звеньев в одной плоскости под углами OLX= <х2 = a к промежуточному валу.

Шарнир Гука — это частный случай сферического механизма. Более

общий случай получается, если ось крестовины направить под углом £ - 90°- -у к оси вращения входного звена. Такой механизм называется косым ключом Гука. В этом механизме связанная система первого звена хyz(1) получена последовательным выполнением двух поворотов системы xyz: сначала на угол фх вокруг оси х до совмещения плоскости zx с плоскостью осей входного и выходного звеньев, а затем поворотом вокругоси у на угол у:

= ХУ

Учитывая условие ортогональности осей z(2) и у(3),

и выполняя соответствующее вычисление, получаем основное уравнение косого ключа Гука:

При у = 0 уравнение (4.80) переходит в (4.77). В случае, когда a = 90°, механизм называется прямым ключом Гука (рис. 4.37). Для него

tg ф3 = cos" 1фj tgy.

Механизм прямого ключа Гука применяется для преобразования враща­ тельного движения в колебательное с амплитудой 2у. Он может быть ис­ пользован в механизме привода поворотной колонны манипулятора.

На рис. 4.38 представлен рычажный дифференциал с двумя управляе­ мыми координатами. В нем также использованы механизмы универсально­ го шарнира. В основе дифференциала лежит призма изменяемой ко­ нфигурации: длины стержней — ребер призмы — равны между собой, основания представляют конгруэнтные фигуры, число граней может быть

xyz(0), совпадающую,например, с системой jcyz(2). Тогда переход к ней от xyz(1) и xyz (2) описьшается матрицей В х= У0 и В2 - 1.

После выполнения поворотов в шарнирах Л и В на углы <рх и <р2 связан­ ные системы приобретут ориентацию, описываемую матрицами Т| и т 2:

Здесь Zj и Z2 — матрицы элементарных поворотов на углы <р х и (р2; Х хи Х2

— матрицы элементарных поворотов на углы ф { и ф2\ углы <р { и независимые обобщенные координаты; углы фхиф2 — зависимые обобщенные координаты.

Установим эти зависимости. Ограничимся случаем, когда оси шарниров Ли В ортогональны. Тогда угол 0 = 90° и матрица В х имеет вид

Очевидным свойством механизма является параллельность осей у(3) и у(4), сохраняющаяся при движении. Поэтому, приравняв вектор-столбцы, выражающие орты осей у(3)и у(4) в матрицах x t и т 2, получим уравнения

Разделив почленно первое уравнение системы (4.81 ) на второе, получим

t g * i = c o s * > , t a p 2 .

Аналогичным образом из второго и третьего уравнений следует равенство tg Ф2 = “C O S ^ t g ^

Система уравнений (4.81) обладает симметрией, выражающей геомет­ рическую симметрию механизма. После определения и ф2 с помощью матриц т J и т 2 находим ориентацию ребер призмы, а также решаем задачу о координатах точек этого механизма. Если же, наоборот, задана ориента­ ция какого-либо стержня, например углами <рj и то угол <р2, необходи­ мый для отработки заданного положения, определим из уравнения (4.82).

4.13. Гибкие исполнительные органы манипуляторов

Последнее время в промышленных роботах получают распространение различные устройства, расширяющие функциональные возможности рабо­ чего органа. Одним из таких устройств является гибкий “хобот” манипуля­ тора (рис. 4.39). Он представляет многосекционную конструкцию, образованную шарнирно сочлененными звеньями, которая обычно закреп-

ляется на конечном звене манипулятора. Для приведения ее в действие используются гидроцилиндры поворотного и поступательного движений. Это жесткая конструкция, ее конфигурация определяется двумя обобщен­ ными координатами. По форме механизм напоминает плоскую дугу, кри­ визна которой зависит от значения одной из обобщенных координат. Такое исполнение механизма повышает способность рабочего органа огибать пре­ пятствия, работать в зонах со стесненным рабочим пространством. Это определяет перспективы его применения для обслуживания замкнутых объемов, позволяет в ряде случаев отказаться от сложных механизмов ориентации, работа которых основана на принципе карданова подвеса.

Известен ряд схем гибкого “хобота”. Остановимся на схеме фирмы N1TRO-NOBEL-MEC: В ней в наиболее яркой форме выражены признаки, свойственные устройствам такого рода.

Цель проводимого анализа — разработка математической модели, кото­ рая позволит с использованием ЭВМ управлять заданным движением.

На рис. 4.40 представлена кинематическая схема плоской многозвенной рычажной цепи, составляющей основу рассматриваемого гибкого “хобота”. При всей внешней сложности это своеобразный плоский шарнирный меха­ низм с одной степенью подвижности. Он в некоторой степени напоминает открытую кинематическую цепь, но содержит систему взаимосвязанных замкнутых контуров. Его оригинальная структура требует разработки спе­ циального приема кинематического исследования.

Прежде всего выясним структурные особенности механизма. Анализ показывает, что возможны несколько вариантов разложения на элементар­ ные структурные образования. Будем придерживаться такого варианта, при котором последующий кинематический анализ можно построить, опи­ раясь на единообразный алгоритм исследования шарнирных диад.

Механизм можно рассматривать как чередующуюся последователь­ ность простых шарнирных диад двух типов (рис. 4.41, а,б). Это подтверждается при рассмотре­ нии рис. 4.40, на котором нане­ сены наименования кинема­ тических nàp, соответствующие рис. 4.41, но с индексами, ука­ зывающими на повторяемость соответствующихти пов шарнир­ ных диад.

