книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

§1. Разделение переменных в случае Горячева - Чаплыгина 151

Уравнения (1.5) полностью аналогичны уравнениям С. В. Ко­ валевской, полученным при исследовании найденного ею слу­ чая.

Если с самого начала мы рассмотрим каноническое пре­ образование с производящей функцией

S(l, g, Pi, Р2 ) = (/ + g)pi - { l - g ) p - 2

и проделаем все необходимые вычисления, то получим вместо

= CI\/2. Тогда в новых переменных и, v уравнения (1.6) при­ мут вид

Эта система уравнений совпадает с уравнениями С. А. Чаплы­ гина [36]. Действительно,

Именно с помощью этих соотношений С. А. Чаплыгин вводил свои переменные. Наш вывод уравнений (1.7) проясняет гео­ метрию виртуозных аналитических вычислений С. А. Чаплы­ гина, причем попутно мы получили более симметричную сис­ тему (1.5).

З а м еч ан и е. Г. В. Колосов давно нашел комплекснозначное ка­

ноническое преобразование, не включающее параметр А. Пуанкаре, которое разделяет переменные в случае Горячева-Чаплыгина [86]. В этой же работе им получены уравнения вида (1.5). Эти уравнения были затем выведены Марколонго способом С. А. Чаплыгина [87].

Однако преобразование Г. В. Колосова содержит комплексные ве­ личины, что сильно затрудняет применение его результатов при исследовании действительных движений волчка Горячева-Чаплы­ гина.

§ 2. Динамические системы, возникающие на инвариантных торах задачи

Горячева-Чаплыгина

Переменные Эйлера-Пуассона р, q, г, 71, 72, 73 для сим­

метрии формул будем всюду обозначать соответственно че­ рез х \, ж2, ЖбУравнения ЭйлераПуассона в случае Го­

рячева-Чаплыгина можно привести к виду [30]:

Здесь v = P r / C , Р —вес тела, г — расстояние от центра масс до точки подвеса, С — момент инерции относительно

оси динамической симметрии. Эти уравнения имеют четыре независимых интеграла

Обозначим через Е { 1\, / 2) совместные уровни четырех интег­

ралов (2.1) в шестимерном фазовом пространстве уравнений Эйлера-Пуассона. Всюду ниже рассматриваются только та­ кие постоянные интегралов Ii и / 2, при которых функции (2.1) независимы на E (I i, / 2)- В частности, исключаются случаи, когда Ii = 12 = 0 . Остальные постоянные образуют множест­ во нулевой меры. Если интегралы (2.1) независимы, то Е — гладкое двумерное многообразие. На Е естественным образом возникает классическая динамическая система [6]: {Е , gE, <т), где glE — сужение на многообразие Е однопараметрической

группы сдвигов по траекториям уравнений Эйлера Пуассона,

а — жорданова мера на Е, инвариантная относительно g*Е (ее существование вытекает из теоремы Якоби о последнем мно­ жителе [36]). Задачей настоящего параграфа является изуче­ ние таких систем.

Сначала исследуем топологические свойства многообра­ зия Е. На Е нет особых точек системы дифференциальных уравнений Эйлера-Пуассона. Действительно, особые точки отвечают стационарным вращениям (или относительным рав­ новесиям) тела. Нетрудно проверить, однако, что на этих ре­ шениях интегралы энергии и момента зависимы. А такие слу­ чаи здесь условились не рассматривать.

Многообразие Е ориентируемо. Значит, каждая связная компонента Е является двумерным тором (как всякое связ­ ное, ориентируемое, компактное двумерное многообразие, до­ пускающее касательное векторное поле без особых точек; см., например, [62]).

Естественно поставить вопрос о количестве связных ком­ понент многообразия Е. Частичный ответ на этот вопрос дает

Лемма 1. Если v мало, то Е — объединение двух торов.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть сначала v = 0. Тогда совместные уровни функ­ ций Ii и I2 в трехмерном пространстве К 3{ж1, Ж2, Ж3} — две окружности Sj (г = 1, 2), лежащие в разных плоскостях хз = = const. Каждой точке {ж^, ж®, ж®} на Si (г = 1, 2) соответ­ ствует окружность, высекаемая на сфере Пуассона

{х\ + х\ + х% = 1}

интегралом площадей

4 ( ж ?Ж 4 + Ж2 Ж5 ) + ж®Жб = 0 .

Так как положение этой окружности непрерывно зависит от точки {ж^, ж®, ж®}, то при v = 0 многообразие Е состоит из двух связных компонент. Если v ф 0, но мало, то по теореме Морса [45] совместные уровни будут диффеоморфны уровню при v = 0 и, следовательно, иметь столько же компонент связ­ ности.

