Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4629 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Механика зернистых сред и её применение в строительстве

..pdf
Скачиваний:
2
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
9.84 Mб
Скачать
☆

=

+

л . ) л »

по нижней грани

Т 2хи = XZJC^X-

Равнодействующая касательных напряжений по правой грани

по левой грани

 

 

Т хг„ = ( , хг+ ^ А

ху г

 

(°г +

f(X)

 

Аг)Ах

Л>* +д*2* Аг)Ах

 

 

fc**+ lficLAx)A*

1

\г

1

 

 

1

 

 

А

Ох*

(бх +-ffir- Ах) Аг

ХА*сАг

ZAxAz

■

тхг*г

 

111Ах

бгАх

Ах

Рис. 3.6. Схема распределения усилий по граням некоторого объема массива

Составим сумму моментов всех сил относительно точки А:

—

+ ^ 7

А“) А*i f +

 

= 0;

После приведения подобных членов получим

 

- -zxzAxAx + 1гхАхА, + A i АхА гА _

*!и. А А г А = 0.

xz X г \

гх X 2

\

х г 2

Дх

2

Деля обе части уравнения

на АхА г, имеем

 

 

 

 

- —2А

^ 2 ЬХхг

Ах

 

кг 2

Дх 2

Далее, проектируя все силы на ось х, имеем

-

« И , + («, +

а , ) Аг - ^гхАх+

+

('Ь* +

Ах + Х А хАг = 0.

После сокращения получаем

+ X = 0.

Ах Az

Аналогично получим уравнение равновесия, спроектировав все силы на вертикальную ось:

г

+ Z = 0.

Д2

 

Здесь X и Z — интенсивности объемных сил.

Нетрудно видеть, что получены уравнения в конечных разно­ стях, которые можно заменить уравнениями в частных производ­

ных, т. е.

faz.

_d~-xz

Ax = 0 ;

Ххг + Zzx +

 

dz

dx

2

dx

+

X =

(3.36)

dz

 

 

— + — + z =0.

аг dx

Полученные уравнения справедливы для любых размеров вьь деленного объема среды, в том числе и для очень малого, как dz dx. В сущности при такой постановке рассматривается некоторая сплошная среда, эквивалентная по условиям равновесия зернистой среде. Тогда из первого уравнения (3.36) получим

Аналогичным образом можно показать, что в среднем для зер­ нистой среды в пространственной задаче справедлива следующая система уравнений равновесия:

д2 * . +

д-2*± A -

L _|_ X

=

0;

дх

ду

дг

 

 

 

dTiA 1

^ 1

д'уг

Y

=

0-

дх

dy

dz

 

 

 

d-

dz2V ■ д*г +

2 =

0;

___ I

dx dy dz

Эти уравнения Навье используются для всех сплошных тел. Здесь показано, что они (эти уравнения) в среднем справедливы и для зернистых сред, способных распределять внешнюю нагрузку на большую площадь.

§ 5. ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БЕЗРАСПОРНОЙ ЗЕРНИСТОЙ СРЕДЫ

В рассматриваемой системе каждые две частицы (блока) связы­ ваются друг с другом через третий блок. Поскольку безраспорная среда обладает распределяющей способностью, то вертикальные

Рис. 3.7. К определению напряжений между вертикальными уси­ лиями на соседние блоки и перерезывающими усилиями в связую­ щем блоке

усилия на соседние частицы будут различны и разность этих уси­ лий если не полностью, то частично будет восприниматься связываю­ щей их частицей. И чем больше эта разность, тем большее перере­ зывающее усилие воспринимается связующей частицей.

Таким образом, для физической характеристики данной среды можно принять, что разность усилий на соседних частицах пропор­ циональна перерезывающему усилию, возникающему в связующей частице. Такую гипотезу, хотя и в несколько иной трактовке, применительно к зернистой среде впервые высказал Р. А. Мул-

лер [60 J.

Используя некоторые его положения, составим физическое урав­ нение для безраспорной зернистой среды. На рис. 3.7 изображена

расчетная схема, поясняющая суть изложенной гипотезы; перере­ зывающее усилие в связующей частице

г - с ,[ * , - б ( . ,+ £ * ) ] = - с х* £ « - с , ь2даг (3.37)

дх

где Сх — коэффициент пропорциональности.

Разделив перерезывающее усилие в связующей частице на две ее высоты (с учетом того, что это усилие приходится и на шов между частицами), получим касательное напряжение по одной из граней zX2, выраженное через частную производную от нормального на­ пряжения:

т _

СХЬ2

даг

(3.38)

хг

2а

дх

*

В этом уравнении коэффициент пропорциональности также пока неизвестен, как и коэффициент распределительной способно­

сти к. Если принять, что Сх = ——, то

4&2

 

 

2а

2а

''

 

где а — коэффициент структуры

среды.

