Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Практические занятия по высшей математике. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Р е ш е н и е . Данное уравнение содержит только две переменные х и у и на основании (20, 3) определяет в пространстве цилиндри ческую поверхность, образующие которой параллельны оси 02, а направляющей является эллипс. Такой цилиндр называется эллиптическим. К этому же выводу можно прийти, повторяя рассуждения предыдущей задачи.

Задача 20, 14 (для самостоятельного решения). Какую поверх

ность определяет	уравнение у2 = 2рх (фиг. 20, 2)?
О т в е т . Уравнение у2= 2рх определяет параболический цилиндр
с образую щ ими,	параллельными оси Ог. Направляющ ей цилиндра
г	служ ит парабола у2 = 2рх, лежащ ая в
' ‘	плоскости хОу.

Фиг.

20,2.

Фиг. 20,3.

Задача 20,15. Какую поверхность определяет уравнение

О т в е т ,

Y* —

— 5= =1 — уравнение цилиндра, образующие кото

рого параллельны

оси О2, а направляющей

служит данная

ги-

пербола* лежащая

в плоскости

хОу (фиг. 20,3). Такой

цилиндр

называется

гиперболическим.

определяют уравнения

Задача

20, 16.

Какие

поверхности

1) х2+ г2=

16;

2) £

= 1;

3) х =

J — у =

Р е ш е н и е .

Каждое

из этих

уравнений

содержит только две

переменные х и z

и определяет

на

плоскости хОг кривые: 1)

ок

ружность;

эллипс;

параболу;

гиперболу.

В пространстве же каждое из них определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Оу, так как эти

уравнения не содержат переменной у. Направляющими	этих ци
линдрических поверхностей служат указанные кривые:	цилиндра;
1) x2 -\-z2 = 16—уравнение прямого кругового	цилиндра;

2) -g- -f- — = 1— уравнение эллиптического цилиндра;


3) х =	2 z2 — уравнение	параболического		цилиндра;
4) -g- — — = 1 — уравнение			гиперболического цилиндра.
Задача	20, 17. Какие	поверхности определяют			уравнения
1) 0 2 = 5 , 2) y = 6z\ 3) i/2+ z2= 9, 4) £ + £ = 1?
О т в е т . 1) yz = 5— уравнение гиперболического					цилиндра;
2) у =	6г2— уравнение параболического			цилиндра;
3) У2 + г2= 9 — уравнение			прямого кругового цилиндра;

4)+ ^2 = 1 — уравнение эллиптического цилиндра.

Образующие всех этих цилиндрических поверхностей парал лельны оси Ох.

Задача 20, 18 (для самостоятельного решения). Какую поверх ность определяет уравнение

х2 + у2 — 4у = 0?

О т в е т . В пространстве уравнение определяет прямой круго вой цилиндр, для которого данная окружность служит направля ющей. Образующие цилиндра параллельны оси Ог, причем сама ось является одной из образующих, так как данная окружность проходит через начало координат. Постройте эскиз цилиндра.

Задача 20, 19. Какую поверхность определяет уравнение

у2 + z2 — 2az = 0?

Отв е т . Прямой круговой цилиндр, образующие которого па раллельны оси Ох.

Задача 20, 20. Какую поверхность определяет уравнение

Р е ш е н и е . Перепишем данное уравнение в виде

( 7 - f ) ( 7 + f ) - *

что в свою очередь может быть записано так:

Каждое из этих уравнений определяет плоскость, проходящую через ось Оуу причем ось Оу является прямой пересечения этих плоскостей.

3. Линия в пространстве. Линия в пространстве может рас сматриваться как пересечение двух поверхностей. Если уравне-

ния	этих поверхностей F (х, У, г) == 0 и / Г1 (х, у, г) = О, то эти
два	уравнения

F (х,	у ,	г) =	0 1
Л (*.	У,	г) =	(20, 6)
			О J

и являются уравнениями линии в пространстве. Таким образом, линия в пространстве есть геометрическое место точек, коорди наты которых удовлетворяют системе (2 0 , 6).