Представленный на рис. 4.40 участок кинематической цепи содержит два модуля. В состав первого модуля входят диады А 1В 1С1 и FXE XDX

связанные между собой; второй модуль образован диадами А2В2С2 и F2E2D2, причем модули имеют одинаковые размеры. Вобщем случае число модулей может быть любым.

Исходя из метода уравнений связи, основные положения которого изло­ жены выше, получены уравнения, на основе которых решается задача о положениях для шарнирной диады ЛВС (рис. 4.41,д):

аг\={(1<УА-Ус)- ^ 1<'УА-Ус)2-[(хл-хс)2 +

+ ( УА ' У с ) 2 1 I Ч2 - (ХА-ХС) 2 1 } / [ ( ХА~ХС) 2 +

Для шарнирной диады FED (рис. 4.41, б) тем же способом получены следующие уравнения:

а 2 \ - {Q (y D- y F) +U 2^yD- y F) 2 ' ^ ('xD'x F)2jt’

+( yD- y F ) 2} [ Q2- ( x D- xF ) 2} } / [ ( X D - X f ) 2+

XE~XD~l2a 11’ yE~yD~^2^21’

*C~x B’ a l l k > Ус=Уе - ° 2 1*>

где l2= ЯЕ; /3= EF; к = GE,

С использованием уравнений (4.83) и (4.84) строится алгоритм кинема­ тического анализа “хобота”. Он содержит два цикла: внутренний по числу модулей и внешний по обобщенной координате <р.

Для выяснения диапазона изменения обобщенной координаты <р, а так­ же ограничений, налагаемых на выбор размеров звеньев, рассмотрим схему на рис. 4.42. На ней представлено основное структурное образование “хо­ бота” — шарнирный четырехзвенник ОАВС,

Таким образом, при заданной длине звена ОА начальный угол <р0 опре­ деляет размерные соотношения в кинематической цепи и, следовательно, является ее параметром.

После того как установлены требуемые соотношения размеров, можно определить диапазон изменения обобщенной координаты <р. Четырехзвенник ОАВС может занимать два крайних положения — ОА*В*С и ОА"В"С (рис. 4.42). Соответствующие значения обобщенной координаты <р\ и <р£ легко определяются по теореме косинусов.

Изложенное выше составляет основу синтеза механизмов гибкого ’’хо­ бота” шарнирного типа. Варьируя параметрами кинематической цепи, можно спроектировать механизм, удовлетворяющий поставленным требо­ ваниям. Кинематические исследования не вызывают затруднений, для это­ годолжны быть продифференцированы по времени выражения (4.83) и (4.84).

Исполнительный орган промышленного робота традиционно представ­ ляется в виде многозвенного манипулятора, образованного путем сочлене­ ния твердых тел кинематическими парами. Теория такого манипулятора достаточно хорошо разработана, методы кинематического и силового рас­ четов многочисленны и хорошо известны. В уточненных расчетных моделях приходится учитывать упругие свойства звеньев и кинематических пар, однако вводимые поправки в сущности не вносят принципиальных измене­ ний в принятую модель с абсолютно твердыми звеньями.

Совершенно другая ситуация возникает при исследовании манипулято­ ров с управляемой деформацией звеньев. Равновесное состояние системы определяется условием статического равновесия системы упругих звеньев, а изменение ее конфигурации является следствием изменения формы ста­ тического равновесия.

Все многообразие таких систем можно свести к двум основным типам. К первому типу относятся системы, содержащие упругие звенья с распреде­ ленными параметрами упругости. Характерным примером являются мани­ пуляторы, работа которых основана на использовании свойств трубок Бурдона; форма каждой из трубок зависит от подаваемого в них давления.

Воснове второго типа исполнительных органов — системы твердых тел

ссосредоточенными в кинематических парах упругостями. Предложено большое количество разнообразных конструктивных вариантов; некоторые из этих схем уже нашли практическое применение. Для таких исполни­ тельных органов характерно мягкое взаимодействие с объектами манипу­ лирования, повышенная гибкость при работе в среде с препятствиями. Обычно они применяются как концевые элементы жесткой руки манипу­ лятора и служат средством реализации локальных движений и отчасти исполняют функции ориентирующего устройства. Областью применения таких манипуляторов являются операции окраски, нанесения покрытий, сварки.

Рассмотрим исполнительный орган управляемой деформации, нашед-

щих через оси тросиков.

Ниже приводится методика силового и геометрического расчетов, со­ ставляющая основу синтеза конструктивных разновидностей гибких уп­ равляемых исполнительных органов.

На рис. 4.44 представлен участок упругой системы, составленной из жестких звеньев, связанных упругостями. Нулевой элемент принадлежит стойке прибора. До приложения усилия натяжения тросика вся система благодаря ее упругим свойствам располагалась вдоль вертикальной оси. Рассмотрим условия статического равновеейя участков при приложении усилия натяжения.

Под действием силы Р0, приложенной вне центра, на концевых элемен­ тах упругости возникают два взаимно уравновешивающих момента LQ и М0, причем L = Pb/2, где b — расстояние между отверстиями для прохож­ дения тросика в жестком элементе.

В данных условиях нагружения упругий элемент можно рассматривать как консольную балку, нагруженную на конце моментом Л/0. Угол поворота концевого сечения 0 и стрела прогиба / на конце консоли выражаются линейными зависимостями