книги / Механика композитных материалов. 1979, т. 15, 4

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 4, с. 684—687

УДК 611.08:539.3

Р. В. Беляков

НЕКОТОРЫЕ СВЯЗАННЫЕ ЗАДАЧИ ДЕФОРМАЦИИ И ДИФФУЗИИ В СОКРАТИТЕЛЬНЫХ ПОЛИМЕРНЫХ СТРУКТУРАХ —ИСКУССТВЕННЫХ МЫШЦАХ*

Эласто-осмотические сократительные полимерные структуры — во­ локна, пленки, стержни или зерна — можно рассматривать в плане двух основных модельных представлений. Сильно набухшее полимерное геле­ образное тело можно представить как раствор, ограниченный некоторой гипотетической мембраной, а вязкоупругость матрицы геля отобразить, например, по схеме Кельвина—Фойгта1. Растворная модель без добав­ ления к ней механических материальных параметров среды использова­ лась рядом авторов при исследовании ионного обмена в полимерных ионитах2. Альтернативный подход состоит в представлении геля в виде твердого тела, содержащего жидкость в микропорах2-3. В теории ионитов все же и при таком подходе не учитываются механические напряжения и связность тензорных полей напряжений и деформаций с полем концен­ трации диффундирующих в геле частиц.

Следующий ниже анализ отнесем к простым телам (слой, полупро­ странство) и к таким граничным условиям, когда не возникают сдвиговые деформации. Внутренняя задача связности полей сводится при этом к решению одного нелинейного уравнения.

Деформации набухания слабо сшитых полимерных материалов отно­ сительно сухого состояния обычно велики. Однако здесь рассмотрим условия дополнительного1 набухания и сокращения полимерного геля, когда диффузионные приращения жидкости в геле малы.

В работе4 получены связанные уравнения диффузии и деформации для твердых растворов. Там использовалось приближение, указанное для термоупругих деформаций в работе5: тело рассматривается изотропным и не выделяется в явной форме чисто температурная нелинейность (ср. с6, где такая нелинейность учитывается). В работе4 при разложении свобод­ ной энергии в ряд отбрасывается член, содержащий квадрат концентра­ ции, т. е. не принимается во внимание чисто химическая нелинейность среды. Это допущение не меняет вида определяющих соотношений дефор­ мационно-диффузионных процессов, но упрощает выражение для коэф­ фициента диффузии частиц в деформируемой среде. Наряду с этим в4 предполагается постоянство температуры, отсутствие химических реак­ ций (т. е. источников и стоков частиц), отсутствие массовых сил внеш­ него происхождения. Деформации рассматриваются в квазистатическом истолковании. Все эти соглашения принимаются и в данной работе.

Чтобы использовать соотношения линейной теории упругости для опи­ сания деформации гелей, следует рассмотреть такие условия набухания и сокращения, которые соответствуют весьма малым изменениям концен­ трации диффундирующих в геле частиц. Эти условия выполняются в слу­ чае дополнительного набухания и сокращения гелеобразного тела1. Если достаточно набухший гель помещен в раствор крупных (например, поли­ мерных) частиц, то диффундировать в гель и внутри него или выходить

* Доклад, представленный на II Всесоюзную конференцию по проблемам биоме­ ханики (Рига, апрель 1979).

684

из геля в окружающий раствор могут только частицы растворителя. При изменении концентрации растворителя во внешнем растворе в ту или иную сторону от исходного значения обеспечивается управление допол­ нительным набуханием1.

Для малых приращений концентрации диффундирующих частиц, когда деформации егь и напряжения оы также малы, запишем систему уравнений, полученных в4, в следующем виде:

Gih--- —OllSih

Второе уравнение представлено в форме, несколько отличной от4. При его выводе не отбрасывались произведения градиентов искомых перемен­ ных. В уравнениях (1) и (2) t — время; с — относительная концентрация (молярная доля), равная с= сч}с^, где с2 — молярная объемная концент­ рация частиц растворителя и с?: — общая молярная объемная концентра­ ция геля; /Сир, — объемный и сдвиговый модули упругости; D — коэф­

и, следовательно, решая (1) и (3) явно относительно напряжений, можно записать определяющие соотношения во второй форме, аналогичной по­ добным соотношениям термоупругости6:

