книги / Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней
..pdfВыводы* I* Задачи с граничными условиями типа (А) не относятся к задачам о чисто поперечных или антисимметричных колебаниях плас тинки, так как являются смешанными или задачами о продольно-попереч ных колебаниях пластинок, и для их решения нельзя ограничиваться лишь уравнениями поперечных колебаний типа уравнения Тимошенко или другими приближенными уравнениями.
2. При рассмотрении собственных поперечных колебаний пластинок эти задачи относятся к чисто поперечным или антисимметричным коле баниям, и для их исследования и решения достаточно уравнений, приве денных в § 4 данной главы или приближенных, из них вытекающих.
Сказанное справедливо и для других задач о колебаниях пласти нок, изложенных в последующих параграфах и главах.
§ 5. Частные виды уравнений поперечных колебаний
Точные уравнения поперечных колебаний вязкоупругих пластин (2.46) - (2.48) не пригодны для проведения инженерных расчетов, так
как содержат проэводные бесконечно высокого порядка |
по координатам |
|
х , ÿ и времени t . Поэтому вместо точных уравнений |
применяют |
при |
ближенные, которые включают производные конечного порядка,т.е. урав нения, усеченные от точных. Их нетрудно получить из точных, ограни
чиваясь конечным числом первых слагаемых, |
так, как это производилось |
|||||
в § 3 данной главы для уравнений продольного колебания. |
||||||
Поэтому |
если |
ограничиться |
в уравнениях |
(2.46) - |
(2.48) слагае |
|
мыми порядка |
Ьг, |
т.е. принять |
п + т = |
то |
получим |
[36] |
». ( к * {-% * *
г i>*”(i£ и * - * * > ] (•§* ♦f 2) 1' <2-si>
P,(Af)-jAI.z+ [ f m \ Ш Г а]\ Г д Г +
где |
оператор |
|
|
|
||
Ро |
■ |
д * |
/г |
4J}(3-2MN')A |
$ » ( * (-м У У ] |
|
л 5'+ Т |
||||||
|
|
|
|
|||
|
|
Нетрудно |
видеть» что (2.51) по форме аналогично уравнению по |
|||
перечных колебаний упругой пластинки» порученному на основе модели ТЪшошенко, но с другими коэффициентами при производных по координа
там и по времени. Уравнение (2.52) для потенциала |
продольных |
волн |
|
f |
с точностью до оператора Лапласа А и правой |
части от |
извест |
ных функций внешних усилий совпадает с (2.51)» а уравнение (2.53) для потенциала поперечных волн отлично от предыдущих. Эти два пос ледних уравнения в модели Ъшошенко отсутствуют. В частности»(2.53)
при внешних касательных усилиях f x z |
ш О |
сводится |
|
к однородно |
||
му, и поэтому во |
многих частных задачах |
при |
вынужденных |
колебаниях |
||
и указанных условиях потенциал V можно |
положить равным |
нулю. |
При |
|||
этих же условиях |
потенциал р удовлетворяет оператору |
, как и глав |
||||
ная часть поперечного смещения IV. Уравнения |
(2.51) - |
(2.53), как |
и |
|||
аналогичное уравнение Тимошенко, учитывают инерцию вращения и дефор
мацию поперечного |
сдвига. |
|
|
|
|
4 |
|
Если в (2.46) - (2,46) ограничиться членами порядка |
h , т,е. |
||||||
когда |
то, |
например, для IV имеем |
|
|
|
||
|
£ (W) + — |
[ / ( # * * ЮА/'’М ' \ 5 М |
2) |
d ts |
|
||
|
• |
120 |
Lr 1 |
|
|
|
|
|
-4ÿ \ 3N '+ 9M~1- 4MN*') A |
+ 16f>(4- 2ММ'-Мг/Р)А *~~ - |
|||||
|
-32M (1-M N '1)A 3 W ] * |
^ 4 , / ^ |
) . |
(2 .54) |
|||
Из точных уравнений (2.46) - (2.48) нетрудно получить |
прибли |
||||||
женные болёе высокого Порядка по производным, учитывающим |
тонкие |
||||||
физические процессы при поперечном колебании пластинки. |
|
||||||
Для приближенного определения напряженно-деформированного сос |
|||||||
тояния |
точек пластинки можно использовать формулы (2,49) и |
(2,50) |
|||||
ограничиваясь в них любым числом первых слагаемых, независимо от ви да приближенных уравнений колебания. Как нетрудно видеть, в класси ческих и других приближенных уравнениях типа уравнения Тимошенко имеется зависимость приближенных уравнений колебания от представле ний перемещений, деформаций и напряжений. Следует вновь подчеркнуть что как точные уравнения (2.46) - (2.48), так и приближенные (2.51
(2.54) в явном виде учитывает зависимость искомых функций от вязкоупругих операторов L, М и внешних усилий f 2 , f^z 9 f^z
§6. Постановка задачи о колебании вязкоупругих пластин
сучетом начальных смещений и напряжений
Многие прикладные задачи связаны с колебаниями пластин» нахо дящимися в предварительно напряженном состоянии» т.е. когда началь ные смещения отличны от нуля. Теория колебания пластин с начальными смещениями развита слабо. Ниже предлагается один из вариантов такой теории. При этом рассмотрим случай» когда отличны от нуля не только начальные смещения» но и их скорости.