Решим несколько задач, связанных с линиями в пространстве. Задача 2 0 ,2 1 . Какая линия изображ ается системой уравнений

x2 + y 2 + ( z ~ 7)2 =

16)

р е ш е н и е .

П ервое

из уравнений системы определяет сферу,

а второе — плоскость,

параллельную плоскости хОу. Так как

данная плоскость пересекает данную сферу,

то линией пересече

ния будет окруж ность.

Значит,

линия,

о которой

идет

речь в

задаче,

— окруж ность,

лежащ ая в плоскости г =

6 .

Запиш ем уравнение

этой

окружности

в другом

виде. И склю

чим г

из данной

системы

уравнений.

Сделать

это

надо так: в

первое

уравнение

системы

подставитьзначение

г = 6 . Получим

*2 + У2 + ( 6 - 7 ) 2 =

16)

г = 6 )’

или

х2 +

У2 +

1 = 16]

Z =

б / ’

Окончательно

х2 +

*/2 = 15)

2 = 6 Г

П ервое уравнение определяет в пространстве прямой круговой

цилиндр, у которого осью

служ ит ось

Oz, а

второе — плоскость,

параллельную

плоскости

хОу.

П ервое

уравнение

этой

системы

J5 на

плоскости

хОу

определяет

окруж ность,

являю

щ ую ся

прямоугольной

проекцией той окруж ности, которая опре

деляется заданной системой уравнений.

Задача 20, 2 2 . Какую линию

определяет

система

уравнений

2 = 5

Р е ш е н и е . П ервое уравнение этой системы определяет в про странстве эллиптический цилиндр, а второе — плоскость, парал лельную плоскости хОу. Л инией их пересечения будет эллипс, лежащ ий в данной плоскости. Е го прямоугольной проекцией на

плоскость хОу будет эллипс, определяемый первым из уравнений

системы.	20, 23. Какая
Задача	20, 23. Какая	линия определяется			системой уравнений
Решение . Первое		из	данных	уравнений	определяет в п р о
странстве	параболический		цилиндр,	а второе — плоскость, парал

лельную плоскости yOz. Эта плоскость пересечет параболический


цилиндр по параболе. Итак, линия,			определяемая	заданной си
стемой уравнений,		— парабола, лежащ ая в плоскости х =			5. П р о
екцией этой параболы на плоскость yOz будет парабола,					опреде
ляемая первым уравнением данной системы .
Задача 2 0 , 24		(для сам остоятельного реш ения).		Какая линия
определяется	уравнениями
Ответ.	О круж ность, лежащ ая		в плоскости 2 =	9, параллель

ной плоскости хОу. Проекцией этой окруж ности на плоскость хОу

будет окруж ность

Второе из этих уравнений указывает на то, что окруж ность, определяемая первым уравнением, леж ит в плоскости хОу, урав

нение которой 2 = 0 .

4. Поверхность вращения. В учебнике П ривалова на страни це 269 выведено простое правило, позволяющ ее по известному уравнению вращающейся линии получить уравнение поверхности вращ ения.

Приведем здесь это правило и дадим к нему разъяснения.

П р а в и л о . Чтобы получить уравнение поверхности, обра зованной вращением линии L, лежащей в плоскости yOz, вокруг оси

Оу, нужно в уравнении 'этой линии					заменить z на ± ]/л:2 +					г2.
Разъясним		это правило.				yOz,
Уравнение линии, лежащ ей в плоскости							содерж и т		в об
щем случае	две переменные		величины: у и 2 и				имеет	вид
			/ (у, г) =		0.
Уравнение	ж е	поверхности	в	общем	случае	содержит		три	теку
щих координаты: х, у и 2 .
Уравнение		вращающейся		линии	надо	преобразовать			так,
чтобы оно стало уравнением поверхности						вращения. П равило
указывает, что в уравнении вращ ающ ейся						линии f(y,		z) =	0	те
кущая координата 2 должна				оыть зам ен ен а на			± Yx* + г2.			Это

надо понимать так, что в этом уравнении вторая текущ ая коор* дината у , одноименная с осью вращения Оу, должна быть остав лена без изменения.

Таким образом, преобразованное уравнение в общем			случае
будет содерж ать три	текущ их	координаты: х, у и z.
Если бы вращение	линии	f(y z) = 0 происходило не	вокруг

оси Оу, а вокруг оси Oz, то, чтобы получить уравнение поверх

ности вращ ения, следовало бы в уравнении кривой									текущ ую		ко
ординату z, соответствующую оси						вращения		Oz,	оставить без
изменения,	две	ж е	другие	текущ ие		координаты х и у ввести,					за
менив в уравнении			кривой	у на	±	Y	+ У2.
Аналогично		поступают		в случаях,			когда происходит вращ ение
линии, лежащ ей в плоскостях хОу						и xOz. Н иж е рассматривается
ряд задач на применение этого правила.
Задача	2 0 ,2 5 . О круж ность х2 +					у2— г2 вращ ается				вокруг	оси
Ох. Найти	уравнение поверхности				вращения (сферы).
Р е ш е н и е .		Чтобы написать уравнение поверхности								вращ ения,
полученной	от	вращения заданной				окруж ности		вокруг оси			Ох,

следует в уравнении окруж ности переменную х> соответствую щ ую

оси

вращения,

оставить

без изменения. Вторую

ж е переменную у

в уравнении окруж ности заменить

на

корень квадратный из

суммы квадратов

двух

остальных

переменных — у и

z, т. е. на

± | / / / 2 + z 2; тогда

уравнение

поверхности

вращения

запиш ется

так:

т. е.

в виде

X2 +

( ± V У 2 +

Z2) 2 =

г2,

х2 +

у2 +

z2 =

г2 (сфера).

Задача 2 0 ,2 6 . Прямая x =

z вращается

вокруг оси

Oz. Найти

уравнение поверхности вращ ения (конуса).

Р е ш е н и е .

Так как

в уравнение линии входят только пере

менные х и z, то линия

лежит в плоскости xOz.

Д ля написания

уравнения

поверхности

вращения

в уравне

нии

прямой переменная

z долж на

остаться

без

изменения,

так

как

она соответствует

оси вращения Oz.

Вторая ж е переменная х

в уравнении прямой долж на быть

заменена

корнем

квадрат

ным

из суммы

квадратов

двух

остальных переменных х

и у, т. е.

± ] /гх2 -\-у 2. Уравнение

поверхности

вращения

запиш ется

так:

± V х2 + у2 =

Возведя обе

части

последнего

равенства в

квадрат,

получим

окончательно уравнение

поверхности вращения

виде

* 2 + //2 = 2 2,

или

х2 + у2 — Z2 = 0 (конус).

Вершина этого конуса находится в начале координат, а так «как

прямая х = z является биссектрисой		координатного угла xOz, то
угол	в осевом сечении этого конуса	равен 90р (фиг. 20. 4). Сле
дует	запомнить, что уравнение х 2 +	у 2 — z2 = 0	определяет конус
с верщ иной в начале координат и углом в осевом			сечении, равным

90°. Осью этого конуса является ось Oz. Если бы вращение пря

мой

х — z

происходило не

вокруг

оси Oz,

вокруг

оси

Ох, то

мы

получили

бы

уравнение поверхности вращ ения, оставив

в этом

уравнении

без

изменения переменную х и заменив переменную z

на

± V y * Jr z 2-

Уравнение

поверхности

вращения

приняло

бы

вид

Х =

± V y 2 +

z 2,

а после возведения обеих частей равен

ства

квадрат

х 2 =

у2 +

z2,

или

окон

чательно

у2 + z2 — х 2 =

0 .

Задача 2 0 , 27 (для самостоятельного

решения). П рямая

у =

вращается

во

круг оси Оу. Найти уравнение поверх

ности

вращения

(конуса).

О т в е т . x 2 + z2 — у2 = 0.

Задача 2 0 , 28

(для

самостоятельно

го решения). Определить уравнение по

верхности вращ ения, образованной вра

щением

прямой

у = Зх вокруг

оси

Ох (конус).

О т в е т . у 2 + z2 — 9х2 = 0.

Задача

2 0 , 29 . Определить

уравнение

поверхности

вращения,

образованной

вращением эллипса

t!2

^ + 1-2 =

1 )

вокруг

оси

Ох;

2 )

вокруг

оси

Оу,

Р е ш е н и е .

