книги / Теория упругости. Задача Сен-Венана. Плоская задача теории упругости
.pdf- 41 -
^ |
s - |
6 t 2x Sa ^ |
( О сАЛ^у |
n ) |
f |
JT Zto ]Гл+/)*сАЛп £ |
*£ п Я » у " |
J |
|||
По |
аналогии |
с результатом, |
полученным при решении задачи |
||
о кручении стержня эллиптического поперечного сечения, когда результирующее напрякение достигало наибольшего значения по кон цам налой оси эллипса* следует ожидать, что в данном случае оно будет наибольшим в точках > 9 = 0 . Исследования показывают, что это действительно так, причем формулы (2.95) дают следующее значение для наибольшего результирующего напря жения в скрученном стержне прямоугольного профиля;
ЪпахК ~ ^Cb'zi'ilm1 ax (J*/)zc/zin§ /
Скорость сходимости входящего сюда бесконечного ряда такова, что, удерживая только один первый член, мы допустим погрешность не более 1%. Поэтому для практических надобностей достаточной будет приближенная формула
/ > - |
|
(2.S7) |
|
c A |
^ i |
||
|
|||
|
г |
2 |
Получим далее выражение для жесткости кручения стержня прямоугольного профиля;
4 --г -26f f a d -в¥ [ ;-
|
S |
|
g |
|
|
/92а* ZZ |
|
1 |
(2.98) v |
|
T P s Z o (2a |
|
J |
|
Заметим, что * |
- |
|
|
|
у |
|
f |
= |
0,0046, |
|
|
|
(2n+/JS & (2r?+VS
- 42 -
поэтому, удержав в (2.98) только один член, мы допустим погреш
н о с т ь всего |
около 0,5%, |
|
|
|
|||
Используя указанное допущение, приходим к приближенной |
|||||||
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. а 36 / . |
жо |
). |
^2.99) |
Для получения депланации воспользуемся формулами перемеще |
|||||||
ния и г : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и / = е у > ( х , с / ) , |
|
(2.100) |
|
|
|
|
|
ЭФ . |
д Ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
в х |
|
У Э у |
W = ~X ~ J * |
|
|
|
После |
соответствующих выкладок получим. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
№- ю |
На рис. 2.6 показаны линии равного уровня депланации для част |
|||||||
ного случая, |
когда |
сечение стержня явдяе.тся квадратом. |
|||||
щ |
m |
— тщ |
Заслуживает внимания слу |
||||
чай, когда 6 у? Q. (случай круче |
|||||||
l-yz С — |
Выпуклость ния полосы прямоугольного сече |
||||||
|
ния). В данном частном случае, |
||||||
|
|
' |
|
как это следует |
из |
приведенных |
|
|
|
|
р |
|
формул, |
|
|
Ж\ |
111Жсуж |
|
|
Пг.юг; |
|||
|
|
-, |
Впадина |
а 36 . • |
^ |
||
|
|
! |
|
||||
W/Aw
Рио. 2.6 |
Сх г * 0 ; C j p ^ e c x , |
|
т.е. в первом приближении можно считать, что в полосе действует только система касательных напряжений, которые параллельны ее длинным кромкам, линейно изменяются по ее толщине и не зависят от координаты у . На двух противоположных данных кромках эти напряжения имеют разные знаки:
с ^ ~ ± . в с а . |
(глоз) |
-43 -
Сточки зрения кручения, полоса - невыгодный профиль, по скольку ее жесткость, как это следует из (2.102), значительно ' меньше жесткости кругового цилиндра с той же площадью попереч- . ного сечения. Между, тем, если принять гипотезу плоских сечении, то получим совершенно обратный вывод.‘это нетрудно установить, воспользовавшись формулой
А1- G tJp |
(х 2+у 2 |
d s |
и положив в ией |
. Отсюда ясно, наколько существе |
|
нен в задаче о кручении учет депланации поперечных сечений. Пре небрежение последней может привести к результатам, неправиль ным не только количественно, но и качественно.
5 2.8. Мембранная аналогия Ппандтля
Наглядное представление.о картине распределения касательных на- 'пряжений в поперечных сечениях скручиваемого стержня дает под меченная Прандтлён полная аналогия между дифференциальным урав нением и граничными.условиями, определяющими в задаче о круче нии функцию напряжения Ф/ и. соответствующим^ зависимостями Для поверхности провисания идеально гибкой мембраны, равномерно натянутой и нагруженной равномерной поперечной нагрузкой.
Покажем, что задача о нахождении упругой поверхности мем браны и задача о- разыскании функции напряжения
V20'=-2GC |
(2.104-) |
в вопросе о кручении являются действительно одной и той же ма тематической задачей. Для этого выведем дифференциальное уравнецие равновесия упомянутой мембраны.
