книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике

Очевидно, что предложение М. Лазя применимо и к уравне­ ниям, которые уже содержат параметр. Для них такой подход по­ зволяет организовать шаговый процесс по параметру для построения множества решений в интересующем нас интервале значений параме­

тра ро < Р < Рк- Обозначим через xjjj = x^\pi) приближенное значение искомого решения = ®(р,) на j -м шаге итерационного процесса метода Ньютона—Рафсона при р = р;. Тогда предложенный М. Лаэем процесс построения решения уравнения (1.1) при переходе от р,-_| к р< можно записать в виде

(0)

*(.•) “ *(<-«)>

ся главный для метода продолжения решения принцип: использовать на каждом шаге информацию о решении, полученную на предыдущем шаге (предыдущих шагах). С этой точки зрения несущественно ста­ новится использование для итерационного уточнения решения именно метода Ньютона—Рафсона. Возможна реализация шаговых процессов по параметру с применением и других итерационных процессов. Нап­

Ньютона и т. п.

Шаговые процессы по параметру с итерационным уточнением реше­ ния на каждом шаге будем называть дискретным продолжением решения.

Другую форму метода продолжения решения по параметру предло­ жил Д.Ф. Давиденко [20, 21] (1953 г.). Он, по-видимому, был первым, кто осознал процесс продолжения решения как процесс движения и при­ менил к нему адекватный математический аппарат дифференциальных уравнений. Продифференцировав исходную систему (1.1) по параметру и учитывая исходное решение Х(0) = х(ро)> он сформулировал задачу

12 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

отыскания множества решений системы (1.1), как задачу Коши для сис­ темы обыкновенных дифференциальных уравнений

Систему уравнений этой начальной задачи мы будем называть урав­ нениями продолжения в неявной форме.

Для нее уравнение (1.1) является полным интегралом, удовлетворя­ ющим условию F(x(0),po) = 0.

Система (1.6) линейна относительно производных dx/dp, и в со­ ответствии с известными теоремами существования и единственности (см., например, [52]) решение задачи (1.6) существует и единственно во всем интервале изменения ее аргумента — параметра р , в котором якобиан det J отличен от нуля. Более того, это решение является не­ прерывной и дифференцируемой вектор-функцией, и по построению является кривой К множества решений системы (1.1) в пространстве

Rn+1 : {х,р}, проходящей через точку (х(о),Ро)-

Более того, в этом же интервале изменения р, где det(J) Ф 0, система ОДУ (1.6) может быть сведена к нормальной форме Коши, для которой соответствующая системе (1.6) начальная задача имеет вид

Систему уравнений этой задачи назовем уравнениями продолжения в нормальной форме.

Такой подход открывает возможности использования для построения решения х(р) различных и хорошо исследованных схем интегрирования начальных задач. Простейшая из этих схем, схема метода Эйлера, при­ водит к следующему алгоритму

где Ар -Pi+i - р{, F p = dF/др.

Без труда можно построить алгоритмы других схем, имеющих более высокий порядок точности, таких, как модифицированный метод Эйле­ ра, методы Рунге—Кутта, Адамса—Штермера и др. Эти схемы в рамках метода продолжения решения по параметру исследовались и использо­ вались в статьях [21, 22, 101, 102, 75] и в целом ряде других работ.

Покажем, что шаговые процессы с итерационным уточнением ре­ шения, подобные процессу М. Лазя (1.5), также могут быть связаны со схемами интегрирования начальной задачи для уравнений продолже­ ния (1.7). Для этого решение начальной задачи на каждом шаге по р представим в виде

Это соотношение может быть рассмотрено как нелинейная неявная разностная схема, которая включает новое неизвестное р, и потому должна решаться совместно с уравнением (1.1), что делает ее прямую реализацию нерациональной. Но на основе приближенного представле­ ния выражения -(1.10) можно получить самые различные разностные схемы. Так, при р = Pi получаем явную схему Эйлера (1.8). Методы построения других явных разностных схем на базе различных формул численного интегрирования соотношения (1.9) рассмотрены, например, в книге Н. С. Бахвалова [5].

Положим в выражении (1.10) J(x(p),p) и J(x^, pj+i) и используем

В результате, с учетом того, что -Р(®(,),р<) = 0, получаем из (1.10) соотношение, которое совпадает с одним шагом метода Ньютона—Раф- сона

*(<+1) = ®(<) “ Pi+l)F (x(i),Pi+l) + 0(Др2). (1.12)

Тогда алгоритм шагового процесса построения решения х(р), осно­ ванный на этом соотношении и на выборе в качестве начального при­ ближения решения ®(р,-), полученного на предыдущем шаге, в точности совпадает с алгоритмом М. Лаэя (1.5).

