книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 4

%г = Ьг + ш г, т. е. коэффициенты затухания ( —6*) и частоты со1в зависимо­ сти от скорости потока.

В работе5 показано, что отсутствие аэродинамического демпфирова­ ния мало влияет на критические значения, поэтому в дальнейшем будем

Критические числа Маха М* определяются на основе исследования зави­ симостей со = со(М) из (1.4) в диапазоне волновых чисел /г = 2-М5. Крити­ ческие числа М* для оболочек, рассматриваемых в работе, всегда соответ­ ствуют слиянию двух низших частот6. На рис. 2 в качестве примера опре­ деления скорости флаттера показаны корневые портреты двух низших частот оптимальной оболочки. По оси абсцисс отложены значения чисел Маха (М* — критическое число Маха), а по оси ординат отложено co/coiп, где coin — низшая частота собственных колебаний в вакууме.

Численное решение задачи оптимизации было получено методом про­ ектируемых градиентов Розена. Параметры оболочки и материала были следующие: L = 600 см; R = 100 см; £^ = 860 000 кгс/см2; ЕС= ЗБ 000 кгс/см2; va = 0,21; ■vc = 0,35; р = 0,6; V3 = 5,7 Me. В качестве граничных приняты сле­

оболочки, а на рис. 4 — соответ­ ствующее оптимальное распреде-

Рис. 2. Корневые портреты частот при определении критической скорости флаттера.

п = 9.

Рис. 3. Оптимальное распределение угла армирования по длине (а) и форма колебаний оболочки (б) в сверхзвуковом потоке газа.

ление жесткости по длине оболочки. Траектории получены путем соеди­ нения значений переменных в середине конечного элемента. Поскольку форма колебаний для двух низших частот колебаний при наступлении флаттера является несимметричной и имеет на интервале O^lxs^L одну узловую точку, то и распределение жесткости по длине у оптимальной оболочки вследствие этого также не является симметричным.

Для определения выигрыша в массе, получаемого за счет управления неоднородностью материала оболочки, поставленная задача решалась для однородной оболочки (р = const = 45°). Решением этой задачи явля­ ется следующий вектор:

Сравнивая проекты (1.5) и (1.6), определяем выигрыш в массе оболочки, получаемый за счет управления переменным углом армирования по длине оболочки. Он составляет 15,5%.

2.Оптимизация цилиндрической оболочки при ограничении на не­

сколько частот. Пусть o w (х) — спектр собственных частот оболочки; т, п — число волн по длине и в окружном направлении соответственно. Тогда в общем случае физическое ограничение, т. е. ограничение на час­ тоты, можно записать в виде:

где сог3, бг — некоторые заданные величины; k — количество наложенных на частоты ограничений.

Накладывая ограничения (2.1), мы, тем самым, задаем несколько ве­ личин сог3 и гарантируем, что ни одна собственная частота из частотного спектра оболочки не попадает в интервал (сог3±ег).

Рис. 4. Оптимальное распределение жесткости по длине оболочки в сверхзвуковом по­ токе газа.

Рис. 5. Сходимость метода конечных элементов применительно к определению собствен­ ных частот.

Рис. 6. Зависимость массы оболочки от величины интервала между низшими собствен­ ными частотами.

644

Исследуем более простой для реализации частный случай ограниче­ ния (2.1), когда а)жп(х) представляет собой критическую собственную частоту колебаний оболочки GOI*(X), а со*3 является второй низшей часто­ той о)г3=©2*(х); иными словами, потребуем, чтобы интервал между двумя низшими собственными частотами оболочки не был меньше некоторой за­ данной величины е. Введение такого ограничения является важным с точки зрения практики, поскольку расширение интервала между низшими частотами делает возможной работу оболочки в зарезонансном режиме. Как и выше, будем минимизировать массу оболочки.

Рассмотрим однородную цилиндрическую оболочку, армированную слоями под углами 0, ±45 и 90° к продольной оси с относительным содер­ жанием волокон 0ь 02 и 03 соответственно. Будем решать для нее следую­ щую оптимизационную задачу: найти min G(x) = 2яуRLh, где

В качестве граничных условий примем условия шарнирного опирания на обоих концах.

Для решения задачи (2.2), (2.3), как и выше, строится дискретный аналог. Для определения частот собственных колебаний CDI*(X) и а>2*(х)

используется известное уравнение метода конечных элементов |К(х) —

—ш2М(х) | =0.

