книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

[73]Боль П. Г. Об одном дифференциальном уравнении из тео­ рии возмущений. В кн.: Боль П. Г. Избр. труды. Рига, Издво АН Латв. ССР, 1961, с. 127-154.

[74]Бурбаки Н. Алгебра. Модули, кольца, формы. М.: Наука, 1966.

[75]Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: Гостехиздат, 1947.

[76]Poincare Н. Sur les series trigonometriques. Comptes Rendus, 1885, v. 101, №2, p. 1131-1134.

[77]Арнольд В. И. Малые знаменатели. I. Об отображениях окружности на себя. Изв. АН СССР, Сер. матем., 1961, т. 25, №1, с. 21-86.

[78]Ильин В. А., Поздняк Э. Г. Основы математического ана­ лиза. М.: Наука, 1967.

[79]Hardy G.H. Weierslrass ’.s nondifferentiable function. Trans. Amer. Math. Soc., 1916, v. 17, №3, p. 301-325.

[80]Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975.

[81] Колмогоров А. Н. Общая теория динамических систем и классическая механика. В кн.: Международный мате­ матический конгресс. Амстердам, 1954. М.: Физматгиз, 1961, с. 185 208.

[82]Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плос­ кости. В кн.: Чаплыгин С. А. Избр. труды. М.: Наука, 1976, с. 409-428.

[83]Колмогоров А. Н. О динамических системах с интеграль­ ным инвариантом на торе. Докл. АН СССР, 1953, т. 93, №5, с. 763-766.

[84]Шкловер М. Д. О классических системах на торе с непре­ рывным спектром. Изв. высш. учеб, заведений. Матема­ тика, 1967, №10, с. 113-124.

[85]Каток А. Б. Спектральные свойства динамических сис­ тем с интегральным инвариантом на торе. Функц. ана­ лиз и его прил., 1967, т. 1, вып. 4, с. 46-56.

[86]Kolossoff G. Sur le cas de M. Goriatchoff de la rotation d’ur corps pesant outour d’un point lixe. Rendiconti del circolo Matcmatico di Palermo, 1902, v. 16, p. 346-348.

[87]Marcolongo R. Osservazioni intomo alia nota del sig. Kolossoff. Rendiconti del circolo Matematico di Palermo, 1902, v. 16, p. 349-357.

[88]Докшевич А. И. Элементарное доказательство теоремы Лиувилля об алгебраических интегралах системы урав­ нений Эйлера - Пуассона. Механика твердого тела (респ. межведомств, сборник). Киев: Наукова думка, 1974, вып. 6, с. 48-50.

[89]Докшевич А. И. Об условиях существования четвертого алгебраического интеграла уравнений Эйлера Пуассона.

Механика твердого тела (респ. межведомств, сборник). Киев: Наукова думка, 1976, вып. 8, с. 57-64.

[90]Seifert Н. Periodische Bewegungcn mechanischer Systeme.

Math. Z., 1948. Bd. 51, H. 2, S. 197-216.

Рис. 1. Фазовые портреты

При е = 0 будем иметь интегрируемую систему с одной степенью свободы. Различные типы фазовых портретов изоб­ ражены на рис. 1.

Тип а характеризует область колебательных движений (например, при жесткой восстанавливающей силе). В случае в имеется пара сдвоенных сепаратрис; соответствующие дво­ якоасимптотические решения Пуанкаре назвал гетероклиническими (такой фазовый портрет имеет, например, система Дуффинга при мягкой восстанавливающей силе). Петля сепа­ ратрисы в случае б является траекторией гомоклинических решений (по Пуанкаре). Фазовый портрет такого типа полу­ чится при добавлении квадратичного по х слагаемого в выра­ жение для восстанавливающей силы.

2. П е р и о д и ч е ски е р еш е ни я . Поиску периодических решений уравнения (1.1) посвящена обширная литература. Обычно для этой цели применяют методы теории возмуще­ ний или используют функциональные и вариационные мето­ ды. Ссылки на некоторые наиболее известные работы можно найти, например, в книгах [2, 3]. Укажем также некоторые более поздние работы [4]—[8].

Мы будем рассматривать случай, когда параметр е мал. Для поиска периодических решений уравнения (1.1) можно воспользоваться методом малого параметра, разлагая эти ре­ шения в сходящиеся ряды по степеням е. Представление урав­ нения (1.1) в виде гамильтоновой системы (1.2) позволяет вос­ пользоваться теорией Пуанкаре рождения пар невырожден­ ных периодических решений, развитой им в главах I и III знаменитых «Новых методов небесной механики» [9].

Прежде всего отметим, что критическим точкам потен­ циальной энергии при малых значениях е отвечают невы­ рожденные периодические решения полной системы. Причем, точки локального минимума порождают решения эллиптичес­ кого типа (их мультипликаторы лежат на единичной окруж­ ности), а точки максимума порождают решения гиперболи­ ческого типа (их мультипликаторы вещественные и отличны от 1). Период таких решений равен 27г/А; они часто называ­ ются гармоническими.

Периодические решения в общем случае имеют пери­ од 27га/А (п целое); при этом система совершает ровно т пол­ ных колебаний. Это субгармонические решения типа {т, п}. Числа т и п можно считать взаимно простыми. Существу­ ют ли субгармоники, сколько их и что можно сказать об их устойчивости при малых е ф 0.

Чтобы ответить на эти вопросы, перейдем к переменным действие-угол J, (р mod 27т в невозмущенной системе с одной степенью свободы (см., например, [10]). Нас будет интересо­ вать, в основном, колебательная область на фазовой плоскос­ ти (возможно, ограниченная сепаратрисами), в которой такие переменные можно ввести в целом:

( 2.1)

X

( 2.2)

Из (2.1) получаем, что Н0 = H0(J),

— частота свободных колебаний невозмущенной системы, ко­ ордината х находится из (2.2) обращением интеграла. Напри­ мер, для системы Дуффинга (пример а ) переход к перемен­ ным действие-угол осуществляется с помощью эллиптических функций.

Вновых переменных

Н= H0(J) + eHi(J, ^ t),

(2.3)

Hi = g(J, (p) sin At.

Функция g — это координата x , представленная в переменных действие-угол. Ее можно разложить в ряд Фурье:

g = ' £ s k ( J ) e ik^

k € Z

В невозмущенной задаче резонансные режимы колебаний

Первое уравнение определяет возможные резонансные значения переменной действия.

Метод Пуанкаре основан на анализе возмущающей функ­ ции Hi(J, ip, t) на резонансных решениях (2.4) невозмущен­ ной системы:

t —> Hi (JQ, w(Jo)t + <pi), t).

Это 27г/А-периодическая функция t. Ее временное среднее

Г

0 будет, очевидно, 27Г-периодической функцией начальной фа­

зы (р0. Ввиду периодичности, функция (Hi) имеет локальные максимумы и минимумы. Нас интересуют невырожденные точки экстремума, в которых отлична от нуля вторая произ­ водная. Пуанкаре доказал, что если невозмущенная система невырождена (d2H0/dJ2 ф 0 при резонансном значении J0), то каждой невырожденной критической точке щ усреднен­ ной возмущающей функции (Hi) отвечают периодические ре­ шения (2.4), которые не исчезают при возмущении, а перехо­ дят в невырожденные периодические решения полной систе­ мы (1.2). Их можно представить в виде рядов по степеням е, а их мультипликаторы разлагаются в ряды по степеням у/е.

Пуанкаре изучил также вопрос об устойчивости найден­ ных периодических решений в линейном приближении. Ока­ зывается, если

сРНрd,J2 Ш > О ,

то локальным максимумам и минимумам функции (Hi) отве­ чают соответственно гиперболические и эллиптические пери­ одические решения. Если же вторая производная функции Но отрицательна, то свойства устойчивости меняются местами.

Для возмущающей функции из (2.3), очевидно, (Hi) = О, если т ф 1. Здесь все критические точки вырождены и те­ ория Пуанкаре непосредственно не применима. Пусть т = 1. Тогда

(Hi) = asinn^o + bcosrupo-

Все критические точки этой функции невырожденные, если gn ф 0 и п ф 0. Действительно, пусть ip — вырожденная критическая точка. Тогда

d(Hi)

па cos ntp — nb sin ntp = 0,

dtp

d2(Hi)

—n2a sinпф —n2bcosntp = 0.

dtp2

Но тогда определитель этой линейной системы —п3(а2 + Ъ2) должен быть равен нулю. Но это не так, согласно нашему пред­ положению.

Таким образом, если gn ф 0, то 27Г-периодическая функ­ ция (2.5) имеет на периоде ровно п невырожденных максиму­ мов и п невырожденных минимумов, которые перемежаются между собой. Если невозмущенная система невырождена, то

каждая такая точка порождает периодическое решение воз­ мущенной системы типа {1, п}. На самом деле разные точки локального максимума (минимума) отвечают одной и той же периодической траектории; они соответствуют лишь различ­ ным значениям начальной фазы щ . Итак, если gn ф 0, то при малых значениях е возмущенные уравнения (1.2) имеют два 27ш/1-периодических решения, причем одно из них эллипти­ ческое, а другое — гиперболическое. Гиперболические реше­ ния, конечно, неустойчивы по Ляпунову. Достаточные усло­ вия устойчивости по Ляпунову эллиптических периодических решений Пуанкаре получены в работе [11] с помощью КАМ-те- ории. Эти условия выполнены в ситуации общего положения.

Применим эти результаты к уравнениям Дуффинга. Сна­ чала рассмотрим систему из примера а. Прежде всего дока­ жем, что при а ф 0 невозмущенная система невырождена. Более точно, знак второй производной cPHo/dJ2 совпадает со знаком коэффициента а в выражении для восстанавливающей силы. Кстати сказать, при а ф 0 эта система тождественно вырождена.

Дифференцируя равенство (2.1) по J, получим формулу для частоты:

dx

J 2[H 0 -V (x)\

Она имеет простой смысл: в знаменателе стоит выражение для периода колебаний. Период Т есть функция от энергии HQ. Дифференцируя (2.6) по J, приходим к соотношению

d2Ир = _ Ъ xjxdT_

Поскольку ш > 0, то вторая производная имеет знак про­ тивоположный знаку dT/<Шо•Воспользуемся результатом ра­ боты [12]: если функция