Для простоты будем обсуждать задачу в плоской постановке и фор
мулировать ее в перемещениях. Положим» что внешние усилия |
не |
зави |
|
сят от координаты у и |
= О. Уравнения движения пластинки |
|
возьмем |
в форме |
|
|
|
— |
|
|
|
|
- |
д ги |
|
М ( Д { / ) + (/V- M )(p r a d c U v U )* р |
> |
(2.55) |
|||||
где вектор перемещения |
U * u i |
+ игк |
|
|
|||
Цусть при |
t= 0 |
к поверхности пластинки z » ± h приложены |
внеш |
||||
ние усилия |
|
|
|
|
|
|
|
*гх |
sFz |
( х > |
'• |
* Fxz (*• t ) : |
Z « * h , |
(2.56) |
|
а начальные условия |
при |
t = О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
, |
|
|
|
и я/в (я $ г){ |
|
ш/ , ( х >г ) ; |
|
|||
|
|
|
|
dur |
|
|
(2.57) |
|
|
|
- J f * |
fs C**>; |
|
||
Представляя [ЗГ7J перемещения и, w в виде
u * L n J k l } d k J'ue e x p ( p t ) d p ;
о |
J |
i |
— Г " * * * |
} |
J « t |
O t
для величин uo t wo иэ уравнений (2.5о) получаем обыкновенные диф ференциальные уравнения
К ( р ) “?~ [pP*+k% (p)]u 0-k[No(p)-Mo(p)^ ш,- F0 ( к , р, 2 ) ;
к ГД/0(Я)- Мв(р)] и0' + N0( р) |
|
[рр*+ кгМ0(р)] ит0»F, ( к ,р ,г ), |
|||||
|
|
|
|
|
|
Л |
(2.58) |
где F . [ k ,p , z ) = - p f ao |
( k , z ) - f „ ( k , z ) ; F ^ k tp , z ^ - p f № ( к , |
||||||
Z ) - f i(f k tZ ) , a |
f j 0 |
( k , z ) |
- преобразованные по Фурье и |
Лапласу |
|||
начальные условия, |
т.е. |
|
|
|
|
||
|
ç |
Sin кж ■f |
ctk ; |
j ’ O; 1 ; |
|
||
jjo* 0J-coshx J) |
|
|
(2.59) |
||||
|
? |
COS кЖ |
|
|
|
||
f |
1 |
dk ; |
i ‘ Z; 3 |
|
|||
Jio~J |
sin кЖ |
J1 |
|
||||
|
n |
|
|
J |
|
|
|
Общие решения уравнений |
(2.58) |
таковы! |
|
||||
B,st>(<iiz)^fi^A2 ch(fiz)+ B2sh Cp2)J~
- p p b , / |
|
|
° |
° |
(2.60) |
(«z; +£^cA(e<z;J - к £ At $h(fiz) + B a ch |
+ |
|
t |
J w |
ч * <*-«1<* - ? u b - > |
°h K ç,4 • |
|||
Здесь |
|
H/V.-AU |
dF, |
1 |
d*F, |
/ |
|
|
|||||
|
F(2)" |
NtM. |
dz |
* N, |
d z* ~ |
N / ° |
|
Преобразованные граничные условия |
(2.56) |
принимает вид |
|||
( К - гм. ) кив + N, иг,'= F*e (k ,p ,z );
|
|
z * ± h . |
(2.61) |
Подставляя общие |
решения |
(2.60) в граничные условия |
(2.61)9 |
ДДЯ A j f Bj получаем |
систему |
|
|
ip i * k t) [ A 1ch (u h )± B ,s h (u h )]+ 2 k p \At c h (p h )* |
|
||
- |
--- — |
-J |
F(V sh [ы (± Л- ц)] dç+ |
|
к и (р ‘-ы.*) |
о |
L |
* . ( .г |
г} J F ( S ) s h |
[fi(*k~Ç)]dÇ- ~ М , FZ0 ; |
|
f { f ~ |
0 |
|
(2.62) |
2cik^±Afah(«h) + B,ch(*th)j + (f>+k*) p Atsh(ph)+BtctKpK^
2 |
fh |
|
|
' |
J F(V*b [<**-«)]**+ |
||
(fil + k*) y |
r |
i |
-/ ± |
Интегралы в правых частях (2.60) и левых частях системы (2А2) можно представить в виде рядов
I F b ) sh [/( 2 - ç)] 4ц * . j £ / r (0) t f j i F(o)+...+
♦ [ / / ' « " - ' W . . . * A V w ] |
- ^ j - |
|
|||
Z |
|
|
|
2 |
|
|
f/(2-^;] |
d ç = zF (o)+ |
— F '(O)+-..+ |
(2.63) |
|
о |
|
|
|
2 |
|
Г „(гп-Z) |
.2n-Z , |
ч rln-1 |
|
||
+ [/ |
(0)1-...+ / |
F (O)J |
|
||
|
|
|
|
1(2n-1)! |
|
В общем случае при произвольных функциях Fz ,FX 2 ,F0 ,Ft ВЫ-
9'XZ f
вод уравнений колебания пластинки с начальными смещениями и напря
жениями |
весьма |
сложен. Но в силу линейности задачи можно рассмот |
|
||||
реть лишь два |
вида колебаний - продольные и поперечные, а затем пу |
||||||
тем комбинации |
этих двух решений можно исследовать и более |
сложные |
|||||
виды колебаний. Поэтому если функции F^} F четные по координате |
Z 9 |
||||||
а н е ч е т н ы е |
по Z 9 то имеем чисто |
продольное колебание; |
если |
же |
|||
F :7 F |
нечетны |
по Z , a Fx z четны по z 9 то имеем чисто поперечное |
ко |
||||
лебание. |
Бели же функции F^f FXiZ9F |
не обладают указанными свойст |
|||||
вами, |
то будет продольно-поперечное или поперечно-продольное |
коле |
|||||
бание. Однако в общем случае данные функции можно представить в ви де суммы четной и нечетной составляющих относительно Z и задачу вновь свести к задачам продольного и поперечного колебаний пластинки.
§7. Уравнения продольных колебаний пластинки
сучетом начальных смещений и напряжений
Рассмотрим чисто продольные колебания, т.е. когда |
Fz = Fz =PZ\ |
||
F£Z =-FX Z - |
R xz f |
*B f =B2=0 (симметричные колебания).Разлагая выра |
|
жения для и |
0 и iffo |
в ряды по координате 2, получаем |
|
|
|
<2п)! |
9 |
|
|
|
(2.64) |
z 2n+f
(.гп+Dl '
где
Вновь вводя главные части перемещений U0=kAff-/bAz \ W 0 - --о<?AfkfiA2,Для и0 и ЪГ0 имеем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.65) |
*Z ■{k«*c0Q (^ u 0+ [ м % |
<*£nJ % |
* **nj У |
(2n+ 1)! |
||||||
Система (2.62) в случае продольного колебания для U0 |
и WQ |
||||||||
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
]*(*+/ri)+t |
||
|
е*> |
^ |
|
|
|
|
|
||
J > |
„ ( k |
, 0 |
, |
p |
n |
. z |
\ é „ H( г тН) ! ■ |
||
|
09 |
|
|
|
|
и*(п+т ) + / |
|
||
- л i J Z . u A k b c ^ a - c ^ |
|
з |
|
|
- |
||||
|
|
|
|
|
|
7| ^ 7 - |
|
||
|
|
|
|
|
|
(2r> + 1) |
|
||
|
[ < У < **) C. o < % |
( I - |
а д У " J |
h*> |
|
||||
|
( 2 n ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 2, 66) |
♦ДЛя* |
"*■* |
|
|
|
|
Г*( 2п)!(2тТ Г+ 1')/, |
* |
||
Æ |
|
|
|
- « У - З - ^ 7 - |
♦ |
||||
|
|
|
|
|
|
3 - |
$ |
г |
|
Эдвоь D0 - оператор в соотношениях (2.29) при |
у = О ; |
|
|||||||
С - |
F(OÙ. |
FJ 0 |
г |
2 <x£n -(j»,*+ k*> jb*(n-0 |
|
|
|
П*'~ |
« * ) |
|
|
||
— |
( f i i - i T y -------- r |
m |
l |
||
Обращая систему (2.66) nok , p , для главных частей перемещений |
|||||
>W |
получаем интегродифференциальные уравнения. Так, |
например |
|||
для [ f |
|
|
|
г |
* * |
B(cc,ott)u=! £ JL itïpc Q *
n=f т*о дсс
|
t |
* |
2п |
( 2 п ) ! (2 т + |
1)1 |
<*> |
<*> г , 4\ |
Я * |
|
/ ч |
* <?(Т?*/Г7)*/ |
£ |
т = У ~ Х* _ Л р 2 г^ |
^ » |
^ /“ в^ Л* |
( 2 п )!(2 т + 1 )/ “ |
|
|
|
2п |
|
~ ы М |
~ ixï'> CiCln |
(2 п ) ! |
(2,67 |
Аналогично |
приводится уравнение и для W . |
Это точные уравнени. |
|
продольного колебания пластинки с учетом начальных напряжений,пере мещений и скоростей перемещений.
Так же для перемещений и,ЪТ через их главные части выводим
|
|
|
- щ г |
’■ |
|
|
|
|
( 2.66 |
|
w |
- 4 - g r |
j Ë |
h |
//ч е |
(2п~2} |
-, |
|
|
~ у |
(О ) * - • •*■ Q nF(O ) 3 ; п & 1 |
i |
|
|
|
<Р<£)= А(2 ° J \_N(N- М ) fF (2n\ 0 )+ . |
.+ |
(2.69) |
|
|
О |
|
|
|
|
Qn j F ( 0 ) ) |
d x |
|
|
|
Как и следовало ожидать, уравнения (2.67) |
относительно U и W |
||
неоднородны, так как содержат начальные смещения^9f 2 и их |
скорос- |
|||
ти |
а следовательно, и начальные напряжения. |
|
||
|
Подобным образом можно получить приближенные уравнения колеба |
|||
ния, |
включающие производные конечного порядка но |
л? и t . |
|
|
§8. Уравнения поперечных колебаний пластинки с учетом начальных смещений и напряжений
При чисто поперечных или антисимметричных колебаниях пластинки внешние усилия удовлетворяют соотношениям
а постоянные интегрирования Af = А% - 0 . |
|
Для преобразованных перемещений Ц0 )гХ0 имеем представления |
в |
виде степенных рядов по z |
|
z 2n+f
(2п+1)1 ’
t
где |
(2.70) |
Зак.689
Вводя главные части перемещений U ^ k u B ^ р гВг \ W0= -ccB-kB2,
находим
ш° |
|
|
]* V а "'} ( 7 ^ 7 ■ |
(2-71) |
|
При атом дяя опредвжения |
U0 и WQ |
из граничных условий |
(2.61) име- |
||
•м еистецу |
|
|
|
|
|
f [(2p%Q(°)+oc.2n)U0+рг(2кг1>о0(по)-<хгп)W0- |
|
||||
/1-0 |
|
|
|
|
|
_ / r W ] /> |
|
|
|
|
|
г» |
J (2п+ 1)Г |
M° fz |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
(2.72) |
Z o{[(/32+ ^ 2;x.0C |
+ |
^ 4 |
, |
|
|
ода
r № - j L r W | |
. |
c W - i c « î | |
^ " Л 2,7 l,.*’ |
Zn*'~ÔZ 2r" l\ Zm0' |
|
Из (2*72) аналогично продольному колебанию выводятся точные м приближенные уравнения для главных частей (/и И/ смещений и и иг.
$ 9. Колебание вязкоупругой пластинки |
|
При выводе уравнений колебания пластинки за искомые |
величины |
брались смещения срединной плоскости пластинки, для которых выводи лись уравнения и выражались перемещения и напряжения в точках плас тинки.