книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

ПРЕДИСЛОВИЕ

Задача о движении тяжелого твердого тела вокруг непо­ движной точки наряду с задачей трех тел является одной из самых знаменитых задач динамики.

Замечательны эти задачи тем, что являются непосред­ ственным обобщением задач, решаемых до конца простыми средствами классического анализа, и обе представляют столь большие трудности, что еще далеки от завершения, несмотря на глубокие результаты, полученные крупнейшими матема­ тиками и механиками двух последних столетий — Эйлером, Лагранжем, Пуассоном, Ковалевской, Пуанкаре, Ляпуновым и др. Задача трех тел представляет прямое обобщение задачи о движении двух тел под действием сил притяжения, блестя­ ще решенной еще Ньютоном. Аналогично, задача о движении твердого тела с закрепленной точкой является естественным обобщением интегрируемой задачи о качании физического ма­ ятника.

В истории этих классических задач можно найти много общего как в характере полученных результатов, так и в пу­ тях применения математического аппарата. Приведу некото­ рые, на мой взгляд, наиболее существенные параллели.

1.Исследования С. В. Ковалевской в динамике твердого тела и К. Зундмана в задаче трех тел, где время считается комплексной переменной. Цели введения комплексного пере­ менного у Ковалевской и Зундмана различные, однако их ме­ тоды объединяет идея, состоящая в том, что исследование комплексных особенностей дает важную информацию о по­ ведении действительных решений.

2.Результаты Брунса и Пенлеве в задаче трех тел и Пу­ анкаре, Лиувилля, Гюссона в динамике твердого тела, касаю­ щиеся отсутствия новых алгебраических интегралов.

3.Отыскание стационарных решений и исследование их устойчивости. В небесной механике это точки либрации,

12 Предисловие

а в динамике твердого тела с неподвижной точкой — перма­ нентные вращения.

4. Нахождение частных решений и интегрируемых слу­ чаев: томографические решения в задаче трех тел и общие (а также многочисленные частные) случаи интегрируемости в динамике твердого тела. Задача о вращении тяжелого твер­ дого тела вокруг неподвижной точки намного богаче интег­ рируемыми случаями, и она в этом смысле «ближе» к интег­ рируемой, чем задача трех тел. А это приводит к тому, что сложнее доказать ее неинтегрируемость.

Правда, в целом задаче трех тел «повезло» все же больше: начиная с исследований А. Пуанкаре, эта задача и разнообраз­ ные ее варианты постоянно были первоочередным объектом приложения теоретических новинок. Так, например, создан­ ный недавно С. Смейлом общий метод топологического анали­ за натуральных систем с симметрией был апробирован им на задаче трех тел, и только впоследствии аналогичные резуль­ таты были получены рядом авторов в динамике твердого тела с учетом специфики этой задачи.

Таким важным проблемам, возникшим в небесной ме­ ханике, как вопросы существования новых аналитических (а не только алгебраических) первых интегралов, отыскание периодических решений с помощью метода малого парамет­ ра А. Пуанкаре и методов вариационного исчисления в целом, расщепление сепаратрис, в динамике твердого тела не было уделено должного внимания.

Правда, есть ряд работ, посвященных нахождению перио­ дических решений методом малого параметра (см., например, обзорную статью [37]). Однако эти работы не исчерпывают всех возможностей, которые даст метод А. Пуанкаре.

Все только что перечисленные задачи нашли свое отра­ жение в этой книге. Кроме этого, рассмотрена задача Пенлеве о связи между неоднозначностью (в смысле теории функций комплексного переменного) общего решения и несуществова­ нием новых однозначных первых интегралов, а также исследо­ ван ряд математических задач, возникающих при качествен­ ном анализе наиболее сложных случаев интегрируемости Ко­ валевской и Горячева-Чаплыгина. Последние группируются

вокруг идеи равномерного распределения и проблемы «малых делителей», также зародившихся в небесной механике.

К каждой главе написан исторический очерк, в котором кратко рассказано об истории рассмотренного круга вопросов и об основных относящихся сюда результатах.

Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом аналитической механики (в частности, с основными факта­ ми динамики твердого тела). Достаточно, например, знаком­ ства с учебником В. И. Арнольда «Математические методы классической механики» (М.,«Наука», 1974). При изложении материала часто используется известная теорема Лиувил- ля-Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах, а также связанные с ней идеи и понятия, такие, как инвари­ антные торы, квазипериодические движения на торах, усред­ нение и т. д.

Содержание настоящей книги составили результаты, по­ лученные автором в 1971-1977 гг. Я считаю своим дол­ гом выразить благодарность чл.-кор. АН СССР профессору В. В. Румянцеву и профессорам В.И.Арнольду, В.М.Алексееву и Ю. А. Архангельскому за их внимание и советы, которыми я многократно пользовался.

В. Козлов

Г л а в а I

Несуществование аналитических интегралов канонических систем, близких к интегрируемым

§1. Обобщение теоремы Пуанкаре об отсутствии аналитических интегралов

Предположим, что прямое произведение двумерного тора Т 2{<^1, <^2 mod 2ж} на связную ограниченную область D плос­ кости R 2{ /|, / 2} снабжено естественной канонической струк­ турой — невырожденной 2-формой dI\Adip\+dl2 Adip2- Пусть на множестве D x T 2 x (—е, е) задана аналитическая функция

Ж(1, <р, ц) = Ж0(1) + цЖ1(I, <р) + . . . ,

I = { h , h ), ¥> = (¥>!, Ы -

Функции Жк(1, (р) (к = 0, 1, 2 ... ) аналитичны в D х Т 2. Согласно А. Пуанкаре [1, п. 13], исследование каноничес­

ких уравнений

с гамильтонианом вида (1Л) является «основной проблемой динамики».

Система канонических уравнений с функцией Гамильто­

на

Ж0{1) = Ж (1, ip, 0)

называется невозмущенной. Она немедленно интегрируется:

Четырехмерное фазовое пространство В х Т 2 невозмущенной системы расслаивается на двумерные инвариантные торы

Угловыми координатами на этих торах являются р\ и р2. Пе­ ременные I «нумеруют» инвариантные торы (1.2). Каноничес­ кие координаты I, р называются переменными действие-угол интегрируемой системы с гамильтонианом Жо-

Формулы

ip! = Wit + ipi, ip-2, = W2t + ipl

задают на торах (1.2) квазипериодические движения с двумя частотами и и>2. Если на инвариантном торе 1 = 10 час­ тоты соизмеримы (несоизмеримы), то такой тор называется резонансным (нерезонансным).

Функция <#д(/, ip) называется возмущающей (пертурба­ ционной). Разложим ее в сходящийся двойной ряд Фурье:

(h , h ) £ D, удовлетворяющих следующим условиям:

1)miU)i(I) + m,2w2(I) = 0, mi, ш2 £ Z;

2)\mi\ + |ш2|ф 0;

3)Hmim2(I) ф 0.

Под вековым множеством мы будем понимать также мно­ жество всех резонансных торов в фазовом пространстве невоз­ мущенной задачи, отвечающих переменным действие I £ ёё. Из текста всегда будет ясно, о каком множестве идет речь.

Обозначим через А(М ) класс функций, аналитических в области М С R ".

Определение 2. Множество N с М называется ключе­ вым множеством для класса А(М ), если для любой функции / из А(М ), равной нулю на N, справедливо равенство / = 0 во всей области М.

Пусть область G плоскости R 2{ / I , 12} является подоблас­ тью D и G С D.

Поскольку |mi| + \m2\ф 0, то из равенств (1.4) и (1.5) следует

(|mi| + \т2\ф 0) определяет в D регулярную аналитическую кривую без особых точек. Следовательно, в предположениях

состоящем из аналитических кривых (1.6), на которых соот­ ветствующие коэффициенты Hmim2{I) не обращаются в тож­ дественный нуль;

2) S8DG является ключевым множеством для класса A(G) тогда и только тогда, когда ключевым является множест­ во П G.