Для случая одномерной диффузии и деформации в плоском слое или в полупространстве при равномерном омывании границы раздела гель— жидкость, когда из компонент тензора деформации не нулевой остается лишь Ezz (ось z направим по нормали к слою), напряжения, как видно из

при этом использованы уравнения (5) и условие квазистатической дефор-

dGzz п

мации: —^— =0. dz

685

Относительная концентрация равна с= с2/с^ = с2и. При малых прира­ щениях диффундирующих частиц а также v примерно постоянны. По­ этому уравнение (6) можно записать и для молярной объемной концен­ трации с2диффундирующих частиц:

с параметром у = у!Щ величина которого определяет степень отклонения уравнения (8) (как и (6) от линейности и который можно назвать коэф­ фициентом нелинейности. При весьма малых приращениях концентрации с2 близка к начальному значению с02 и при этом допустима линеаризация уравнения (8) путем приближенной замены:

D (1 + ус2) ~Z) (1 +усо2) =D*

Средний коэффициент диффузии D* зависит от упругих модулей геля в соответствии с (7), но для заданной исходной концентрации с02 остается приближенно постоянной величиной. В таком приближении

т. е. диффузия описывается законом Фика, однако с коэффициентом диф­ фузии, определяемым механическими параметрами набухшего геля.

При двухстороннем омывании плоского слоя или омывании границы полупространства возникают задачи химически стимулированных напря­ жений, связанных с одномерной диффузией. Пусть плоский гелеобразный слой механически не нагружен на его поверхностях, (z= ±h) — режим холостого хода1, а концентрация растворителя в жидкой среде изменя­ ется в момент ^ = 0 скачком на величину 6с'2 от ее исходного значения с'ю и остается затем неизменной (штрих означает внешнюю фазу). Это за­ дача о химическом ударе7. Решение линеаризованного уравнения (9) при таких граничных условиях и однородном начальном условии, т. е. нуле­ вом начальном условии для приращений концентрации, получаем в виде:

Чr(t, z) = c2(t, z) -C 02 =

где k — постоянная из граничного условия, принятого в виде c2 = kc'2 (при z= ±h), т. е. условия симметричного омывания слоя. В рассматриваемом случае холостого хода напряжение вдоль оси z равно нулю crzz = 0, а из уравнений (5) находим:

где обозначено а= ЗК(аи. Простые соотношения (10) —(12) справедливы для слабого химического удара, когда еще удовлетворяются требования теории линейной упругости. Квазистатический подход к приближенному решению подобных нестационарных задач оправдан тем, что механиче­ ские движения в рассматриваемых системах, когда деформация вызвана самой диффузией, но не внешними механическими силами, происходят

686

не быстрее, чем диффузия, которая всегда протекает медленно. В каждой плоскости слоя z = const составляющие напряжения ахх и оуу повторяют во времени изменение концентрации диффундирующих в геле частиц.

Вслучае гелеобразного полупространства, граничащего с раствором,

вкотором произошел скачок концентрации растворителя при механиче­ ски холостом ходе, изменяется лишь граничное условие на бесконечности, где приращение концентрации должно исчезать. Функция изменения кон­

выражения (11) и (12) для деформации и напряжений.

Нелинейное уравнение (8) рассмотрим для случая установившейся диффузии, т. е. при -^-= 0 . При этом имеет место стационарный поток

диффузии, если концентрации растворителя по сторонам слоя различны по величине, но постоянны во времени. Граничные условия равны:

с2= кс'2 и с2= кс"2 при z = —h и z= + h . Из (8) находим: -^-с22 + с2 =

= k\Z+ k2, где k\, k2 — константы интегрирования, которые выражаются через с'2, с"2, k. Таким образом, профиль концентрации диффундирующих частиц в слое оказывается нелинейным.

Сопоставим этот результат с решением также для стационарного про­ цесса, но в среде, которая предполагается недеформируемой. Как из­ вестно2, при диффузии частиц одного вида и не несущих электрических зарядов в плоском слое устанавливается при тех же граничных условиях линейный профиль концентрации. В то же время диффузия двух видов ионов, когда коэффициент взаимодиффузии зависит от величины зарядов ионов и, следовательно, от концентрации, дает нелинейный профиль кон­ центрации в стационарном процессе2. Следовательно, к причинам, обу­ словливающим нелинейность стационарного профиля концентрации диф­ фундирующих частиц в толще плоского слоя, следует отнести не только свойства частиц (их электрическую валентность), но и механические упругие свойства самой среды, проявляющиеся и без электрических взаи­ модействий.

Учет вязкости полимера и реакции внешней нагрузки для другого частного вида деформации и другим путем показан в работах1-8.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Беляков Р. В. О деформативиых свойствах сократительных полимерных струк­ тур — искусственных мышц. — Механика полимеров, 1975, № 4, с. 597—602.

2.Кокотов Ю. А., Пасечник В. А. Равновесие и кинетика ионного обмена. Л.,

1970. 336 с.

3.Гельферих Ф. Иониты. М., 1962. 490 с.

4.Любое Б. Я., Фастов Н. С. Влияние концентрационных напряжений на процессы диффузии в твердых растворах. — Докл. АН СССР, 1952, т. 84, № 5, с. 939—941.

5.Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. Изд. 3-е. М., 1965. 202 с.

6.Новацкий В. К.. Теория упругости. М., 1975. 872 с.

7.Беляков Р. В. Динам1чш задач! осмосу. — Доп. АН УРСР. Сер. Б, 1973, № 5,

с.418—421.

8.Беляков Р. В. Нестационарные физико-химические процессы в искусственных

мышцах эласто-осмотического типа. — В кн.: Структурные особенности полимеров. Киев, 1978, с. 125—158.

МЕХАНИКА КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ, 1979, № 4, с. 688—693

УДК 611.71:678

Л. Л. Разумова, Г И. Ройтберг, А. А. Веретенникова, О. В. Шаталова

ВЛИЯНИЕ СРЕДЫ ОРГАНИЗМА НА СТРУКТУРУ И ПРОЧНОСТЬ БИОИНЕРТНЫХ ТЕРМОПЛАСТОВ ДЛЯ ЭНДОПРОТЕЗОВ СУСТАВОВ*

Работоспособность эндопротезов суставов зависит как от их конструк­ ции, так и от примененных материалов. Одним из основных требований, предъявляемых к используемым при изготовлении протезов полимерным материалам, является их высокая устойчивость к биологическому старе­ нию. В живом организме эндопротезы подвергаются комплексному воздействию нагрузок и тканевой жидкости, которая является по отно­ шению к полимерам агрессивной средой. По устойчивости к тканевой жидкости организма полимеры можно условно разделить на биоинертные (биостабильные) и биодеструктируемые. Для биоинертных полимерных материалов характерно отсутствие существенных изменений структуры и свойств после длительного пребывания в тканях живого организма.

Известно, что при проникновении агрессивной среды в полимеры из­ меняются их прочностные и некоторые другие физические свойства. При пластифицирующем действии жидкостей наблюдали выравнивание на­ пряжений по образцу, а также повышение ориентации, кристалличности, изменения надмолекулярных структур1. Кроме того, агрессивные среды могут вступать в химическое взаимодействие с полимером — и с поверх­ ности образца, и в его объеме, если структура образца не препятствует проникновению агрессивной жидкости. Важная характеристика при об­ суждении биостабильности полимера — величина сорбции жидкости. Су­ щественными химическими процессами биодеструкции полимеров явля­ ются гидролиз и окисление1-2.

Биостабильность полимеров зависит от многих условий — и от формы изделий (которые могут быть в виде нитей, пленок, блоков), и от химиче­ ского строения полимера, и от его структуры как на молекулярном, так и на надмолекулярном уровнях и др. Изучению биостабильности различ­ ных полимеров посвящен ряд оригинальных статей и обзоров (см., на­ пример,2-8).

Влияние модельной среды — физиологического раствора — на долго­ вечность, ползучесть и изменение некоторых характеристик структуры полиамида-12 и литьевого полиэтилентерефталата было исследовано од­ ним из авторов ранее9-10. Влияние тканевой жидкости организма на фи­ зико-механические и структурные характеристики биоинертных термо­ пластов исследовано мало.

Целью данной работы было изучение результатов воздействия среды организма на физико-механические и структурные характеристики термо­ пластов, предназначенных для эндопротезирования суставов. Исследова­ нию были подвергнуты конструкционные биоинертные термопласты — полиамид-12 марки ПА-12-10 (ОСТ 6-05-425—76) и блочный литьевой полиэтилентерефталат (ПЭТФ), содержащий 5 мае. ч. полиэтилена марки 15302-020 (ГОСТ 16337—70).

* Доклад, представленный на II Всесоюзную конференцию по проблемам биомеха­ ники (Рига, апрель 1979 г.).

688

Табл. 1

Физико-механические свойства ПА-12-10 и блочного ПЭТФ до имплантации в ткани живого организма

Примечание, v — скорость движения подвижной головки испытательной машины.

Для изучения влияния собственно тканевой жидкости организма на ПА-12-10 и литьевой ПЭТФ были использованы стандартные образцы (бруски) размером 4X6X55 мм. Стандартные образцы были изготовлены методом литья под давлением. Литье образцов из ПА-12-10 проводили по следующему режиму: температура по зонам цилиндра литьевой машины типа Д-33-28 190—200—200—210° С, температура формы 70° С, давление литья 1000 кгс/см2. При литье образцов из ПЭТФ температура формы составляла 140° С, температура по зонам цилиндра литьевой машины была равна 240— 250—250—260° С, при этом температура расплава находилась в пределах 275—280° С, давление литья 1000 кгс/см2. Исходные физико-механические свойства соответствующих стандартных образцов ПА-12-10 и ПЭТФ при температуре 20 и 40° С представлены в табл. 1.

После предварительной стерилизации однократным кипячением в течение 45 мин об­ разцы имплантировали в ткани организма: образцы ПЭТФ — в костномозговой канал бедренной кости собак и в длинные мышцы спины собак или крыс, образцы ПА-12-10 — в длинные мышцы спины собак. Бруски после имплантации извлекали в различные сроки: 10 сут, 20 сут, 1 мес, 3 мес, 6 мес, 1 год и 1 год 4 мес. Количество образцов на каждый срок имплантации составляло от трех до шести штук. Для полученных образцов прово­ дили испытания некоторых прочностных и сорбционных характеристик и рентгендифрак-

Рис. 2. Характеристики структуры и прочности биоинертных термопластов в зависимости от длительности имплантации их в живом организме: а — относительное уменьшение прочности на изгиб х ПА-12-10 (/) и ПЭТФ с добавкой ПЭ (2); экспериментальные точки — ф (для 1), HI (для 2); б — повышение относительной кристалличности К у ПА-12-10 (1) и ПЭТФ (2) для образцов, имплантированных в костномозговой канал

бедренной кости собак ( # ), в длинные мышцы спины собак (□ ).

длина бруска равнялась 40 мм, стрела прогиба, при которой фиксировали изгибающую нагрузку, составляла 6 мм. Результаты испытаний на кратковременный изгиб брусков после различных сроков имплантации представлены на рис. 2—а.

Для изучения структурных изменений, происходящих в объеме имплантированных полимеров, использован один из основных методов исследования структуры — метод рентгеновской дифракции. Рентгеносъемки проведены на CuKa-излучении для больше­ угловой и малоугловой областей дифракции рентгеновых лучей. Большеугловые рентге­ нограммы (РБУ) получали как фотометодом на плоскую и цилиндрическую фотокассеты, так и дифрактометрически на установке ДРОН-2,0. Малоугловые рентгенограммы (РМУ) получены фотометодом в камерах со щелевым коллиматором. Образцы — пластинки тол­ щиной 0,6—0,8 мм, отрезанные от стандартных образцов.

По РМУ, после их фотометрирования на микрофотометре ИФО-451 и после вычи­ тания фона независимого рассеяния, определяли макропериод, характеризующий раз­ меры чередующихся в веществе полимера аморфных и кристаллических участков (табл. 2).

Табл. 2

Значение макропериода (периода чередования аморфных и кристаллических участков) dMдо и после имплантации в тканях живого организма для образцов ПА-12-10

и блочного ПЭТФ

усилия 1 мес

Примечание. Погрешность определений около 5 А.

690