З а м еч а н и е . Будем увеличивать и. Тогда, по той же теореме

Морса, количество связных компонент может измениться только тогда, когда интегралы (1.1) станут зависимыми.

На каждом двумерном инвариантном торе Т 2 можно вы­ брать угловые переменные уч, ip2 mod 2п, в которых уравне­ ния движения имеют вид

где из\, ш2 — постоянные, зависящие от 1г и 12. Уравнения (2.2) задают на Т 2 условно-периодическое движение с двумя часто­ тами Wi и ш2. Для их вычисления воспользуемся переменны­ ми «1, s2, которые связаны с переменными Эйлера Пуассона следующим образом:

ж3 = Si + s2, 4(ж? + х\) = -S !S 2.

Переменные Эйлера Пуассона можно выразить через si, s2, воспользовавшись интегралами (2.1). В § 1 показано, что в но­ вых переменных уравнения движения приобретут вид

Переменные si и s2 изменяются в интервалах [oi, t>i] и [a2, b2], где многочлен Ф(^) ^ 0. Если I2 ф 0, то пересечение [oi, t>i]fl П[а2, Ь2] пусто. В противном случае переменные si и s2 могут совпадать, а так как sis2 ^ 0, то при некоторых начальных данных на Т 2 имеет место равенство si = s2 = 0. Следова­ тельно, х\ = х 2 = ж3 = 0 и 1 2 = 0.

Числа сц, bi (i = 1, 2) — простые корни многочлена Ф(г), так как в противном случае на соответствующем инвариант­ ном торе существовали бы асимптотические движения. Но этого быть не может в силу предположения о независимости интегралов (2.1).

Пусть начальные условия для si, s2 лежат внутри интер­ валов [oi, bx] и [а2, Ь2], и в начальный момент времени оба ра­ дикала в уравнениях (2.3) положительны. Предположим для

определенности, что s\ ^ н2. Тогда в последующие момен­ ты времени переменные .Ч| и л‘2 возрастают. Это будет про­ исходить до тех пор, пока si(s2) не достигнет 61(62) — корня многочлена Ф(,г). Заметим, что это произойдет за конечный промежуток времени, так как интеграл

С*

f dz

J у/Щ)'

ZO

где а — простой корень Ф{z) — сходится. Пусть, например, si достигло значения 61. Тогда радикал в первом уравнении (2.3) меняет знак, и в последующие моменты времени Si убывает. Это происходит опять до тех пор, пока Si(s2) не достигнет корня многочлена Ф(^). И так далее.

Введем угловые переменные фх, ф2 mod 2лпо формулам

oi

ds

Ч

Чv w y

Вновых переменных уравнения (2.3) запишутся следующим образом:

(2.5)

2Ti[si(ipi) - S2(i>2)V

где Sj(z) — действительные гиперэллиптические функции с периодом 27г, определяемые из соотношений (2.4). Уравне­ ния вида (2.5) часто встречаются при исследовании интег­ рируемых динамических систем, и поэтому мы рассмотрим некоторые общие свойства таких уравнений, заданных на п- мерном торе T n{</i, ... , qn mod 27г}:

Без ущерба общности можно считать все А* отличными от

нуля. Положим

27Г 27Г

/ ' ( • 1, , qn)dqi ... dqn.

оо

Теорема 1. Предположим, что существует аналити­ ческое (гладкое) решение R(qi, ... , qn) уравнения в частных производных

периодичное no каждому аргументу с периодом 2п. Тогда су­ ществует обратимая аналитическая (гладкая) замена пере­ менных </ —» /р, приводящая систему (2.6) к виду

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Покажем, что такой заменой является аналитическое (гладкое) преобразование

п - qi + -£R(qi, •••, qn), i = l, n. (2.7)

то замена переменных (2.7) невырождена.

Пусть, например,

п

i=i

где fi (х) — периодические функции с периодом 2п. В этом случае функция R существует и равна

Уравнения (2.8) определяют на T 2{tpi, <р2 mod 2п} услов­ но-периодическое движение. Отношение частот (число враще­ ния) равно 7 = r i/тг, т. е. отношению периодов гиперэллиптического интеграла

/ч»

J

ZO

Число вращения 7 зависит, конечно, от 1\ и I2. Эта функция непостоянна, по крайней мере, при малых значениях парамет­ ра и.

§ 3. Задача о собственном вращении

Будем исследовать движение тела в углах Эйлера $, tp, ф. Очевидно, что xi, Ж2, •••, -те — условно-периодические функ­ ции времени. Так как cos$ = и 0 ^ ё 7Г, то функция $(£) тоже условно-периодична.

Лемма 2. Если в начальный момент времени h u 2 < Щ , то существует е > 0 такое, что при всех t £ R

{уф 0). Отсюда х 2 = Zi /4 —1%/п2. Следовательно, если в не­ который момент времени на Е выполнено равенство |жб| = 1, то 1\Р2 4> 4 Так как множество Е компактно, то в условиях леммы при некотором е > 0 справедливо неравенство (3.1).

З а м еч ан и е. Если I \ V 2 4 /| . то при н екоторы х начальных данных, удовл етворяю щ их этом у неравенству, ось динам ической сим м етрии занимает вертикальное положение.

Будем использовать следующую терминологию (ср. с [17, 63]). Величина £(t) обладает средним движением А = const, если для всех t £ R

т= At+ 0 (1).

Величина £(t) обладает главным движением А, если £(t) =

=At + o(t) при t —> оо, т. е.

т- At

Предложение 1. Пусть выполнены условия леммы 2. Тогда собственное вращение обладает средним движением.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как 1 —х 2 > е > 0 для всех t, то

iip _ ЗСЬ “t"

\/1 —

есть двухчастотная условно-периодическая функция времени. По теореме Боля об аргументе [64]

ср = (miwi + m2bj2)t + f{t),

где mi, m2 — целые числа, a f условно-периодична по /,. Сле­ довательно, р = Xt + 0 (1). ■ Если в некоторый момент времени t = t' выполняется равенство х\ = 1, то формально угол р не определен. В этом случае можно поступить следующим образом. Известно, что

Раскрывая неопределенность по правилу Лопиталя, когда / i /О , получим

Тогда функция p{t) будет определена и непрерывна при всех

— оо < t < 0 0 .

Эти рассуждения указывают на целесообразность изуче­ ния собственного вращения даже в том случае, когда ось сим­ метрии может занимать вертикальные положения.

Теорема 2. Пусть Д ф О, I\v2 ф 4/| . Если при заданных постоянных интегралах /i, /2 частоты и и>2 соизмеримы, то собственное вращение обладает средним движением. Ес­ ли и и>2 несоизмеримы, то собственное вращение обладает главным движением, зависящим только от Д , / 2.

До к а з а т е л ь с т в о .

Всилу предложения 1 достаточно рассмотреть случай, когда /| /у2 > 4/| . Если отношение wi/w2 рационально, что ф —

непрерывная периодическая функция времени (в точках, где х\ = \, функция ф полагается равной / 2/ 2/ 1). Следова­ тельно, в этом случае р = Xt + 0 (1).

Пусть теперь отношение W1/W2 иррационально. Рассмот­ рим на Т 2{у>1, р 2 mod 27г} окружность S1 = {{p i, рф) € Т 2 :

ц>1 = V5?}- Переменная ip2 mod 2ж является угловой перемен­ ной на S1. Определим на прямом произведении S1х [0, 2ж/ш\\ функцию

<

F{<p2,t) = J $(uiT + (p°, u2T+ip2)dT, ^ e S 1, tG[0, 27T/ CJI].

о

рациональной обмотке из точки р 2) £ S1, снова вернется на S'1. Докажем, что /(у>2) интегрируема по Риману.

Если /(<^2) имеет разрыв в точке (р2 = (р'2, то траектория + <рЧ, uj2t + <р2), 0 ^ t ф 2ж/и)х проходит через точки на Т 2, где х\ = 1. Таких точек четыре, поэтому f((p2) может

иметь только конечное число точек разрыва. Следовательно, достаточно доказать ограниченность этой функции. Докажем, что F(ip2, t) ограничена на S 1 х [0, 2ж/шх\.

Рассмотрим поведение угла ip, когда точка m(t) — (wit + + <Pi, uj2t + (p2) находится вблизи точек ах, ... , а±, где ж| = 1. Так как Iiv 2 ф 412, то якобиан

d(h, / 2, /з, Д) д{хх, х 2, ж3, ж6)

отличен от нуля в точках а\, ... , GO£ Т 2. Следовательно, в ма­ лых окрестностях этих точек можно принять переменные Х4 и а?5 за локальные координаты на Т 2, и переменные хх, х 2, хз и *5 — однозначные аналитические функции от X4 и Ж5.

Рассмотрим дифференциальные уравнения Пуассона

где вместо Хх, х 2, Хз и х$ подставлены их выражения через Х4 и Ж5. Так как 1х ф 0, то уравнения (3.2) не имеют особых точек вблизи ах, ■■■, со­

существуют достаточно малые окрестности Щ точек сц такие, что, когда m(t) EUi, то колебание функции F((p2, t) не превосходит 2тг.