В работе была исследована сходимость метода конечных элементов в зависимости от числа дискретных цилиндрических элементов по длине оболочки. Для оболочки с характеристиками материала, указанными в п. 1 при L/R = 1, /i= l см, 01=0,25, 02 = О,5 (что соответствует изотропной оболочке) был определен спектр собственных частот при N = 10, N = 20 и N=40 элементов. На рис. 5 представлены результаты, показывающие, как влияет число элементов по длине оболочки на величину первой и вто­

645

N= 10 и 40 различаются всего на 0,7 и 0,5% соответственно). Поэтому при решении задачи оптимизации использовалось разбиение оболочки по длине на 10 элементов.

Результаты оптимизации содержатся в табл. 1, где 0Ь 02, h — значе­ ния параметров оптимизации в точке оптимума: G'=GI2nyRL\ п* — число волн в окружном направлении, соответствующее критической соб­ ственной частоте; е — величина интервала между двумя низшими часто­ тами; j4aPv6 (а, р, у, б= 1,2) — значения коэффициентов жесткости, харак­ теризующих оптимальный проект (параметры оболочки такие же, как в п. 1, L/R= 1). В табл. 2 приведены спектры частот для всех рассматривае­ мых оптимальных оболочек. На рис. 6 представлена зависимость массы оболочки от величины интервала между низшими частотами е.

Из анализа результатов следует, что расширение интервала влечет за собой существенное изменение не только массы оболочки, но и структур­ ных параметров; например, значительно увеличивается количество воло­ кон в окружном направлении. Это свидетельствует о том, что параметры структуры играют важную роль при выборе оптимального проекта, и ис­ пользование их в качестве параметров оптимизации позволяет получить оболочку меньшей массы, чем оболочка, у которой заданный интервал е достигается только за счет увеличения толщины. Тем не менее, у рассмот­ ренных оболочек увеличение интервала между двумя низшими частотами вдвое (от 15 до 30 Гц) влечет за собой увеличение массы оболочки при­ мерно в 1,4 раза, а расширение интервала от 15 до 50 Гц увеличивает массу оболочки в 2,2 раза.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Оптимизация по весу ортотропной цилиндрической оболочки с переменными свойствами при ограничении на частоту колебаний. — Изв. АН

СССР. Механика твердого тела, 1977, № 2, с. 120— 125.

2.Адамович И. С., Рикарде Р. Б. Оптимизация по массе оболочек вращения с пере­ менной геометрией и структурой армирования. 2. Оптимизация оболочек вращения, ра­ ботающих в режиме колебаний. — Механика полимеров, 1977, № 4, с. 673—678.

3.Постное В. А., Хархурим И. Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. Л., 1974. 342 с.

4.Кандидов В. П., Чесноков С. С. Расчет устойчивости прямоугольных пластин в

потоке воздуха методом конечных элементов. — Вести, Московск. ун-та, 1972, № 5,

с.495—502.

5.Бисплингхофф Р. А., Эшли Э. Аэроупругость. М., 1958.

6.Прочность, устойчивость, колебания. Т. 3. Справочник. М., 1968. 568 с.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 4, с. 647—651

УДК 678.5.06:539.22

Н. П. Ершов

ОБ ОДНОМ КРИТЕРИИ РАЦИОНАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

Задача рационального проектирования анизотропных конструкций связана в общем случае с варьированием геометрических и прочностных (упругих) свойств. Для гладких слоистых оболочек из композиционных материалов такое варьирование предполагает перераспределение воло­ кон в плоскости армирования, для конструктивно-анизотропных (под­ крепленных) оболочек — перераспределение материала подкрепляющих элементов (ребер жесткости). Цель рационального проектирования за­ ключается в создании конструкции, отвечающей некоторому критерию оптимальности. При использовании метода расчета по предельному со­ стоянию1-2 в качестве такого критерия удобно принять условие макси­ мума разрушающей (при оценке прочности) или критической (при оценке устойчивости) нагрузки при постоянной массе конструкции.

Рассмотрим вопросы реализации критерия оптимальности на примере цилиндрической оболочки, нагруженной внутренним (внешним) давле­ нием и осевой растягивающей (сжимающей) силой, при этом предпола­ гаем, что при действии внешнего давления и осевого.,сжатия предельное состояние определяется только потерей устойчивости (исчерпания проч­ ности не происходит).

Для конструкций, работающих на прочность, критерий оптимальности реализуется при отношениях

которые соответствуют одновременному исчерпанию прочности мате­ риала при сжатии и сдвиге в кольцевом и осевом направлениях.

В соотношениях (1), (2) расчетные разрушающие напряжения anj, a22j, 0 \2j материала /-го слоя определяются с использованием критерия Гольденблата—Копнова и решений для нормальных и касательных на­ пряжений по безмоментной теории оболочек и теории наибольших каса­ тельных напряжений, т. е.

anj= |п ц ° cos2 (pj+ IW* sin2 (pjH----2^ (—Пц° sin 2cp;+ n 220 sin 2(pj) +

-ЬтДПп0 sin2 cpj+ Il220 cos2<pj) + [ Пии0 cos4 cpj+ — П11220 sin2 2cpj+

+ 2r] ^ П] 111° sin2 2ф^4”IIii22°(cos4 ф;4-sin4 ф^) - П 1212° sin2 2Ф,+

647

+ - i П22220 sin2 2(pj ) + (1 —r|)2 ( — ITi111° sin2 2cpj—— П11220 sin2 2tpj+

~bIJi2i20 cos2 2q>j+~ П22220 sin2 2cpj^ +2т| (1 T]) ( Пцц0 cos cpj sin3 qjj

—П11220 sin 4cpj— i- П12120 sin 4tpjH~П22220 cos3 ф,- sin ф;) + т]2 ( Пцц0 sin4 ф,-+

648

Здесь Пц°, П220»П1in0, Пц22°1 Пi2i2°, П22220 — компоненты тензоров проч­ ности в основной системе координат; ср;- — углы между осями координат

В общем виде условие реализации критерия оптимальности опреде­ ляется зависимостью

то часть волокон можно перераспределить из осевого направления в кольцевое. При

часть волокон можно перераспределить из кольцевого направления в осевое. Тем самым создается возможность оптимизации конструкций.

Поскольку при оценке прочности используется критерий Гольденблата— Копнова, имеющий феноменологический характер и не учитываю­ щий в явном виде структуру армирования, оптимизация конструкций аналитическим путем затруднена и возможна на ЭВМ.

Для конструкций, работающих на устойчивость, критерий оптималь­ ности реализуется при условии

649

оболочки в кольцевом и осевом направлениях; h\ = h + F\ll\ — приведенз_______________

ная толщина оболочки в осевом направлении; h2 = й3+ 1 2 (1 - № )^—

приведенная толщина оболочки в кольцевом направлении; Fh / 2 — пло­ щадь сечения продольного ребра и момент инерции кольцевого ребра с присоединенной обшивкой; 12 — шаг продольных и кольцевых ребер; ф = /г'2/^/1 — отношение массовых толщин кольцевых и продольных ре­ бер; h'\ = h + F\jl\\ h'2 = h + F2!l2\ F2 — площадь сечения кольцевого ребра; показатели степеней а и р определяются по результатам испытаний мо­ делей.

Определение рациональных отношений параметров ф й ф дифферен­ цированием зависимости (4) по этим параметрам затруднено. Решение этой задачи возможно путем задания ряда значений ср и ф в известных интервалах их изменения и подсчета на ЭВМ величины критерия (4). Критерий (4) основан на допущении Е\ +£'2 = const при перераспределе­ нии волокон в кольцевом и осевом направлениях. При этом допущении свойства матрицы не учитываются; тем самым определена область при­ менения критерия (4) только для конструкций из композиционных поли­ мерных материалов.

Для композиционных материалов с металлической матрицей критерий

E[j, E2i, рД, p2J‘ определяются по зависимостям Болотина для /-го слоя3; у = п2/п\ — отношение чисел слоев волокон в кольцевом и осевом направ­ лениях. Определение рационального отношения параметра у возможно также путем задания ряда значений этого параметра и подсчета на ЭВМ величины критерия (5).

Из критериев (4) и (5) могут быть получены критерии для частных случаев анизотропии. Например, для подкрепленных конструкций из од­ нородного материала в критериях (4) и (5) необходимо ввести замену

( £ i+ £ 2)[cp1/2/(l+<p)] = £; (£ 1+ £ 2)[ф3/7 (1 + ф)] = £ ; У £ ^ = £ ; У £ ^ 2 =

650

=Е. Для гладких оболочек из композиционного материала в критериях

(4)и (5) необходимо ввести замену

Поскольку критерии (4) и (5) основаны на предположении, что осевое сжатие является определяющей нагрузкой, то, исключая внешнее давле­ ние (т. е. q= 0), получаем критерий оптимальности оболочки, сжатой в осевом направлении. Для случая, когда внешнее давление является опре­ деляющей нагрузкой, критерий оптимальности несколько изменяет струк­ туру, т. е. (7„p[l —(Г/Гкр)р]1/ос = шах, где выражения для qK]) и ГКр пред­ ставляются так же, как в критериях (4) и (5). Исключая осевое сжатие (т. е. Т = 0), получаем критерий оптимальности оболочки, нагруженной внешним давлением.

