![](/user_photo/_userpic.png)
книги / Техническая термодинамика и теплопередача
..pdf3.2. Твердые тела с бесконечно большой теплопроводностью. Расчет нагрева и охлаждения термически тонких тел
Изучение естественных наук я считаю отличной школой для ума. Нет школы для ума лучше той, где дается понятие о чудном единстве и неуничтожаемости материи и сил природы.
Фарадей
Если тело имеет боль |
|
шую теплопроводность X и |
|
низкий коэффициент тепло |
|
обмена а, то тепловой поток |
|
к телу или от тела главным |
|
образом определяется кон |
|
вективным сопротивлением |
|
и в теле имеют место малые |
|
градиенты температур, либо |
|
они совсем отсутствуют, т.е. |
|
тело пространственно изо |
Рис. 13. Тело с большим |
термично: температура ме |
коэффициентом |
няется только со временем. |
теплопроводности |
Рассмотрим тело с боль |
|
шим коэффициентом теплопроводности X и температурой
7 = Тн (рис. 13). В некоторый момент времени его поместили в поток жидкости или газа с другой температурой Тг
Задача заключается в том, чтобы определить изменение температуры со временем как функцию характеристик системы.
Запишем уравнение теплового баланса для тела:
р с ^ = - а S (T -T ,). |
(3.10) |
При t = О, Т= Тн, Tf = const, где V—объем тела; S — огра
ничивающая поверхность.
Уравнение (3.10) можно записать для избыточной темпе ратуры е = Т -Т ( :
|
d(T-Tf) |
a S d t, |
cf0 |
_ |
aS |
^ |
|
Т -Т { " " |
pci/ ’ |
~ e ~ ~ ^ c V |
' |
||
при t = 0, 0 |
= 0 Н =TH-T r |
|
|
|
|
|
Решение этого уравнения имеет вид |
|
|
||||
0 |
f a S . |
=exp[ - |
^ p |
- |
| = exp(-BiFo), |
|
— = e x p ------- --1 |
||||||
0 , |
pci/ |
|
|
|
|
|
где 8 = —■— характерный линейный размер тела. |
||||||
Например, для шара 5 = — = |
4 nR2 |
- = - |
Я, для цилин- |
|||
|
d |
S |
3 |
|
||
дра {L » d ) |
L |
8 |
= |
Bi — критерий Био, |
||
8 = — , для куба 8 = —; — |
||||||
|
4 |
б |
Я. |
|
|
|
at2
—= Fo — критерий Фурье. Критерии — безразмерные вели
чины. Оба критерия являются критериями подобия нестацио нарной теплопроводности. Критерий Био можно представить следующим образом:
Qj - |
T f) |
_ ?внеш |
“ |
Ъ ) / ^ |
9внутр |
где qwm, qMm — тепловые потоки в системе при градиенте
T -T t . Критерий Био характеризует соотношение между вне-
8
шним тепловым потоком и потоком тепла внутри тела. Крите рий Фурье можно представить следующим образом:
б / а / б ’
где а/б - скорость распространения тепла. Критерий Фурье определяет отношение времени процесса к отрезку времени, за который температурный профиль распространяется по нему на расстояние 5.
Критерии Био и Фурье позволяют представить темпера турную зависимость решения (3.10) для всех тел с бесконечно большой теплопроводностью одним универсальным графиком (рис. 14).
Рис. 14. Зависимость избыточной относительной температуры при разных значениях числа Био от числа Фурье
Решение любой задачи теории теплопроводности следует начинать с анализа величины критерия б/. В зависимости от того, какое конкретное значение имеет критерий В/, в ре шении могут быть внесены те или иные упрощения. Различают три случая.
Рис. 15. Распределение температуры в плоской стенке при малом числе В/
Рис. 16. Распределение температуры в плоской стенке при числе В/»1
Рис. 17. Распределение температуры в плоской стенке при числе В/» 1
Первый случай (рис. 15). Малое В/ может быть получено вследствие малых значений а или больших значений Х/8.
В этом случае температурным перепадом внутри тела можно пренебречь по сравнению с температурным напором (Tf - TJ,
т.е. можно рассматривать температуру тела не зависимой от координат В / « 1 .
Второй случай (рис. 16). Критерий Bi имеет средние зна
чения В/» 1 . Этот случай представляет наибольшие трудности для теории и рассматривается в специальной литературе.
Третий случай (рис. 17). Bi» 1 . В этом случае температу
ру поверхности тела вследствие большой относительной ин тенсивности теплоотдачи можно считать равной температуре окружающей среды и рассматривать задачу как внутреннюю.
Случай Bi -> оо. При заданных X. и размере стенки L усло вие Bi -> оо эквивалентно X оо, а это означает, что тепловое
сопротивление переходу теплоты от стенки к жидкости 1 /а рав но нулю. Значит, температуры наружных поверхностей стенки и жидкости в течение всего процесса охлаждения остаются равными друг другу.
3.3. Интегральный метод теплового баланса
Разве ты не знаешь, что мудрость или знание и есть благополучие.
Сократ
Интегральный метод теплового баланса использует такую модель процесса теплопроводности, когда в рассмотрение вво дится величина 6(f), называемая толщиной термического про гретого слоя, и для всех значений х > 5(f) считается, что теп лота не распространяется за пределы х = 5(f) и температура тела равна начальной температуре. Такая модель основана на конечной скорости распространения тепла, если принимать во внимание только существенные значения температуры.
![](/html/65386/197/html_3Ya48BNecz.6jha/htmlconvd-ApkMjI166x1.jpg)
Потребуем, чтобы искомое решение (3.11) удовлетворяло не первоначальному уравнению теплопроводности, а осредненному. Для этого проинтегрируем уравнение теплопровод ности по всей толщине прогретого слоя. Получим:
оо
Соотношение (3.12) называется интегралом теплового ба ланса. К интегралу слева применим формулу Лейбница:
Р(0 Р(0
i J/ М |
* - Л |
- « . o f ■ |
а|Г) |
а(0 |
|
В нашем случае будем иметь: |
|
|
|
dt |
dt |
= ^ i e - T H8(t)],
8(M
где 0 = JV(x, t)dx.
ем |
/ |
^ |
d T {m ,t) |
dT{0,t) |
|
, ± |
E |
dx = a |
|
||
Jd X |
[d X |
dx |
dX |
|
|
Проинтегрировав (3.12), получаем: |
|
|
|||
± [@ - Т иЩ = а |
37(5, t) |
dT(0J)_ |
(3.13) |
dx 3X
Т.к. в рассмотрение введена величина 5(f), то необходимо к граничным условиям на поверхности добавить граничные ус ловия на х = 6(f):
Г( М = Г Н;
дт м = 0
Эх
Решение дифференциального уравнения (3.13) с соответ ствующими граничными условиями ищем в виде многочлена второй степени от х:
|
T(x,f) = a0(t) + a,(f)x + a2(t)xJ. |
(3.14) |
||||
Для нахождения неизвестных коэффициентов в выражении |
||||||
(3.14) используем граничные условия, получим: |
|
|||||
|
|
-Ха, = <j(f), |
|
|
||
|
|
= 3 Q 4- 3 ] 6 + 8 2 6 ^ , |
|
|||
|
|
а] + 2 8 2 6 = О, |
|
|
||
откуда |
ll = |
_ i , |
a2 = |
i |
= - L . I |
|
|
1 |
X |
2 |
26 |
2X6 |
|
a0 = TH- a 18 - a 262 = TH+^ |
- | ^ = TH + g . |
|
||||
Тогда решение примет следующий вид: |
|
|||||
|
T M = TH + * - 1 X + * L ~ |
|
||||
|
' |
н |
2Х |
X |
2X5 |
|
|
= Тн + 2X8 |
" 26Х + |
= Тн + 2 Х ? (5 " Х)2- |
(315) |
В уравнение (3.15) входит одна неизвестная величина 6(f), которую определим из интеграла теплового баланса (3.13). Най дем:
5(0 |
6(t) |
©= fr(x1f)dx = rH5 + ^ |
J(5-x)2dx= |
0 |
° 0 |
5(0
x)3l§ =
2X8
= TH5 + QS^_ 6X '
Учитывая граничные условия, интеграл теплового баланса запишем в виде
£ т н 5 + | - - Г н6 = а 1 | ,
d [ g s M a q dt ^ 6Х J X ’
если коэффициент теплопроводности X = const, то
Используя начальное условие 6(0) = 0, получим:
г
q82 = 6а |q(x)c/T.
о
Толщина термически прогретого слоя
1
|
1 |
5 = |
Jq(t)dx |
Часто важно знать только температуру поверхности. Подставляя полученное значение в выражение (3.15), при
х = 0 получим:
При g(t) = const имеем: T(Q,t) = TH +
Точное решение задачи при qs= const имеет вид
Сравнение точного и приближенного решения показывает, что ошибка составляет * 9 %. Результат вполне удовлетвори тельный в инженерных расчетах.
3.4. Метод Швеца
Несчастны те люди, которым все ясно.
Пастер
Основная идея метода Швеца заключается в применении метода последовательных приближений с использованием по нятия толщины термического слоя. Схему применения метода Швеца рассмотрим на следующем примере.
Распределение температуры в полуограниченном теле опи сывается уравнением теплопроводности: