книги / Теория химических реакторов. Введение в основные разделы курса

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

f (τ) F( p) , то

3. Подобие: если

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

6 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Рис. 11. Последовательное включение реакторов

Рис. 12. Параллельное включение реакторов

	C1 = W1 ( p) C0
	C	2	= W	( p) C
		2	2	1
По определению:						(78)
По определению:					.	(78)

	C = Wn ( p) Cn−1
	C = Wn ( p) Cn−1

Исключая в (78) промежуточные переменные, получим:

1 (	)	2 (	)	n (	)	(	)	x ,	(79)
C = W	p	W	p	W	p = W		p	x ,	(79)
				n					(80)
	или W ( p) = ПWi ( p).								(80)
				i=1
									51

Примем С0 = 1; введем коэффициент распределения αi потока V по параллельным реакторам таким образом, что Σ αi = 1. В этом случае:

Wi ( p) =	Ci	=	Ci	= Ci .	(81)
	C
		1
	0

Выходная концентрация может быть представлена в виде выражения:

Cвых =	∑αi V Ci = ∑αi Ci .	(82)
	∑αi V

В связи с этим можно записать выражение для передаточной функции системы параллельных реакторов:

W ( p) =	Cвых	=	∑αi Ci = ∑αi Ci .	(83)

	C0		C0

Умножив правую и левую части уравнения (81) на αi, получим:

αi Wi = αi Ci .	(84)
Следовательно,
n
W ( p) = ∑αi Wi ( p).	(85)

i=1

Рассмотрим рис. 13:

Рис. 13. Включение реакторов в схему с обратной связью

Здесь а – доля возвращающегося потока. Сложение потока обратной связи с основным потоком может привести как к уменьшению, так и к увеличению концентрации на входе в первый реактор. Поэтому система уравнений может быть записана следующим образом:

ИсключаяC0c

Отсюда:

i (	p	)(	0	± C	0c )
C = W	p	C		± C
C0c = a W2 ( p) C					.
C0c = a W2 ( p) C

, получим:
С =			Wi	( p)			C0	= W ( p) C0 .		(83)
	1		a W1 ( p)W2 ( p)

		W ( p) =				Wi ( p)			.	(84)
					1 a W1 ( p)W2 ( p)

В выражении (84) знак «минус» соответствует положительной обратной связи.

Существует процедура составления передаточных функций сложных технологических схем, охваченных многими обратными связями (формула Мейсона). Она описана в учебниках по теории автоматического управления.

6.1. Основы операционного исчисления

Преобразование любой функции f (τ) в комплексный вид

F ( p) в комплексном р-пространстве и преобразование ее обратно

в Re -пространство сводится к ее прямому и обратному преобразованию по формуле Лапласа:

∞
F ( p) = ∫e− pτ f (τ)d τ ,	(85)
0
	53

где	F(p) – функция	произвольной	комплексной	перемен-
ной p = a +iw , где w – частота.
	Функция f (τ) называется оригиналом,		а F ( p) – изображением.

Операцию перехода от оригинала кизображениюобозначаютввидеоператорногосоотношения:

F ( p) = L[ f (τ)],

(86)

или F ( p) f (τ).

Обратное преобразование проводится по уравнению
f (τ) =	1	+∫i∞ F ( p)e+ pτ d p	(87)
f (τ) =		+∫i∞ F ( p)e+ pτ d p	(87)
	2πi −i∞
и обозначается в операторной форме:
f (τ) = L−1 F ( p) ,
			(88)
или f (τ) F ( p).			(88)
или f (τ) F ( p).

Существуют обширные таблицы переходов в прямом и обратном направлении.

Используя преобразования Лапласа, дифференциальные уравнения приводят к уравнениям в операторной форме в комплексном пространстве. При этом основным преимуществом метода является то, что в пространстве изображений решение дифференциального уравнения сводится к решению алгебраических уравнений.

Процедура решения дифференциального уравнения этим способом схематически отражена на рис. 14.

В дифференциальном уравнении все производные заменяются изображениями по формулам:

dn f	0		1	n−1
	= pn F ( p) − pn−1 f (	) (+0) − pn−2	f ( ) (+0) − − f (	) (+0).	(89)
d τn	= pn F ( p) − pn−1 f (	) (+0) − pn−2	f ( ) (+0) − − f (	) (+0).	(89)
d τn

Здесь f (z) означает производную функции f порядка z.

Рис. 14. Решение дифференциального уравнения

В частности: dd τf = pF ( p) − f (+0),

	d2 f	= p2 F ( p) − pf (+0) − f ′(+0).
	d τ2	= p2 F ( p) − pf (+0) − f ′(+0).
	d τ2

В частном случае, когда начальные условия для функции f (τ)

вместе с производными до (n – 1)-го порядка равны нулю, формула (89) упрощается:

dn f	= pn F ( p).	(89а)
d τn

Если в исходном уравнении содержатся интегралы, то они должны быть преобразованы по следующему выражению:

τ	τ	f (τ)d τ =	1		F ( p).
∫	∫					(90)
			p	n

0	0

При такой форме записи дифференциального уравнения на комплексное число р распространяются обычные правила обращения с алгебраическими сомножителями, т.е. его можно выносить за скобки, сокращать и т.д.

6.2.Техника прямого и обратного преобразования Лапласа

Основные свойства преобразования Лапласа:

1.Однородность: если f (τ) F ( p) , тоλf (τ) λF ( p) .

2.Аддитивность: если f (τ) F ( p) и ϕ(τ) φ( p) ,

то f (τ) + ϕ(τ) F ( p) + φ( p).