Пусть д, есть поперечная нагрузка, приходящаяся на каждую единицу площади мембраны; р - растягивающее*усилие, приходящее ся в каждом сечении мембраны на единицу его ширины; и /~- пере мещение мембраны в направлении оси o s ., перпендикулярной к плоскости ее контура. Выделим двумя парами бесконечно близких
прямых х ъх+Ых,у ъу+ Ф уъг этой мембраны элемент |
и рассмот |
|
рим условия равновесия его. Учтем |
также искривление |
элемента, |
соответствующее нагрузке ^ • При |
этом считаем начальное натя- |
|
.. - W -
женив мембраны р равномерным и настолько большим, что под дей ствием нагрузки 9 оно практически, нигде не изменяется* Нагруз ку О будем считать настолько малой, что высшими степенями, таких
|
до |
до |
можно по сравнению с их первыми * |
|
величин, как^- |
и ю |
|||
нями пренебрегать. |
|
|||
В сечениях, |
перпендикуляр |
|||
ных к оси ох |
, на рарсматривае- |
|||
мый элемент мембраны действуют |
||||
усилия pdy |
, направленные под |
|||
некоторыми углами к оси#.? . Про |
||||
екции их направлены одна в сторо |
||||
ну положительного направления |
||||
оси 2 |
, другая - в обратную сто,- |
|||
|
д гц/ |
- |
, то один |
|
рону. Если 5 |
- т |
> 0 |
||
|
■.ах |
|
|
|
из этих углов, как видно из |
||||
|
|
. диг |
второй |
|
|
|
дх |
||
|
|
|
||
диг д ш / " V, |
|
|||
---- |
+-—? а х . Эти усилия |
|||
дх |
дх |
|
|
|
вместе дают в направлении оси составляющую
■
В сечениях, перпендикулярных к оси о у , действуют силы на тяжения p d x , дающие в направлении оси £ составляющую
.
в чем нетрудно убедиться, построив (см. рис. 2.7) соответствую щие их проекции на плоскость (/0 2 ^
Кроме этих сил, на рассматриваемый элемент тела действует поперечная нагрузка мембраны q d x d p , направленная под весьма малым углом к оси 0 2 и проектирующаяся на эту ось с точностью до малых второго порядка в натуральную величину. Мембрана будет в равновесии, если сумма всех рассмотренных усилий равна нулю, т.е. если
- p j d x d ^ C - |
|
Отсюда |
|
|
(2.105) |
где правая часть будет константой, если р и 9 |
не зависят от х |
и у . Мы можем всегда подобрать коВстанты р |
л-ф так, чтобы |
| = ^ г . |
.(2.106) |
- 45 -
Тогда уравнение |
(2.105) |
для и г |
совпадает с уравнением (2.104), |
определяющим в |
задаче |
о кручении функцию Ф ' . |
|
Если контур |
скручиваемого |
стержня односвяаен, то единст |
|
венное граничное условие, которому должна удовлетворять Ф \ за дается требованием, чтобы Ф' была постоянной на контуре. То же самое будем иметь и на контуре рассмотренной мембраны, если на тянем ее на плоский контур, имеющий то же очертание, что и кон тур стержня, кручение которого нас интересует.
Таким образом, если контур стержня односвязен, то мы всег да чожеы тек устроить мембрану, чтобы ее упругая поверхность в некоторой условном масштабе изображала нам функцию Ф \ Эта то аналогия и была открыта Прандтлем. Функциг0' называется, как выше уже упоминалось, функцией напряжения в задаче о кручении или функцией Прандтля. Мембранная аналогия может быть использо вана для экспериментального определения .функции Ф’.
Натянем мембрану равномерно на плоский контур, подобный контуру стержня, кручение которого мы желаем исследовать, и нагрузив эту мембрану равномерно, засечем ее плоскостями ur-con5t. ^''поверхности мембраны получим ряд горизонталей. Этим горизон талям в задаче Ъ кручении будут соответствовать линии 0 = c o n s tг т.е. линии, которые всеми своими точками будут касательны к направлению скалывающих напряжений в соответствующей точке по перечного сечения стержня.
Уклон мембраны в направлений, перпендикулярном к горизон талям, может дать нам в задаче о кручении величину
*rcos(r,ats),
т.е. проекцию, скалывающего напряжения на касательную к горизон тали. Проекция эта является искомым скалывающим напряжением Т. Уклон мембраны в направлении, перпендикулярном к горизонтали, пропорционален густоте горизонталей возле этой точки. Таким образом, по величине наибольшего угла уклона мембраны иди, что то же самое, по густоте горизонталей возле данной точки, можно судить о величине наибольшего скалывающего напряжения в любой * точке поперечного сечения скрученного отержня.