Практическая применимость критериев оптимальности подтверждена результатами испытаний гладких оболочек из стеклопластика, для кото­ рых £г = 0,47; а = 0,081; Ь = 0,74; а = р= 1,46. Для указанных оболочек ра­ циональное значение параметра ср = Е2/Е\ находится в интервале значе­ ний от 1 до 3 и зависит от уровня действующих нагрузок (крайние зна­ чения соответствуют раздельному действию нагрузок — осевому сжатию и внешнему давлению).

Таким образом, в рамках метода расчета по предельному состоянию предложен критерий рационального проектирования анизотропных кон­ струкций, основанный на максимуме предельной нагрузки при их посто­ янной массе. Рассмотрены общий случай анизотропии — конструктивной и технологической — и совместное действие нагрузок. Даны приложения критерия для частных случаев анизотропии и для раздельного действия нагрузок. Приведены опытные данные по устойчивости оболочек из стек­ лопластика, подтверждающие применимость критерия рационального проектирования.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Макеев В. П., Ершов Н. П. Конструкции из композиционных материалов в совре­ менной технике. — Журн. Всесоюз. хим. о-ва им. Менделеева, 1978, № 3, с. 245—248.

2.Ершов Н. П. Предельное состояние н надежность конструкций из композицион­ ных материалов. — Журн. Всесоюз. хим. о-ва нм. Менделеева, 1978, № 3, с. 319—322.

3.Болотин В. В. Плоская задача теории упругости для деталей из армированных

материалов. — В кн.: Расчеты на прочность, 1966, вып. 12, с. 3—31 (М.).

Поступило в редакцию 05.02.79

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 4, с. 652—655

УДК 539.4:678.5.06

А. С. Вольмир, В. Н. Терских

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДА

СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ

Метод конечных элементов1благодаря своей универсальности и отно­ сительной простоте получил широкое распространение при исследовании задач механики сплошных сред. В статье2 рассматривалась возможность применения метода конечных элементов для исследования динамики кон­ струкций из композитных материалов. Приложение данного метода для изучения динамики сложных конструкций сопряжено с трудностями вычислительного характера, поскольку при этом оказывается необходи­ мой густая сетка конечных элементов, приводящая к системе алгебраи­ ческих уравнений высокого порядка.

Альтернативой этому является исследование динамики сложных систем, основанное на анализе динамических свойств отдельных час­ тей3 — суперэлементов. При этом конструкция рассматривается как со­ вокупность подконструкций, или суперэлементов, соединенных в общих узлах вдоль границ раздела. Введение суперэлементов, как будет пока­ зано ниже, позволяет значительно понизить порядок системы алгебраиче­ ских уравнений, не снижая точности решения для конструкции в целом.

Рассмотрим зависимости между собственными частотами и формами колебаний всей конструкции и собственными частотами и формами ко­ лебаний ее суперэлементов.

Формы колебаний каждого суперэлемента, состоящего из набора ко­ нечных элементов, включая его перемещения как жесткого тела, нахо­ дятся отдельно с учетом или без учета влияния соседних элементов, имеющих общие узловые линии3. Поскольку при достаточно малых амплитудах формы колебаний всей конструкции являются линейными комбинациями форм колебаний отдельных суперэлементов, то для полу­ чения высокой точности желательно, чтобы формы колебаний отдельных суперэлементов были близки к формам колебаний всей системы. Следо­ вательно, для суперэлементов, имеющих различные инерционные или жесткостные характеристики, необходимо учитывать влияние соседних суперэлементов вдоль их общих границ.

На рис. 1 представлена конструкция, включающая два суперэле­ мента — а, Ь. Каждый суперэлемент состоит из ансамбля конечных эле­ ментов. Обозначим все внутренние обобщенные перемещения суперэле­ ментов а, b через qaj и Яь*. Таким образом, движение суперэлементов, обусловленное перемещением внутренних и граничных qag и q&g узлов, можно представить так:

Объединение суперэлементов в единую конструкцию осуществляется посредством наложения связей на граничные перемещения в общих узлах:

652