 

С учетом этого соотношения для

касательных напряжений по­

лучим

 

 

 

 

_1_ d_ij_

(3.39)

 

2а

дх

 

 

Полученное выражение и будет ф и з и ч е с к и м уравнением для плоской задачи, характеризующим природу среды с точки зре­

ния ее главного механического свойства, т. е. способности распреде­ лять усилия.

В предположении, что X = Z = 0, из выражений (3.36) по­

лучим

 

 

 

 

д°Х

I

дХДГ2 _

Q.

(3.40)

дх

 

дг

 

 

 

 

dqz

,

дтхг _

Q

(3.41)

дг

 

дх

 

 

 

 

Дифференцируя физическое уравнение (3.39) по х и подставляя его во второе из приведенных уравнений равновесия, получим

да2 _ 1 д-аг

дг ~ 2а ~д& '

(3.42)

Используя уравнение равновесия (3.40), имеем

дох

1

д2аг #

(3.43)

дх

2а

дхдг

 

ИЛИ

 

 

 

2а

дг

 

(3.44)

 

 

где Р (z) — произвольная функция интегрирования.

Значение произвольной функции Р (z) определим из следующих

условий: при 2 -> оо при любом х величина ах -+ 0 и

-> 0, так

 

дг

как с глубиной для любой вертикали кривая для аг асимптотически

приближается к

оси

z. Следовательно, Р (г) =

0, тогда

 

в

 

даг _

1

д2аг

________1_ д^хг

(3.45)

2а

дг

4а2

дх2

2а

дх

*

 

Решение дифференциального уравнения (3.42) для вертикаль-

ных напряжений при следующих граничных условиях:

а2 =

— Р

при z =

0 в точке приложения нагрузки;

о2 =

0 при z ~

0 во

всех остальных точках поверхности массива;

о2

0 при х ->

± оо

имеет вид

 

 

 

•— PV й ^ Ь И '

(3.46)

 

Если сравнить этот результат с тем, который был получен другим путем, то нетрудно убедиться, что они тождественны. Дифференци­ руя выражение для о2 по х, получим из (3.39)

3.47)

Дифференцируя выражение для аг по z, получим значение ах от сосредоточенной вертикальной нагрузки

Поступая таким же образом, как и для плоской задачи, и учи­ тывая анизотропию, в структуре массива по осям х и у для касатель­ ных напряжений, получим

‘3 -49>

(3'50)

В соответствии с этим по направлениям осей х и у, как и в пло­ ской задаче, должны сохраняться соотношения между горизонталь­ ными и вертикальными напряжениями, т. е.

 

 

_

1

д2°г .

(3.51)

 

 

°Х ~

4а2

дх2

9

 

 

 

 

 

 

1

д2аг

 

(3.52)

 

 

°У~

4а>

ду2

9

 

 

 

где

 

а

 

 

а

 

 

о.г =

 

 

 

 

------ ; о... = --------

 

 

*

2СХЪ2

у

2Сус2

 

Сх\ Су — коэффициенты пропорциональности;

 

а, b, с — размеры

блоков

(частиц);

среды соответственно по

ах\ а.у — коэффициенты структуры

осям х

и у.

 

 

 

 

 

Эти выражения представляют собой физические уравнения, от­ ражающие природу безраспорной зернистой среды с точки зрения способности ее распределять внешнюю нагрузку.

Для решения пространственной задачи, кроме физических урав­ нений, необходимы уравнения равновесия.

Полагая объемные силы равными нулю, получим уравнения рав­

новесия:

 

 

 

 

 

dgz

I

dzZIJ

дтхг _Q

(3.53)

дг

 

ду

дх

 

 

 

 

д°х

.

дтху

дтХ2

__ Q.

(3.54)

дх

 

ду

дг

 

 

 

 

&ау

 

1 дгух

, дхуг

__ ^

(3.55)

ду

 

дх

дг

 

 

 

 

Дифференцируя физические уравнения (3.49) и (3.50) и подстав­ ляя их в первое уравнение равновесия, получим

да2 __ 1 д*°2 ■ 1 д Ч г

дг 2<гх дх2 ^ 2ау ду2

Из второго и третьещо уравнений с учетом зависимостей и о находим

Р хху _

1

д*0г

ду

4*х*у

д у2дх

Аналогично получаем

 

 

д^ух

1

д3а2

дх

4ах ау

д х 2ду *

(3.56)

ДЛЯ ах

(3.57)

со сл оо

Интегрируя (3.57) и (3.58), находим

1

, г/

ч

 

 

г);

XIP= 4axciy

охду +

2)-

Поскольку Хху = Хух, то

f(x , г) — f (у, г) = 0 .

В результате окончательно получаем

_

_

1

д2°г

ху

ух

4ахау

дхду

Г л а в а 4

(3.59)

(3.60)

(3.61)

(3.62)

ДЕФОРМАЦИИ .БЕЗРАСПОРНОГО ЗЕРНИСТОГО

ОСНОВАНИЯ

§ 1. ДЕФОРМАЦИИ СЖАТИЯ

 

Деформация безраспорного зернистого массива

складывается

из деформации самих блоков и ослабленной (выветрившейся) толщи материала в области контактов между ними. При неравномерной нагрузке сжатие сопровождается поворотом блоков массива. Чем больше неравномерность нагрузки на массив, тем больше повороты блоков.