4.Правило дифференцирования оригинала (см. (89), (90)).

5.Дифференцирование изображения:

если f (τ) F ( р) , то −τf (τ) F′( р).

Обобщение: (−1)n τn f (τ) F(n) ( p).

6. Интегрирование изображения:

если f (τ) F ( p) , то	f (τ) ∞
		∫ F (z)d z ,
	τ
		p

где z – произвольная комплексная переменная.

7.Правило сдвига (теорема запаздывания):

если f (τ) F ( p) , то f (τ− t ) e− pt F ( p).

8.Правило затухания (теорема смещения):

если f (τ) F ( p) , то eλτ f (τ) F ( p − λ).

(Существуют ограничения:

Re p > S0 + Re λ; f (τ) < MeS0 τ ; M > 0 ; S0 > 0 ,

S0 – показатель роста.

9. Теорема свертывания (умножения изображений):

Сверткой функции

(τ) и

ϕ(τ) называется функция от τ, опреде-

ляемая равенством

ψ(τ) = ∫τ

f (и)ϕ(t −и)dи

обозначаемая f ϕ ,

читается: функция f(τ) свернута с функцией φ(τ).

Свойства свертки:

– коммутативность: f

ϕ = ϕ

f ;

– ассоциативность: ( f

ϕ) ξ = f

(ϕ ξ) ;

– рефлексивность: ( f

+ ϕ) ξ = f

ξ+ ϕ ξ .

Если

f (τ) F ( p) иϕ(τ) φ( p) , то( f ϕ) F ( p) φ( p) .

10. Формула Дюамеля:

если lim f

(τ) = f

(0) и f (τ) F ( p) , аϕ(τ) φ( p) , то

τ→+0

pF ( p)φ( p) f (0)ϕ(τ) + ∫τ

f ′(и)ϕ(τ−и)dи .

( p) =

11. Если

f (τ) = F ( p) и f ′(τ) – оригинал, то lim pF

(

)

p→∞

= lim f

τ→+0

(

)

(

)

(

)

12. Если lim f

существует, то lim pF

= lim f

τ→∞

p→0

τ→∞

Кроме этого, существует две теоремы разложения дробей, которые описаны в соответствующих руководствах.

Примеры:

1. Вычислить изображение единичной функции Хевисайда:

0 при τ < 0	.
σ(τ) =	.
1 при τ > 0
∞		∞ −	1		1
F ( p) = ∫e− pτ 1d τ =				e− pτ =		,


0		0	p		p
0		0	p		p

σ(τ) 1p .

2. Вычислить изображение функции f

(τ) = τ .

∞

∞ +

∞

F ( p) = ∫τe− pτ d τ = −

e− pτ

∫e− pτ d τ =

= −

e− pτ

−

e− pτ

∞ =

(интегрирование по частям:

и = τ

dи = d τ

dи d v = e− pτ d τ v = −

e− pτ )

− pτ

∞

= e

−

= lim −

−1

−

pτ

τ→∞

Поскольку по правилу Лопиталя

−1

lim

−

= lim

−

→ 0

, получаем:

pτ

τ→∞

3. Вычислить изображение функции f (τ) = eaτ :

∞

F ( p) = ∫e− pτ

Следовательно:

	∞			e−( p−a)τ	∞ =	1
eaτ d τ =∫e(a− p)τ d τ = −							.

				p − a		p − a
	0			p − a	0	p − a
eaτ		1	.
eaτ	p	− a	.
	p	− a

4. Вычислить изображение f (τ) = cos τ.

Представим косинус в комплексном виде (формула Эйлера):

τ = eiτ −e−iτ cos .

По правилу аддитивности, учитывая пример 3, получим:

cos τ	1	1	+	1	=		1		.

	2	p −i				p	2	+1
				p +i

f (τ) = eaτ −1 . По

правилу аддитивности,

учитывая приме-

ры 1 и 3:

aτ

−1

−

p − a

p( p − a)

f (τ) = cos αt. По правилу подобия, с учетом примера 4:

cosατ

p 2

+ α2

α +1

7. Найти изображениеcos

ατ, если

sin ατ

; sin (+0) = 0 ,

+ α2

cosατ = α1 (sin ατ)′ . Используем правило дифференцирования ори-

гинала (89):

d f

= pF ( p) − pf (0),

d τ

cosατ

+ 0

+ α

8. f (τ) = ∫τ

1 dτ ; f (τ) = ∫τ τ d τ;

f (τ) = ∫τ

τ2

. Используем фор-

мулу (90), учитывая примеры 1, 2.

∫1 d τ =

τ2

∫τ d τ =

1 2

τ τ2

τ3

∫0 2

1 2 3

Отсюда

τn

≡ τn

n! pn+1

pn+1

9. Интегрирование изображения (правило 6):

eaτ −ebτ

eaτ

ebτ

∞ 1

−

∫

−

d z =

p z − a

−b

∞ ln

(z − a) −ln (z −b) =

∞ ln

z − a

z −b

lim ln

z − a

−ln

p − a

= ln1−ln

p − a

= ln

p −b

z→∞

z −b

p − a

10. Интегрирование изображения (правило 6) с учетом примера 7 при α = 1:

sin τ	∞		1		∞ =	π
	∫			d z = arctg z			−arctg	p = arcctg p.

		z	2
τ	p		+1		p	2

11.f (τ) = σ(τ) −σ(τ−t ) (применяется правило 7):

σ(τ) −σ(τ−t ) 1p − 1p e− pt = 1−pe− pt

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 196 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги