книги / Статистические и интеллектуальные методы прогнозирования

База правил нечетких продукций представляет собой ко-

нечное множество правил нечетких продукций. Наиболее часто база правил представляется в форме структурированного текста:

ПРАВИЛО_1: ЕСЛИ "Условие_1" ТО "Заключение_1" (F1) ПРАВИЛО_2: ЕСЛИ "Условие_2" ТО "Заключение_2" (F2)

…

ПРАВИЛО_n: ЕСЛИ "Условие_n" ТО "Заключение_n" (Fn)

В данных правилах в качестве условий описывается ситуация принятия лингвистической входной переменной того или иного терма. В качестве заключения – принятие лингвистической выходной переменной терма из множества определенных значений. Коэффициенты Fi (i{1, 2, …, n}) называются

коэффициентами определенности или весовыми коэффициен-

тами соответствующих правил. Эти коэффициенты могут принимать значения из интервала [0, 1], т.е. любое правило имеет вес по степени четкости. На практике чаще всего все коэффициенты равны 1.

Следует отметить, что в качестве условий может быть несколько подусловий, которые объединяются нечеткими логическими операциями конъюнкции или дизъюнкции. Аналогично для заключения – несколько подзаключений, объединенных нечеткими логическими операциями.

Таким образом, при задании или формировании базы правил нечетких продукций необходимо определить:

R r1, r2, , rn – множество правил нечетких продукций (правил);

X x1, x2, , xm – множество входных лингвистических переменных;

Y y1, y2, , ys – множество выходных лингвистиче-

ских переменных.

Тем самым база правил нечетких продукций считается заданной, если заданы множества R, X ,Y .

121

6.3.3. Агрегирование (Aggregation)

Агрегирование представляет собой процедуру определения степени истинности условий по каждому из правил системы нечеткого вывода.

Формально процедура агрегирования выполняется следующим образом: по известному значению входной переменной определяются функции принадлежности подходящих термов. Далее по определенным функциям принадлежности из базы нечетких правил выбираются те, в которые в качестве условий входят данные термы. Так, для «температура в помещение» = 15 °С может быть определена как «холодно» или «комфортно» с определенными функциями принадлежности. Для данных термов («холодно» или «комфортно») выбираются правила вывода, где данные термы состоят в качестве условия.

Если же условие состоит из нескольких условий, то определяется степень истинности сложного высказывания (высказывания из нескольких условий) на основе известных операций нечеткой логики (конъюнкция или дизъюнкция).

Этап агрегирования считается законченным, когда будут найдены все правила для заданных входных данных и соответствующие функции.

6.3.4. Активация (Activation)

Активация в системах нечеткого вывода представляет собой процедуру или процесс нахождения степени истинности каждого из заключений правил нечетких продукций.

Формально процедура активации выполняется следующим образом. До начала этого этапа предполагаются известными значения истинности всех условий системы нечеткого вывода, т.е. множество значений и значения весовых коэффициентов для каждого правила. Далее рассматривается каждое из заключений правил системы нечеткого вывода. Если заключение пра-

122

вила представляет собой нечеткое высказывание вида И и ИЛИ, то степень его истинности равна алгебраическому произведению соответствующего значения на весовой коэффициент.

Результатом процесса активации являются термы выходных переменных с известной функцией принадлежности.

6.3.5. Аккумуляция (Accumulation)

Аккумуляция, или аккумулирование, в системах нечеткого вывода представляет собой процедуру или процесс нахождения функции принадлежности для каждой из выходных лингвистических переменных множества.

Поскольку на этапе активации были определены несколько термов для выходных переменных, то на этапе аккумуляции осуществляется «суммарная» функция принадлежности, аккумулирующая в себе значения термов выходной переменной на основе заключений по правилам вывода.

Цель аккумуляции заключается в том, чтобы объединить или аккумулировать все степени истинности заключений для получения функции принадлежности каждой из выходных переменных.

Формально процедура аккумуляции выполняется следующим образом. До начала этого этапа предполагаются известными значения истинности всех заключений для каждого из правил, входящих в рассматриваемую базу правил системы нечеткого вывода, в форме совокупности нечетких множеств. Далее последовательно рассматривается каждая из выходных лингвистических переменных и относящиеся к ней нечеткие множества. Результат аккумуляции для выходной лингвистической переменной определяется как объединение нечетких множеств.