Наконец, объем холмика, заключающегося между поверхностью мембраны и плоскостью ее оснований} как это видно из формулы (2.69), должен быть пропорционален величине скручивающего мо мента.
- 46 - Из вышеизложенного следует, что задача кручения стержня-
односвязного профиля может быть экспериментально решена путем измерения прогибов равномерно-нагруженной мембраны, причем:
линии равного прогиба мембраны будут совпадать с граекто- «■'
риями касательных напряжений, результирующее касательное напряжение в некоторой точке
профиля М(х,у)йудет равно Щ |
(где |
т |
- отношение дав |
|
ления к натяжению в мембране,/г> = |
\ ш |
~ прогиб мембраны в |
||
соответствующей |
точке ее поверхности; |
п |
' - |
единичный ьектор |
внешней нормали |
к линии равного прогиба, |
проходящей через соот |
||
ветствующую точку поверхности мембраны); жесткость стержня на кручение определится формулой
(2.107)
где V - объем, ограниченный поверхностью деформационной мем браны и плоскостью ее опорного ‘контура,-
Рассмотренная аналогия имеет двоякое значение. Во-первых, она-открывает возможность экспериментального изучения распре деления напряжений в закрученном стержне .путем измерения проги бов равномерно-нагруженных мембран. Во-вторых; она дает нагляд ное представление о характере изменения функции Ф , .а следова тельно, и о виде траекторий касательных-напряжений, поскольку поверхность мембраны, прогнувшейся под действием равномерной нагрузки, есть геометрический образ, качественное представление о котором может быть составлено без какого-либо предварительного опыта. Именно в этом состоит основное значение аналогии Прандтля.
§ 2.9. Теорема Бредта' и мембранная аналогия
Теорема о циркуляции касательных напряжений может быть также переведена на язык аналогии Прандтля. Для этого посмотрим, какая физическая величина соответствует в задаче о провисании мембраны Прандтля циркуляции скалывающего напряжения. Т и ка
кая теорема могла бы быть высказана в отношении мембраны Прандт ля н? основании теоремы о циркуляции, доказанной выше.
- *7.-
Заненив в равенстве (2,46) величину Ф . величиной ц г л мы вместо циркуляции окалывающего: напряжения получили бы величину;
(2.108.)
jrf.§7:ds,:
•т.е. величину, пропорциональную интегралу, от уклона мембраны в направлении, нормальном к.контуру.'
Умнонкв |
интеграл |
на. величину |
равномерного натяжения/ |
мембрана р |
|
J; dV |
;• |
, получим; .очевидно; проекцию |
на ось o s равнодейст-: . |
||
вующ'ей усилия натяжения мембран.ы в сучений-.ее н6 .р§сс.аа?ргБе'эм6^'' му' замкнутому' контуру.
• |
Теорема о |
циркуляций,>выраженная рёврнбтвбн- (2Л 5); .'ёрлй в : •; |
|
. ней..замёнйть2 |
6 т .'.на-; £ |
, а /^на J . \ обратится в условие' |
|
I dv'- - ~ Р
которое можно переписать -также > формеравенства..
9 S f P jШ & а , |
.(2.109);. |
: показывающего, 'что полная нагрузка.мембраны в направлении' оси-л, приводящаяся на площадку, заключающуюся, внутри любого замкнуТог го контура, уравновешиваётся натяжепием мембраны в сечения ее 'по атому контуру.
Для мембраны, натянутой на односвязный контур, условие это. является, лишь повторением’однрго из условий равновесия мембраны и потому интереса не представляет. .
.Совершенно другое значение приобретает это равенство в отношении многосвяэных ■контуров.
"Для призматических стержней,’ограниченных многосвяэными
•контурами, мы можем изобразить функцию напряжений Ф поверх ностью равномерно нагруженной мембраны,'натянутой равномерно на ряд плоских контуров, параллельных друг другу. Но мы должны при этом помимо основного уравнения
, 9
7 &\W
р
-kb -
иусловия, чтобы м^было на каждом из этих контуровпостоянно,
подчинить связь между г^на каждом из этих внутренних контуров равенству
ds+ as ~о, |
(2.но) |
т.е. условию, чтобы вертикальная нагрузка у з |
, приходящаяся |
на плоскость каждого отдельного внутреннего контура, уравнове шивалась натяжением мембраны на рассматриваемом контуре. Такод образом, мембрана Прандтля только в том случае будет давать нам функцию' напряжения для многосвязных контуров, если мы на протя жении каждого из этих контуров прикрепим к этой мембране плоские невесомые диски, могущие перемещаться лишь параллельно самим се бе (рис. 2.8), и загрузим эти диски той же поперечной нагрузкой что м саму мембрану. При этих условиях натяжением р и нагруз кой £ упругая поверхность мембраны .определится, конечно, вполне. Пока же нагрузки на площадь каждого внутреннего контура мы не за дадим, поверхность провисания мембраны будет неопределенной.