Таким образом, алгоритмы, названные в книге [17] непрерывным и дискретным продолжением, сводятся к интегрированию задачи Ко­ ши (1.7) с помощью явных и неявных схем, соответственно.

Отметим здесь еще одну, установленную М. К. Гавуриным [13], интересную возможность использования метода продолжения решения

14 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

по параметру для организации итерационного процесса решения не­ линейного уравнения Н(х) — 0. Построим уравнение с параметром следующим образом

ния (1.13) при р = 0, а при р = 1 уравнение обращается в исходное. Если теперь ввести новый параметр Л так, чтобы

то уравнение (1.13) примет вид

F{x, А) = Н(х) - е~хН(х(0)) = 0.

Дифференцирование этого уравнения по Л приводит к следующей задаче Коши по параметру Л

Интегрирование же этой задачи по А методом Эйлера с шагом ДА = 1 приводит к итерационному процессу

А этот процесс в точности совпадает с итерационным процессом метода Ньютона—Рафсона для уравнения Н(х) = 0 при начальном

приближении = «до.

Метод продолжения решения по параметру в изложенном здесь виде может быть практически без изменения распространен на нели­ нейные операторные уравнения, если под F(x,p) понимать нелинейный обратимый оператор с параметром.

Многие методы решения прикладных нелинейных задач можно по­ нимать как частные случаи метода продолжения решения по параметру. Так, в механике твердого тела известен метод последовательных нагруже­ ний, сформулированный В.З. Власовым и В. В. Петровым в 1959г. в ста­ тье [51] на примере нелинейных уравнений Феппля—Кармана прогиба пластин. Алгоритм этого метода является алгоритмом интегрирования уравнений продолжения методом Эйлера.

1.2. Проблема выбора параметра продолжения. Смена параметра

Изложенные выше формы метода продолжения решения по пара­ метру предполагают, что в рассматриваемом интервале значений па­ раметра ро ^ р ^ Pt определитель det(J) матрицы Якоби системы уравнений (1.1) отличен от нуля. Использование метода в окрестности особых точек, где det(J) = 0, требует особого обсуждения.

Рассмотрим развернутую форму системы (1.1)

Дифференцирование этой системы по параметру р приводит к урав­ нениям продолжения в неявной форме

Эта система уравнений линейна относительно неизвестных про­ изводных dxj/dp, j = 1,». В регулярных точках множества решений системы (1.17), где det(J) ф 0, система (1.18) разрешима.

Наряду с матрицей Якоби J = [dFi/dXj], i,j = 1,» , будем рассмат­

ривать расширенную матрицу Якоби J, образованную путем присоеди­ нения к J справа вектора dFi/dp = [dFi/dp], * = !,»:

Он определяется числом линейно независимых строк или столбцов матрицы. При этом столбцы матрицы удобно рассматривать как векторы в пространстве Rm, а строки — как векторы в К”. Число линейно независимых строк и столбцов всегда совпадает.

В регулярных точках множества решений системы уравнений (1.17) det(J) Ф 0, т.е. столбцы матрицы J образуют n -мерный базис в R".

1 6 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Поэтому вектор dF/dp € К" будет линейно зависим по отношению к столбцам матрицы J, и его присоединение к ним при образовании расширенной матрицы 7 не изменит ранга матрицы новой системы, состоящей уже из (п+1) векторов-столбцов. Таким образом, в регулярных

В особых точках ситуация меняется. В них det(J) = 0, поэтому rank(J) = г < п, т.е. среди » столбцов матрицы J линейно незави­ симы только г столбцов, и они образуют в К" г-мерный базис Вг, который определяет г-мерное подпространство LT С К". Теперь, если вектор dF/dp е I f, т.е. он линейно зависим с векторами базиса Вт, то

Точки, в которых выполняются эти условия, принято называть предельными. Особые точки, в которых rank(7) < п, будем называть существенно особыми. Особенности поведения решения в этих точках будут рассмотрены позднее. Здесь же мы ограничимся рассмотрением предельных точек.