Этап аккумуляции считается законченным, когда для каждой из выходных лингвистических переменных будут определены итоговые функции принадлежности нечетких множеств их значений.

123

6.3.6. Дефаззификация (Defuzzification)

Дефаззификация в системах нечеткого вывода представляет собой процедуру или процесс нахождения количественного (численного) значения для каждой из выходных лингвистических переменных множества.

Цель дефаззификации заключается в том, чтобы, используя результаты аккумуляции всех выходных лингвистических переменных, получить обычное количественное значение (crisp value) каждой из выходных переменных, которое может быть использовано в соответствии с поставленной задачей (принятие решение, моделирование, прогнозирование).

Формально процедура дефаззификации выполняется следующим образом. До начала этого этапа предполагаются известными функции принадлежности всех выходных лингвистических переменных в форме нечетких множеств. Далее последовательно рассматривается каждая из выходных лингвистических переменных и относящееся к ней нечеткое множество. Результат дефаззификации для выходной лингвистической переменной определяется в виде количественного значения одним из нескольких методов.

Метод центра тяжести:

min

где y – результат дефаззификации;

v – переменная, соответствующая выходной лингвистической переменной;

(v) – функция принадлежности нечеткого множества, со-

ответствующего выходной переменной после аккумуляции; min, max – левая и правая точки интервала носителя нечет-

кого множества рассматриваемой выходной переменной.

124

Метод центра тяжести для одноточечных множеств:

где n – число одноточечных (одноэлементных) нечетких множеств, каждое из которых характеризует единственное значение рассматриваемой выходной лингвистической переменной.

Метод центра площади y u :

где vm – модальное значение (мода) нечеткого множества, соответствующего выходной переменной после аккумуляции.

Метод правого модального значения:

Системы нечеткого вывода могут быть реализованы в виде алгоритмов (моделей).

6.4.ОСНОВНЫЕ АЛГОРИТМЫ НЕЧЕТКОГО ВЫВОДА

Рассмотренные выше этапы нечеткого вывода могут быть реализованы неоднозначным образом, поскольку включают в себя отдельные параметры, которые должны быть фиксированы или специфицированы. Тем самым выбор конкретных вариантов параметров каждого из этапов определяет некоторый алгоритм, который в полном объеме реализует нечеткий вывод в системах правил нечетких продукций. К настоящему времени предложено

125

несколько алгоритмов нечеткого вывода. Те из них, которые получили наибольшее применение в системах нечеткого вывода, рассматриваются ниже [32, 33].

6.4.1. Алгоритм Мамдани (Mamdani)

Алгоритм Мамдани является одним из первых, который нашел применение в системах нечеткого вывода. Он был предложен в 1975 г. английским математиком Е. Мамдани (Ebrahim Mamdani) в качестве метода для управления паровым двигателем. По своей сути этот алгоритм полностью отражает рассмотренные выше этапы.

Формально алгоритм Мамдани включает в себя основные этапы нечеткого вывода:

фаззификация входных переменных,

формирование базы правил систем нечеткого вывода,

агрегирование условий в нечетких правилах вывода. Для нахождения степени истинности условий каждого из правил нечетких правил используются парные нечеткие логические операции. Те правила, степень истинности условий которых отлична от нуля, считаются активными, т.е. коэффициент определен-

ности F принимается равным 1.

Активизация заключений в нечетких правилах продукций. Осуществляется по формуле

где С {c1, c2, ,cq } – функции принадлежности каждого из

заключений правил вывода.

Аккумуляция заключений нечетких правил осуществляется объединением нечетких множеств, соответствующих термам заключений, относящихся к одним и тем же выходным лингвистическим переменным.

126

Дефаззификация выходных переменных осуществляется

методом центра тяжести или центра площади.

6.4.2. Алгоритм Сугено (Sugeno)

Формально алгоритм Сугено включает в себя все этапы нечеткого вывода с некоторыми особенностями:

Формирование базы правил систем нечеткого вывода.

Вбазе правил используются только правила нечетких продукций в форме:

ЕСЛИ " 1 есть * "И " 2 есть ** "ТО"y 1a1 2a2 " (6.51)

где ε1, ε2 – некоторые весовые коэффициенты. При этом значение выходной переменной y в заключении определяется как некоторое действительное число.