Рис. 2.8
Из основных уравнений равновесия вместе с уравнениями Бельтрами мы получаем для определения функции напряжения только урав нение
йли =
аналогичное уравнению равновесия гиокой равномерно натянутой мем браны, и требование, чтобы Ф ' было постоянным на каждом из кон туров., ограничивающих поперечное сечение стеркая. Какой именно «константе должна быть равна величина Ф ' на каждом из этих конту-
- 49 -
ров, из уравнений равновесия вместе с уравнениями Белмрами заключить невозможно. Однако проведенные исследования и изло женные выше рассуздения показывают, что только те комбинации постоянных значений функции Ф ' на различных контурах приводят к однозначности осевых перемещений стержня, которые удовлетворяют условию
(2.III)
для всякого.контура, проведенного в плоскости поперечного сече ния, хота бы и он окрувал отдельные полости внутри стержня*
Таким образом,при изучении кручении многосвязных контуров соблюдение условий Сен-Венана необходимо для сплошности тела. Если же тело заполняет многосвязную область, то, кроме соблюдения условий Бельтрами, необходимо еще выполнение условий (2.III) для всякого контура, не пересекающего границ тела.
Из изложенного следует, что аналогия Прандтля переносится на стержни многосвязного профиля при следующих условиях:
1) контур мембраны должен быть подобен внешнему контуру поперечного сечения стержня;
2 ) внутренние контуры должны быть имитированы абсолютно жесткими плоскими невесомыми дисками (вырезанными' по форме вну тренних контуров и прикрепленными к мембране так, чтобы свобод ная от дисков ее поверхность имела вид исследуемого многосвязного профиля);
3) диски должны иметь свободу перемещения только в направ лении, перпендикулярном их плоскостям.
Если такую мембрану загрузить равномерным нормальным дав лением, то будут соблюдены оба необходимых условия: плоскость каждого внутреннего опорного контура есть линия равного* прогиба мембраны, а нагрузка на каждый внутренний контур равна .
В результате прогиб мембраны будет пропорционален функции напря жения (в соответствующей точке нногосвязного профидя), а линии равного прогиба будут подобны траекториям касательных напряжений (см. рис. 2 .В).
Описанный выше эксперимент не так просто осуществить (если ставить целью получение достаточно точних в количественном от- . ношении результатов). Однако,-как-уже упоминалось, ценность ана
- 50 -
логии Прандтдя состоит не только в том, что она открывает новый подход к экспериментальному исследованию проблемы кручения, но и в том, что она придает этой проблеме значительно большую наг лядность.
§ 2.10. Кручение односвязных тонкостенных прошилей
На практике часто.применяются стержни, составленные из прямо угольных полос. Они либо свариваются, либо'получаются путем про катки. В последнем случае толщины полок и стенок профиля делают ся переменными, однако этим в первом приближении можно пренеб речь, усреднив при расчете толщины соответствующих элементов про филя.
Исследуем кручение стержней такого вида (взяв в качестве
их типичного представителя стержень двутаврого |
сечения) с. точ |
||
ки зрения мембранной аналогии. При этом |
наряду |
с мембраной |
I |
(рис. .2.9) рассмотрим три прямоугольных |
мембраны П,Ш и 1У, |
опор |
|
ные контуры которых пусть будут идентичны контурам прямоуголь ников, образующим в совокупности двутавровый профиль.
|
/ft) |
|
СЮ |
|
|
|
•*» |
д. |
д; |
д |
|
*а |
А |
Да |
|
ь< |
ь |
|
( D |
|
|
|
|
|
S. |
|
ь. |
6, |
В, |
|
|
|
в,(В* |
|
—
Рис. 2.9
Очевидно, что при равных давлениях на все четыре мембраны и равных их натяжениях прогибы мембран П,Ш,1У будут весьма близ
кими к прогибам соответствующих точек "полок" и "стенки!1 мембра ны I (за исключением двух небольших областей в районах примыка ния "полок" к "стенке", поскольку на участках/?, А2>3, 32 прогиб мембран П,Ш,1У равен нулю, тогдй как у мембраны I на этих участ ках он отличен от нуля).