книги / Трехмерная теория устойчивости стержней, пластин и оболочек

А. Н. ГУЗЬ И. Ю. БАБИЧ

ТРЕХМЕРНАЯ

ТЕОРИЯ

УСТОЙЧИВОСТИ

СТЕРЖНЕЙ,

ПЛАСТИН

И

ОБОЛОЧЕК

для студентов университетов и выс­ ших технических учебных ваведений

КИЕВ ГОЛОВНОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО

ИЗДАТЕЛЬСКОГО ОБЪЕДИНЕНИЯ' сВИЩА ШКОЛАа

1980

деформирования элементов конструкций из композиционных мате­ риалов. Кроме того, решения задач на основе трехмерных уравнений являются эталонными при построении инженерных методов расчета и позволяют получить оценки точности, а также определить области применимости классических и уточненных прикладных теорий ус­ тойчивости. Трехмерные линеаризированные уравнения дают воз­ можность исследовать в точной постановке влияние физико-механиче­ ских свойств материала и геометрических параметров тонкостенных элементов конструкций на критические нагрузки, а также сформули­ ровать рекомендации для инженерных методов расчета.

Во введении дана классификация типов и свойств конструкцион­ ных композиционных материалов, а также проведен анализ существу­ ющих приближенных расчетных схем при исследовании устойчивости тонкостенных элементов конструкций.

В первой главе приведены основные соотношения теории конечных деформаций в тензорных обозначениях в лагранжевых координатах недеформированного тела. Рассмотрены постановки статических и ди­ намических линеаризированных задач теории упругости при конечных начальных деформациях для сжимаемых и несжимаемых тел в случае общей формы связи между напряжениями и деформациями. Проведены возможные упрощения для различных вариантов теории малых на­ чальных деформаций. Получены достаточные условия устойчивости и уравнения нейтрального равновесия трехмерных сжимаемых и несжи­ маемых тел при малых докритических деформациях. Сформулированы и доказаны вариационные принципы статических и динамических

условия применения статического метода при исследовании устойчи­ вости деформирования нелинейно-упругих анизотропных и кусочнооднородных сжимаемых и несжимаемых тел. Даны основные соот­ ношения трехмерных линеаризированных задач в произвольной криволинейной ортогональной системе координат. Приведен путь построения уточненных прикладных теорий устойчивости оболочек (пластин).

Во второй главе изложены некоторые аналитические и численные методы решений задач устойчивости элементов конструкций на осно­ вании трехмерных линеаризированных уравнений. Рассмотрены слу­ чаи однородных и неоднородных малых докритических деформаций. При однородных докритических деформациях сжимаемого и несжима­ емого упругих тел в инвариантной форме получены представления об­ щих решений плоских и пространственных статических и динамиче­ ских линеаризированных задач. Для неоднородных докритических деформацийосновные трехмерные линеаризированные уравнения в частных производных приводятся к системе обыкновенных дифферен­ циальных уравнений, для решения которой предлагаются методы степенных и обобщенных степенных рядов, метод дискретной ортогонализации С. К. Годунова. Изложены также конечно-разностным и вариационные методы - решения плоских и пространственных задач трехмерной теории упругой устойчивости.

4

Третья глава посвящена задачам устойчивости однородных сжимае* мых тел при действии «мертвых» нагрузок для первого варианта теории малых однородных начальных деформаций (удлинения и сдвиги малы по сравнению с единицей). В общем случае упругое тело будем считать

трансверсально-изотропным, ось изотропии которого совпадает с осью

Ох3.

На основании построенных общих решений получены характе­ ристические определители для трансверсально-изотропных пластин, стержней и цилиндрических оболочек при произвольной форме уп­ ругого потенциала. Из этих характеристических определителей для конкретной формы упругого потенциала можно определить критиче­ ские нагрузки, а также можно найти известные частные случаи харак­ теристических уравнений.

Вчетвертой главе рассмотрены вопросы устойчивости упругих стержней и пластин различной формы на основании трехмерных лине­ аризированных уравнений при геометрически линейном докритическом состоянии (второй вариант теории малых докритических деформаций). Построены характеристические определители для стержней круго­ вого поперечного сечения (полых и сплошных), а также для прямо­ угольных и круговых (кольцевых) пластин. Определены влияние механических характеристик композиционного материала на крити­ ческие нагрузки для стержней и пластин, области применимости прикладных теорий типа Кирхгофа — Лява, плоских сечений и уточ­ ненных теорий типа Тимошенко в задачах устойчивости стержней и пластин, выполненных из материала с низкой сдвиговой жесткостью. Проведено сравнение с экспериментальными данными. Численные ре­ зультаты представлены в виде графиков и таблиц.

Впятой главе на основе трехмерных линеаризированных уравне­ ний при малых докритических деформациях исследована упругая ус­ тойчивость изотропных, трансверсально-изотропных и ортотропных цилиндрических оболочек, а также трансверсально-изотропных сфе­ рических оболочек. В рассмотренных случаях осевого сжатия и внеш­ него поперечного равномерного давления построены характеристи­ ческие определители. Проведено качественное исследование и осуще­ ствлено численное решение характеристических определителей для цилиндрических оболочек.

Для однородных докритических состояний (осевое сжатие изотроп­ ных и трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек) исполь­ зованы решения трехмерных линеаризированных уравнений, выражен­ ные потенциалами Y и X. Для неоднородных докритических состояний (компоненты начального напряженного состояния зависят от коорди­ наты г) основные уравнения после неполного разделения переменных

приводятся к системам обыкновенных дифференциальных уравнений

спеременными коэффициентами. Чтобы решить эти уравнения, при­ менен метод степенных или обобщенных степенных рядов. Показано, что при упругих деформациях для тонкостенных изотропных оболочек

сдостаточной для инженерной практики точностью можно использо­

вать теорию, построенную с привлечением гипотезы Кирхгофа — Лява.

5

ВВЕДЕНИЕ. СВОЙСТВА КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ. ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ

§ 1. Типы современных конструкционных материалов. Возможные наполнители и связующие материалы

Всякий современный материал практически представ* ляет собой композицию, так как в чистом виде материалы использу* югся редко. В дальнейшем под композиционными материалами будем понимать искусственные материалы, полученные объемным сочета* нием хотя бы двух химически разнородных компонентов, между кото­ рыми существует четная граница раздела. Созданная таким образом композиция может обладать свойствами, которых не имеют отдельные ее компоненты. В зависимости от микроструктуры рассматриваются композиционные материалы трех основных классов [124]; 1) дисперс* но-упрочненные; 2) упрочненные частицами; 3) армированные волок­ ном.

Дисперсно-упрочненные композиционные материалы характерна зуются микроструктурой, представляющей собой матрицу (несущую основную нагрузку) из элементарного вещества или сплава, упрочнен­

распределяется между матрицей и частицами. В композиционных ма­ териалах, армированных волокнами, матрица передает нагрузку во­ локнам, диаметр. которых может изменяться в пределах от долей до нескольких десятков и сотен микрометров, а их объемная доля ко­ леблется от нескольких процентов до 70% и выше.

Широкое распространение получили композиционные материалы, ;армированные волокнами, которые распространены равномерно гю всему объему. Волокна предполагаются однородными, непрерывными и жестко сцепленными с матрицей, поэтому на поверхностях раздела армирующих волокон и матрицы никакого проскальзывания не про: исходит.

Важное место среди композиционных материалов занимают арми­ рованные пластики: стеклопластики; асбопластики; материалы, ар: мированные волокнами бора, графита, сапфира и др. Все эти компо­ зиции представляют собой материалы, которые состоят из податливой матрицы (полимерное связующее), обеспечивающей монолитность И формируемость материала, и наполнителя (различные типы непрерыв­ ных волокон), обеспечивающего прочность и жесткость композиции* Принцип построения таких композиционных материалов дает возмож­ ность сочетать высокие прочность и жесткость, характерные для арми­ рующих волокон, с технологическими свойствами связующих и управ­ лять анизотропией, изменяя ориентацию и-взаимное расположение

7

армирующих волокон. В зависимости от ориентации волокон различа­ ют три типа армированных пластиков: однонаправленные, или волок­ нистые (все армирующие элементы параллельны друг другу), слоис­ тые (армирующие элементы расположены под углом друг к другу в двух или нескольких параллельных плоскостях) и пространственносшитые (армирующие слои связаны поперечными связями). Класси­ фикация материалов, армированных волокнами, приведена в моно­ графии [127].

В качестве армирующего материала наиболее широкое применение получили стекловолокна различного химического состава. Основным преимуществом стеклянных волокон является их высокая прочность, которая зависит от условия изготовления, наличия поверхностных мик­

тики перспективных (средние значения) наполнителей (98, 124]. Сравнительно малый модуль упругости стекловолокон не всегда позво­ ляет применять стеклопластики в конструкциях, на деформативность ко­ торых накладываются ограничения. Из анализа развития композицион­ ных материалов в монографии [124| делается вывод о том, что для плас­ тиков найдены оптимальные наполнители — угольные и графитовые волокна. Поэтому дальнейший прогресс в области армированных во­ локнами пластиков будет связан не с поисками новых наполнителей, а с улучшением технологии получения угольных и графитовых воло­ кон, в результате которого будут повышаться механические свойства указанных волокон. Так, в лабораторных условиях получены графи­ товые волокна с модулем упругости Е = 68,67 • 10'° Па и прочностью

при растяжении = 34,33 • 10" Па. Обычно критерием оценки по­ тенциальных возможностей применения конструкционных материалов в технике служат их удельная прочность и удельный модуль (значения прочности или модуля упругости, отнесенные к удельному весу мате­ риала). Как следует из табл. 1, борное волокно по удельной прочности находится на одном уровне со стекловолокном, но более чем в 5 раз превосходит последнее по удельному модулю.

6

Наиболее высокие характеристики прочности и жесткости имеют нитевидные кристаллы (усы). Под усами подразумеваются йглообраз* ные высокопрочные монокристаллы (из сапфира, карбида кремния, графита, олова и т. д.) с большим отношением (150 ... 2500) длины кдиаметру. Нитевидные кристаллы, например, графита имеют наиболь* шие из известных величин a jy и Ely (табл. 1). Причины высокой

Таблица 2

гладкостью их поверхностей. Применение нитевидных кристаллов в качестве арматуры позволяет создавать композиции, потенциально более прочнее любых современных сверхпрочных сплавов. В табл. 2 [124] приведены данные о прочности наполненных усами полимеров в сравнении с пластиками, армированными высокопрочным непрерыв­ ным волокном из Е-стекла.

В качестве связующих (матриц) для производства высокопрочных композиционных материалов используются термореактивные смолы (эпоксидные, полиэфирные, фенольные, кремнийорганические, мела­ миновые). Они имеют хорошие механические, высокотемпературные и электрические свойства, а также хорошую водостойкость. В табл. 3 приведены обобщенные данные о типичных диапазонах изменения

9

свойств эпоксидных и полиэфирных смол, обусловленных их химиче­ ским типом и выбором отвердителей. В настоящее время из компо­ зиционных материалов, состоящих из высокопрочных волокон (стек­ ла, бора и т. д.) на основе эпоксидных, полиэфирных и других смол изготовляются корпуса ракетных двигателей, судов [124], архитек­ турные и строительные материалы.

§ 2. Специфические особенности конструкционных композиционных материалов

Широкое применение армированных материалов в различных областях современной техники потребовало всесторонне обоснованных методов к расчетам на устойчивость элементов конструк­ ций, выполненных из новых материалов, для которых пределы при­ менимости классических теорий особо важно установить. Основной особенностью новых композиционных материалов являются анизот­ ропия их деформативных свойств и низкая сдвиговая жесткость. Как показано в работах [4, 115, 127...129], для реальных конструкций из ориентированных стеклопластиков отношения модуля Юнга к мо-

Для композиционных материалов с более жесткими и прочными во­ локнами (боропластик, углепластик, композиции, армированные ни­ тевидными кристаллами) наиболее часто встречающаяся конструкци­ онная специфическая особенность (слабое сопротивление сдвигу) еще более усугубляется. В табл. 4 1127] приведены типичные соотноше­ ния, характеризующие сопротивление армированных пластиков меж­ слойному сдвигу и сжатию перпендикулярно к волокнам. Данные по­ лучены при испытаниях армированных пластиков с различной уклад­

Известно, что для материалов с волокнистой и слоистой структурой сдвиговая жесткость и прочность, а также свойства в направлениях, перпендикулярных к армированию, определяются в основном свой-

10