Агрегирование условий в нечетких правилах продукций. Для нахождения степени истинности условий всех правил нечетких продукций, как правило, используется логическая операция min-конъюнкции. Те правила, степень истинности условий которых отлична от нуля, считаются активными и используются для дальнейших расчетов.

Активизация заключений в нечетких правилах продукций. Может осуществляться как в нечетком виде (6.50), так и в

четком, для этого используется (6.51), где вместо a1, a2 подставляются количественные значения выходных переменных.

Аккумуляция заключений нечетких правил продукций. Фактически отсутствует, поскольку расчеты осуществляются с обычными действительными числами.

Дефаззификация выходных переменных. Используется модифицированный вариант в форме метода центра тяжести для одноточечных множеств.

127

6.4.3. Алгоритм Цукамото (Tsukamoto)

При использовании алгоритма Цукамото особенности отражены на следующих этапах:

Агрегирование условий в нечетких правилах продукций. Осуществляется как в модели Сугено.

Активизация заключений в нечетких правилах продукций. Осуществляется аналогично алгоритму Мамдани, после чего находятся количественные (численные (не нечеткие)) значения всех выходных лингвистических переменных в каждом из заключений активных правил нечетких продукций.

Аккумуляция заключений нечетких правил продукций.

Фактически отсутствует, поскольку расчеты осуществляются

собычными действительными числами.

Дефаззификация выходных переменных. Осуществляет-

ся методом центра тяжести для одноточечных множеств.

6.4.4. Алгоритм Ларсена (Larsen)

Особенности модели Ларсена отражены в следующих этапах нечеткого вывода:

Агрегирование условий в нечетких правилах продукций. Осуществляется аналогично алгоритму Цукамото.

Активизация заключений в нечетких правилах продукций. Осуществляется с использованием формулы

где С {c1,c2, ,cq } – функции принадлежности каждого из за-

ключений правил вывода.

Аккумуляция заключений нечетких правил продукций. Осуществляется объединением нечетких множеств, соответствующих термам заключений, относящихся к одним и тем же выходным лингвистическим переменным.

128

Дефаззификация выходных переменных. Используются любые методы дефаззификации.

На практике чаще всего используются модели Мамдани и Сугено.

ПРИМЕР 6.6. Рассмотрим нечеткую модель управления работой комнатного кондиционера (рис. 6.18). Предполагается, что кондиционер способен работать как на охлаждение, так и на обогрев и имеет регулятор режимов со шкалой условных значений [–4, 4]. Отрицательные значения соответствуют режиму охлаждения, положительные – режиму обогрева, нулевое – выключению. Чем больше абсолютная величина значения, тем выше мощность работы в соответствующем режиме. Управление осуществляется на основе системы эвристических правил, используемых при ручной регулировке кондиционера и описывающих зависимость режима и мощности работы кондиционера от текущей температуры воздуха в помещении и скорости ее изменения.

Рис. 6.18. Схема работы нечеткого регулятора температуры

В качестве входных переменных выбраны: температура в диапазоне [0, 40] °С, скорость изменения температуры в диапа-

зоне [–2, 2] °С/мин.

Выходная переменная – режим работы кондиционера в диапазоне [–4, 4].

129

Фаззификация. Для входных и выходных переменных определены терм-множества:

Температура – {«низкая», «пониженная», «нормальная», «повышенная», «высокая»}.

Скорость изменения температуры – {«отрицательная», «близкая к нулю», «положительная»}.

Режимы работы кондиционера – {С1 – «слабое охлаж-

дение», С2 – «умеренное охлаждение», С3 – «сильное охлаждение», H1 – «слабый обогрев», H2 – «умеренный обогрев», H3 – «сильный обогрев», Z – «кондиционер выключен»}.

Графики функций принадлежности представлены на рис. 6.19–6.21.

Рис. 6.19. График функции принадлежности лингвистической переменной «температура» («низкая» – фиолетовый цвет графика, «пониженная» – голубой, «нормальная» – зеленый, «повышенная» – желтый, «высокая» – красный)

Рис. 6.20. График функции принадлежности лингвистической переменной «скорость изменения температуры» («отрицательная» – красный цвет, «близкая к нулю» – зеленый, «положительная» – синий)

130