1 ) Уравнение

кривой содерж ит координаты х

и у,

значит,

кривая

лежит в плоскости хОу.

Д л я

определения уравнения

поверхности,

образованной

вра

щением эллипса вокруг оси Ох, надо в уравнении эллипса пере

менную	х, соответствующ ую	оси вращ ения, оставить без измене
ния, а	вторую переменную у	в уравнении эллипса заменить на ±

корень квадратный из суммы квадратов дв ух остальных перемен

ных, т. е.	на ± У у2 +	z2.
И скомое	уравнение поверхности вращения будет выглядеть так:
	х2 ,	(±		V у2 +	г2)2	л
или	а2 “т“			ъ2		~~ 1
или		*2	,	У2 + Z2 _		,
		*2	,	У2 + Z2 _		,
		а2	'	Ь2	~	Ав

Эта поверхность называется эллипсоидом вращения.

2) Если		ж е вращать	данный	эллипс вокруг оси Оу,	то пере
менную	у,	соответствую щ ую оси		вращения, в уравнении	эллипса
следует	оставить без		изменения, а переменную х заменить на

Ч- '\/'X2 -|- Z2.

В этом случае уравнение поверхности вращения будет таким:

(± V хг + г2)2 , </2 ,

г 62 — Ь

или

*2 + г2	, у* _ .
а2	'"Ь2 - Ь

Задача 2 0 , 30 (для самостоятельного реш ения). Найти уравне

ние поверхности, образованной вращением эллипса

вокруг 1) оси	Оде;	2) оси Oz.
О т в е т . 1)	- j +	г2 +	У2 =	1 — эллипсоид	вращения;
2)	х1+ г/2+		-2 =	1 — эллипсоид	вращения.
		'	с2

Задача	2 0 ,3 1 .		Найти		уравнение поверхности,
вращением	гиперболы
вокруг 1) оси		Ох;	2 ) оси		Oz.
О т в е т .	1)	У2 +	г2	X®				(двухполостны й
					=	~	1
		с2 ""						вращ ения, фиг.
		х2 + у2
	2 )			1	=	1		(однополостный

вращения, фиг.

образованной

гиперболоид

20, 5).

гиперболоид

2 0 , 6).


Задача 20, 32			(для самостоятельного решения).				Парабола у2 =
= 2р2 вращается			вокруг оси	Oz. Написать		уравнение поверхно
сти вращения.
О т в е т .		Полагая ^ = а,		получим г = а (х2 +			у2). Эта поверх
ность	называется		параболоидом вращения.
Задача 20, 33			(для самостоятельного решения). Найти урав
нение	поверхности, полученной от				вращения параболы				у2 = х
вокруг оси		Ох.			вращения).
О т в е т ,		х = у2 + z2 (параболоид
Задача 20, 34 (для самостоятельного решения). Найти уравне
ние поверхности,			образованной вращением			прямой х + г =			1 во
круг оси Oz.
От ве т,		х2 + у2 — (z — I)2 = 0.			в точке С (0, 0,			1). Угол		в
Поверхность — конус с вершиной
осевом сечении этого конуса равен 90°						задач,		связанных		с
В заключение			решим несколько простых

поверхностями второго порядка, заданными простейшими уравне-»

ниями. Приводим для справок простейшие уравнения			поверхно
стей	второго порядка.
1.	Трехосный эллипсоид
	у2 ,»2 ^2	1	(20,7)
	- 4 - - 4 - - =	1	(20,7)
(а, b	и с — полуоси, эллипсоида).
2.	Однополостный гиперболоид
	xl + t + t=1		(20, 8)
	„2 Т £2 Т „2	1	(20, 8)

В пересечении поверхности однополостного гиперболоида с координатными плоскостями получаются кривые:

1) с плоскостью xOy(z = 0 )— эллипс ^г + |г = : 1» который на зывается главным;

2) с плоскостью хОг — гипербола х—г— ^ = 1;

о	и2 З2			1-
3) с плоскостью yOz — гипербола ^ — ^2=
Вершины главного эллипса (иногда		он	называется		горловым)
называются вершинами	гиперболоида,	а	оси	этого	эллипса —