18 Глава I

Лемма 2. В предположениях теоремы 1

1) множество Sft'nG состоит из бесконечного числа ана­ литических кривых, лежащих в области G;

2) для любого д < до (д > 0) существует круг Kg радиу­ са д, целиком лежащий в D, такой, что 3$' П Kg — ключевое множество для класса Л(Е), где Е С D — любая окрестность множества Kg.

Доказательство.

1. Предположим противное, т. е. множество 3B'(~\Gсостоит из конечного числа аналитических кривых

■m[k)u>i + m ^u)2 = 0; k = l, ... ,п .

ках. Из этого бесконечного покрытия можно выбрать ко­ нечное подпокрытие. Действительно, заменяя круги Kg их внутренностями Int, Kg, получим открытое покрытие мно­ жества G. Так как G компактно, то по теореме Гей­ не-Бореля из этого открытого покрытия можно выбрать ко­

ит из бесконечного числа регулярных аналитических кривых вида (1.6). Докажем, что множество & П Kg (Kg = Kg*^) яв­ ляется ключевым для класса аналитических функций А(Е), где Е С D — любая окрестность круга Kg. Так как якобиан

в области D, то при малых значениях S > 0 в некоторой окрестности круга Kg аналитической обратимой заменой пе­ ременных можно ввести новые координаты /{, 1'2 по формулам

I [ = u i ( I u b ) , I'2 = u 2{Iu h ).

В плоскости переменных 1[, 1'2 круг Kg является некоторым выпуклым множеством K's, а кривые (1.6) суть прямые линии

Заметим, что свойство множества быть ключевым не зависит от выбора системы координат. Так как |^i(/)| + |^2(7)| ф 0 в круге Kg, то множество K's не содержит точку 1[ = 1 2 =0. Следовательно, прямые (1.7) либо совпадают, либо не име­ ют точек пересечения в K's. Бесконечное множество различ­ ных прямых 1'т т имеет некоторую предельную прямую ли­ нию V. На рис. 1 изображены возможные случаи расположения прямых V и l'mim2.

Пусть f(I') — функция, аналитическая в некоторой окрестности К'5 и обращающаяся в нуль на прямых Vm т . Обозначим через f\L сужение функции / на прямую L (см. рис. 1). Так как нули аналитической функции /\ь имеют предельную точку, лежащую внутри ее области аналитичнос­

Лемма 3. Пусть выполнены условия теоремы 1 и предпо­ ложения леммы 1. Тогда существуют достаточно малое S > 0 и выпуклая область Е С D, Е С D, Kg С Е, такие, что

1)в области Е справедливо равенство Зо = 3(Жо), где 0?.(х) — функция, аналитическая в интервале (S', 8"), 8' =

=ттЖо, 8" = тахЖо (S' < 8");

ЕЕ

2)существуют s' > е и выпуклая область Е' С Е, Е С Е, Kg С Е ', такие, что функция

(3 - 3 ( Ж ) ) / р

является первым интегралом канонической системы уравне­ ний с гамильтонианом (1.1), аналитическим в прямом произ­ ведении Е' х Т 2 х ( s ' , s').

Доказательство.

1. Так как в области D нет критических точек функ­ ции Жо (I), то при малых 8 > 0 в некоторой выпуклой окрестности Е круга Kg отлична от нуля одна из производ­ ных дЖо/dIi, дЖо/дЕ- Пусть, например, дЖо/dIi Ф 0. Мно­ жество Е выпукло,следовательно, равенство

Жо = . W i , Е )

можно разрешить относительно Е-

h = h (Ж0, 12).

Рассмотрим аналитическую функцию

Зо(Жо, Е) = Зо(Е(Жо, Е), Е)-

Так как Жо и Зо зависимы, то нетрудно доказать, что Зо не зависит от Е (СР- с [1, гл. V]). Итак, 3 0 = 3.(Жф), где З.(х) — аналитическая функция, определенная в интервале (h', h"),

2. При малых значениях параметра р функция З.(Ж) аналитична по переменным I, в области Е' х Т 2, где Е' — выпуклая подобласть Е, Е С Е, Kg С Е'. Так как 3 — первый интеграл канонической системы уравнений с гамиль­ тонианом (1.1), то такова же и разность