Ниже будет показано, что в предельных точках касательная к кри­ вой К множества решений системы (1.17) в Rn+I : {х\,Х2, ■■. ,х п, Р) становится нормальной к оси р. В этих точках условие rank(7) = п рав­ носильно требованию, что среди (п+1) столбцов матрицы J найдутся » линейно независимых. А это значит, что хотя бы один из определите­ лей det(Jt)> к = 1, п, не равен нулю:

В таком случае в качестве параметра продолжения можно при­ нять Xj. Тогда в окрестности предельной точки выполняются все условия теоремы о неявных функциях и решение может быть однозначно про­ должено. Продифференцировав систему уравнений (1.17) по Xj и считая

при этом, что все » = 1, п, i Ф j, и параметр р являются функция­ ми Xj, получаем уравнения продолжения в виде

Фактически это равносильно введению нового неизвестного, кото­ рое не входит явно в уравнение (1.30). Чтобы определить этот параметр, необходимо дополнительное соотношение, устанавливающее связь между X|, Х2 и А. Локально эта связь очевидна

Таким образом, введение параметра А требует совместного решения уравнения (1.30) и соотношения (1.32). Поскольку соотношение (1.32) — дифференциальное, то было бы логично использовать также дифферен­ циальную форму и для уравнения (1.30), использовав ее эквивалент — задачу Коши по параметру А. Продифференцировав уравнение (1.30) по А и учитывая известные значения хю, хго, получаем следующую задачу Коши по параметру:

Здесь предполагается, что значениям хщ, *20 соответствует значение параметра А, равное Ао.

Не останавливаясь здесь на методах решения этой начальной задачи, отметим, что все проведенные выше рассуждения носят скорее эвристи­ ческий характер и никак не могут быть поняты как некоторое строгое доказательство.

В общем случае будем считать, что неизвестные в уравнениях (1.28),

в предыдущем параграфе. Она имеет » строк и » + 1 столбцов. В окрест­ ности точки х на кривой множества решений введем параметр ц так, чтобы он отсчитывался вдоль оси, определенной единичным вектором

а = (oti,. . . . a n+i)T G Kn+1, а а = <*•<*< = 1. Тогда в этой точке

Здесь и ниже используется суммирование по повторяющимся ин­ дексам в оговоренных пределах.

20 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения

Выбирая различным образом вектор а , мы можем задать любой параметр продолжения. Например, выбрав а = (1,0,... ,0)т , мы по­ лучаем из (1.36), что dp = dx\ и р = ®i + С. И если произвольную постоянную С положить равной нулю, то р = х\. Точно так же, если а = (0, . . . . 0, 1)г , то р = ®„+i = р и т. п.

„jW.

Здесь матрица J представлена как совокупность ее строк J ^ , каж­ дую из которых можно рассматривать как вектор в R"+1. В регулярных и предельных точках множества решений уравнений (1.29) хотя бы один из определителей det(Jj) Ф 0. Поэтому строки матрицы J линейно независимы и образуют в Rn+1 n -мерный базис В п, определяющий в R"+1 n -мерное подпространство Ьп.

Первое векторное уравнение или первые п скалярных уравнений в (1.37) показывают, что искомый вектор dx/dp ортогонален всем векто­ рам базиса В п, т.е. он ортогонален подпространству Ьп. Геометрически он направлен по касательной к кривой К множества решений. Послед­ нее уравнение в (1.37) показывает, что его проекция на направление а, определяющее ось р, должна быть равна единице. Геометрически это показано на рис. 1.3 для случая n = 1.

Теперь становится очевидным, что если вектор а (ось р) выбран ортогонально к кривой К, как это показано на рис. 1.3 пунктиром,

то квадратная матрица ^ j системы (1.37) окажется вырожденной, так

как вектор а ортогонален dx/dp, значит, он принадлежит_подпространству Ьп, т.е. линейно зависим со строками матрицы J . Поскольку для интегрирования уравнений продолжения (1.37) необходимо перейти к нормальной форме уравнений, т.е. разрешить их относительно dx/dp, то такой выбор параметра р неприемлем.

И, наоборот, следует ожидать, что наиболее удачным будет такой вы­ бор оси р, когда вектор а будет касателен к кривой К, т.е. коллинеарен с dx/dp.

Для того, чтобы придать этим рассуждениям достаточную строгость, остается только ввести критерий, определяющий качество параметра р, определенного вектором а. Поскольку качество параметра р связано

сразрешимостью системы (1.37), то естественно связать это качество

собусловленностью матрицы этой системы. Матрица системы линейных