поперечными осями гиперболоида. Их длины равны 2а и 2Ь. Ось

гиперболоида	(20,8),	расположенная			по оси Oz и	равная по
длине 2с, называется его продольной осью.
В случае,	когда продольная ось однополостного гиберболоида
расположена	по оси	Ох,	уравнение		его поверхности	запишется
в виде				X*
		,	з2	X*		(20, 9)
		Ь2	с2	а2 = i,		(20, 9)

для случая же, когда продольная ось однополостного гипербо лоида находится на оси Оу, его уравнение имеет вид

X2	,	Z2	у 2		,	(20,	10)
а2	^	с2	Ь2	~	*

3). Двуполостный гиперболоид

£	4	J t	г*	_	1	(20, 11)
а2	^	Ь2	с2	—		(20, 11)

Плоскость хОг/ не пересекает поверхности двуполостного гиперболоида (20, 11). Плоскости хОг и yOz пересекают поверх ность (20, 11) соответственно по гиперболам

X2	Z2	,	у 2	Z2	-1 ,
		И	fc2	с2”	-1 ,

которые называются главными гиперболами. Отрезок длиною 2с, расположенный по оси Oz, называется продольной осью дву полостного гиперболоида (20, И), а отрезки длиною 2 а и 2Ь, расположенные соответственно по осям Ох и Оу, называются его поперечными осями.

У двуполостного гиперболоида

t -	4 - : ____ =		_ 1	(20,	12)
Q2	' С2	Ь2

продольная ось расположена по оси Оу, а у двуполостного гипер болоида

1,1	!	Z2	X2		1	(20, 13)
b2			а2		1	(20, 13)
она расположена по оси Ох.
4. Действительный конус второго порядка
X2		и2	Z2	0		(20, 14)
-___L ------=				0	U*	(20, 14)
а2	^	Ь2	с2		U*

Вершина этого конуса находится в начале координат, он состоит из двух частей, расположенных по обе стороны от вершины. Одной из возможных направляющих этого конуса является эллипс

Z = с

У конуса
а2 ^ с2	Ь2 — V	(20,	15)
а2 ^ с2	Ь2 — V
вершина находится в начале	координат, он состоит из двух

частей, расположенных по разные стороны плоскости хОг. Одной из возможных его направляющих является эллипс

У = Ь

■И. Л- —	— — п	(2 0 . 16)
62 + с2	а2 ~ U

вершина находится в Начале координат, а две его части рас положены по разные стороны плоскости уОг. Одной из возмож ных его направляющ их является эллипс

		£ +	£	=	1	1
		ь* +	С2		а	.
			х =		а	}
5.	Эллиптический	параболоид
		г ~	х*	,	у2
		г ~	2 p +		2q'
Ось Ог называется его осью.
У	эллиптического	параболоида
		У ~		X2	,	Z2
		У ~		2р +		2?

осью служ ит ось Оу, а у эллиптического параболоида

(20, 17)

(2 0 , 18)

(20, 19)

осью служ ит ось Ох.

6 . Гиперболический параболоид

	х2	у2	(2 0 ,	20 )
г ~	2р	2q'	(2 0 ,	20 )
г ~	2р	2q'
Задача 20, 35. Найти главные		сечения эллипсоида
у2	««2	j»2
- 4 - ^ - 4 -		— = 1
25 ~	16 ~	4

определить координаты их вершин и длину осей.

Р е ш е н и е .		j^2	о2		2»2	=	1
	Главными сечениями эллипсоида		+ \|а	+ ^ 5
называются линии, по которым эллипсоид пересекается				с	коор
динатными плоскостями. Плоскость хОу		имеет уравнение			г =		0.
Полагая в уравнении эллипсоида 2 = 0,		получим	уравнение			ли
нии пересечения	эллипсоида с плоскостью хОу

£ л.У1 _ 1

25 1 16 — 1 I

2 = 0

которое в плоскости хОу определяет эллипс. В сечении данного эллипсоида плоскостью у = 0 (координатная плоскость xOz) полу чается эллипс

S + Т = 1 ) .

У = о J

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги