книги / Проектирование и исследование идентификационных моделей управляющих систем реального времени

Система является идентифицируемой, если по вектору переменных состояний можно определить параметры модели.

Пусть описание системы представлено в терминах пространства состояния

Y(t) = CX(t) + DU(t),

где X(t) – вектор внутренних (динамических) переменных; U(t) – вектор входных переменных;

Y(t) – вектор выходных переменных;

A– матрица коэффициентов системы;

B– матрица входа системы;

C– матрица выхода системы;

D– матрица обхода системы.

Управляемость, наблюдаемость и идентифицируемость системы определяют по следующим критериям:

Система будет управляемой тогда и только тогда, когда матрица управляемости имеет ранг n, где n – порядок системы (т.е. порядок вектора состояния X(t) ):

My = [B AB A2B …An−1B],

(2.40)

rank (My ) = n.

Система будет наблюдаемой тогда и только тогда, когда матрица наблюдаемости имеет ранг n, где n – порядок системы (т.е. порядок вектора состояния X(t) ):

Mн = [CT AT CT (AT )2 CT …(AT )n−1CT ], (2.41) rank (Mн) = n.

Система будет идентифицируемой тогда и только тогда, когда

51

2.4.5. Идентификация линейной регрессионной модели

Наиболее распространенным методом оценивания параметров, служащим базовым подходом к параметрической идентификации, является метод наименьших квадратов (МНК). Задача состоит в следующем: по имеющимся выборочным данным наблюдений за входным и выходным сигналами требуется оценить значения параметров, обеспечивающих минимум величины функционала невязки между модельными и фактическими данными:

представляет собой разность между выходом исследуемого объекта Y и реакцией, вычисленной по математической модели объекта Ym . Не-

вязка складывается из неточностей структуры модели, погрешностей измерений и неучтенных взаимодействий среды и объекта. Однако независимо от происхождения возникающих ошибок МНК минимизирует сумму квадратичной невязки значений.

Впринципе МНК не требует никакой априорной информации

опомехе, но для того, чтобы полученные оценки обладали желательными свойствами, будем предполагать, что помеха является случайным процессом типа белого шума,

Важным свойством оценок по МНК является существование только одного локального минимума, совпадающего с глобальным. Поэтому

оценка Am является единственной. Ее значение определяется из условия экстремума функционала (2.43):

Оценивание линейной системы по методу наименьших квадратов называется линейным регрессионным анализом благодаря линейному оператору модели.

Рассмотрим основы линейного регрессионного анализа для оценивания параметров одномерных и многомерных линейных статических систем [11, 18, 24].

52

На рис. 2.14 представлены линейная статическая система, имеющая n входов U и один выход y .

Рис. 2.14. Схема одномерной системы

Этасистема может быть описана следующим линейным уравнением:

u1

Используя серию измерений величин U = u2 и y в течение оп-

un

ределенного отрезка времени t [t0 , tk ], можно сформировать матрицу измерений величин U и Y следующим образом:

где ui ( j) – значение i-й входной переменной, измеренной в момент времени t j = t0 + j∆ t ;

∆ t – интервал дискретизации, ∆ t= tk − t0 . k

53

Уравнение (2.46) можно переписать в векторно-матричном виде:

идентификации параметра a0 );

Ошибка оценивания, или функция невязки, имеет следующий вид:

Таким образом, наилучшая (в смысле наименьших квадратов) оценка матрицы Am определяется как решение следующего уравнения:

54

Уравнение (2.50) представляет дифференцирование скалярной величины ET E по матрице Am . Используя матричную алгебру, преобразуем выражение (2.50):

Данное выражение и является основой для идентификации на базе линейной регрессии и метода наименьших квадратов.

55

Для того чтобы построенная модель была адекватна объекту, необходимо, чтобы количество измерений k удовлетворяло следующему условию:

Одномерный линейный регрессионный анализ может быть применим и для нелинейных систем. Проиллюстрируем следующим примером.

Пусть система описана квадратичным уравнением

y = a0 + a1x + a2 x2 .

Нетрудно заметить, что уравнение (2.54) применимо для уравнения (2.45) при условии, что u1 = x, u2 = x2 . Тогда матрица U определяется как

Рис. 2.15. Схема многомерной системы

56

Процесс, протекающий в многомерных системах, имеет n входов и m выходов и по аналогии с одномерным процессом может быть описан следующей системой уравнений:

ние определенного отрезка времени t [t0 , tk ] , можно сформировать матрицу измерений величин U и Y следующим образом:

Вычисляем оптимальную оценку матрицы A способом, аналогичным способу для одномерных систем:

∂tr[(Y – Am U)(Y – A m U)T =

∂A m

57

∂ βαT

∂α = β =

∂βαγ = βT γT

∂α

=0 + Am (UUT + (UUT )T − YUT − (I)T (UYT )T =

=Am (UUT + UUT ) − YUT − YUT =

=2AmUUT − 2UXT = 0.

Таким образом, наилучшая в смысле наименьших квадратов оцен-

Рассмотренные выше методы оценивания одномерной и многомерной линейной модели реализуются по явной схеме идентификации, достоинства и недостатки которой были рассмотрены раньше.

На практике целесообразнее применять итерационные методы, т.е. схемы с настраиваемой модели.

Линейный регрессионный анализ может быть реализован в замкнутой схеме идентификации (схеме с настраиваемой моделью).

Итерационные методы идентификации используют методы последовательного уточнения матрицы коэффициентов.

Формула итерационного регрессионного анализа имеет вид

Am (i +1) = Am (i) +[Y(i +1) − Am (i)U(i)][P(i +1)U(i)]T , (2.59)

58

где Am (i +1), Am (i) – оцениваемая матрица коэффициентов в предыду-

щий и текущий моменты наблюдений;

Y(i +1) – вектор выхода, измеренный в текущий момент наблюдений (i +1) ;

U(i) – вектор входа, измеренный в предыдущий момент наблюде-

ний i;

P(i +1) – вспомогательная матрица, определяемая по формуле

Итерационные вычисления осуществляются до тех пор, пока уточнение коэффициентов матрицы Am (i +1) не достигнет заданной точности:

Начальные значения матриц Am (0), P(0) можно определить произвольно, например, так:

A(0) = I,

где I – единичная матрица;

ε– заданная точность оценивания.

2.4.6.Идентификация динамических систем

Воснове идентификации динамических систем, как правило, лежит описание данных систем в виде передаточной функции [4, 11, 17, 25].

Допустим, динамическая система описана передаточной функцией следующего вида:

На основе передаточной функции (2.63) получаем систему дифференциальных уравнений первого порядка из n уравнений:

59

Y (t ) = CX (t ),

где X (t ) – вектор состояния (внутренние динамические переменные); U (t ) – вектор входных переменных;

Y (t ) – вектор выходных переменных.

От дифференциальных уравнений переходим к разностным уравнениям:

Всоответствиис(2.57) и(2.65) матрицаперехода Ф определяетсякак

60