В силу того что отдельные блоки, образующие массив, опира­ ются друг на друга через микроконтакты, модуль упругости мате­ риала в областях контактов ниже модуля упругости материала са­ мих блоков. При изучении деформации безраспорного зернистого основания можно считать, что каждый блок в отдельности является элементом, упругие свойства которого определяются модулем уп­ ругости и коэффициентом Пуассона. Вместе с тем для массива в це­ лом нужно пользоваться обобщенным модулем упругости и не учи­ тывать коэффициента Пуассона, поскольку его боковые деформа­

ции в основном

будут

поглощаться

имеющимися швами

между

блоками, т. е. |х =

0.

при

ах =

оу = хху = хух = хгу =

ху2 =

Учитывая

сказанное,

= ъХ2 =

х2Х =

0,

т. е. при неограниченной равномерно распреде­

ленной

вертикальной нагрузке,

можно считать, что деформация

сжатия блока происходит только в направлении оси z от напряже­

ния о2.

 

 

сжатия блока

 

Согласно рис. 4.1 деформация

 

 

Дwt = EMbiCt

P,Azt

(4.1)

 

+ Enibici

 

 

где

Pt — усилие,

приходящееся на i-й блок;

 

 

Ем— модуль

упругости

материала блока;

 

а{\

ЕК1— модуль

упругости материала в области контакта;

bL\ ct — геометрические размеры блока;

 

 

Дzk— толщина материала в области контактов.

 

Рис. 4.1. Схема к расчету модуля сжатия безраспорного зернистого основания

Такое раздельное рассмотрение деформации блока соответствует имеющимся экспериментальным данным Б. Д. Зеленского (рис. 4.2).

Разделив обе части выражения (4.1) на alt а также приняв

 

 

 

Р,

 

 

 

 

 

 

 

ог — —- , получим

 

 

 

 

Ьщ _

Sj.__|

аА

az

 

 

 

 

_

bZj

_

,

_

(4.2)

2

Л

р

^

р

е м

ек/

 

где Е, — обобщенный для блока модуль упругости;

 

ег — относительная деформация;

 

 

 

 

ем— относительная деформация монолита;

 

 

ек/ — относительная деформация

материала

в области контак­

тов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Обобщенный модуль упругости блока

 

Ям£к, -г-

(4.3)

Е = ______

Ям + ~~ Як/

Ьг,

Тогда обобщенный модуль упругости массива

(4.4)

/V /-!

где N — число блоков массива, выбранных для определения модуля.

И1ГГ11И1

11Ш|.. 1,1, ци

Образец

"У

7:Образец

ш: У р т г

I : бразЩ 17

W 120 200 280 360 Ш 500*10'5

Рис. 4.2. Опытные данные Б. Д. Зеленского по изучению де­ формации монолитов скальных пород

На основе выражения (4.2) относительную деформацию в сред­ нем по отношению к массиву можно определить так:

ды> __

Е

(4.5)

дг ~

 

По аналогии

 

 

ди

°х .

(4.6)

дх

Е *

 

dv zy

(4 7)

Е '

 

В зависимости от структуры (размеров блоков, областей контак­ тов, условий опирания) обобщенные модули по направлениям осей х, у, z могут быть различными и в каждом конкретном слу­ чае должны вычисляться по формулам (4.3) и (4.4).

Кроме деформации сжатия, в безраспорных зернистых основа­ ниях имеет место поворот частиц.

Впервом приближении можно принять, что повороты в массиве

всреднем пропорциональны касательным напряжениям, т. е.

 

 

(4.8)

Туг

~

(4*9)

7

xy= ~^~'Zxyy

(4-10)

здесь G — модуль сдвига поперечной упругости материала блоков.

§ 2. СВЯЗЬ СРЕДНИХ ВЕРТИКАЛЬНЫХ, ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ПОВОРОТОВ В БЕЗРАСПОРНОЙ ЗЕРНИСТОЙ СРЕДЕ

Из зависимости (4.5) вертикальные перемещения

ш== L о

(4.11)

Для определения остальных перемещений воспользуемся полу­

ченными ранее соотношениями. Из зависимостей (4.5), (4.6) и (4.8) находим

 

г dw

 

(4.12)

 

 

 

 

о„ =

г-

ди

',

(4.13)

Е

—

*

 

дх

 

 

*Х2 =

 

 

 

(4.14)

Кроме того, в уравнениях (3.39), (3.49) и (3.51) получены следую­ щие соотношения между горизонтальными, касательными и верти­ кальными напряжениями:

т

2

а дх ’

(4.15)

*2

 

___ 1

д2°г _____ 1_

 

°х 4«2 дхг

2а &

^
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности