книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

Заметим, что рассмотренные здесь алгоритмы дискретною продол женин в качестве основного элемента содержат систему линейных урав­

становится еще более очевидной, если системы (1.2.16), (1.2.22), (1.2.26) решать методом ортогоналиэации. Рассмотрим подробное уравнение (1.2.16), а дополнительное условие возьмем в форме (1.2.19);

^- частное решение неоднородного уравнения

Вектор ДАГ° ^ +1^ ортогонален подпространству, натянутому на строки

матрицы У ( Х ^ ку), и может быть найден методом ортогоналиэации, как

ее представлению в виде произведения левой треугольной матрицы на

Заметим, что обращение матрицы т-то порядка общего вида является очень трудоемкой вычислительной задачей, так как оно равносильно реше­ нию т систем линейных алгебраических уравнений ш-го порядка. Однако

упрощает ее обращение и делает трудоемкость этой операции равной тру­ доемкости решения только одной системы /и-го порядка. Поэтому исполь­

зование матрицы ( П ^ ) -1 в решении (1.2.36) не существенно увеличи­

вает трудоемкость решения системы (1.2.32) и позволяет при этом ис­ пользовать результат решения системы (1.2.31).

Представление в виде (1.2.30) допускают и все остальные из рассмотрен­ ных выше итерационных процессов. Так, для процесса (1.2.22), (1.2.23) получаем из (1.2.23)

Для процесса (1.2.26), (1.2.27) получаем

(1.2.39)

Обратим внимание на тот факт, что в случае сходимости всех приве­

роль в процессе непрерывного продолжения решения. Поэтому, сравни­

вая уравнения (1.2.32) и (1.1.8), заключаем, что сходится к

ё Х (к^ й \ . Это позволяет легко комбинировать непрерывное и дискрет­ ное продолжения решения, используя последнее по необходимости для периодического уточнения решения.

Как уже отмечалось, успех применения метода Ньютона — Рафсона во многом зависит от начального приближения. В процессе продолжения

решения по параметру качество начального приближения определяется шагом I по параметру X. Представление решения в виде (1.2.30) позво­

ляет контролировать величину шага I с помощью выражений дли 1

(1.2.37), (1.2.38) или (1.2.39). Для сходящегося итерационного процесса знаменатель этого выражения сходится к скалярному произведению

и (1Х(к)1<1\ касательных к кривой К при X = Х*_, и X = X* и гем ближе $(*) к единице. Конечно, 5 (*) может быть вычислено только после того, как итерационный процесс сошелся. Но приближенно судить о значении

Поэтому для того, чтобы шаг / был не слишком мелким и в то же время сходимость итерационного процесса была обеспечена, при практической реализации дискретного продолжения решения обычно достаточно следить за выполненном на первом шаге итерационного процесса условия вида

Из опыта можно рекомендовать для констат уи и уи значения '■'0,8 и ~ 0,9 соответственно. При невыполнении условий (1.2.42) необходимо либо уменьшить, либо увеличить шаг /

1.3. Примеры применения различных форм метода продолжения решения

Здесь мы рассмотрим примеры применения разработанных в § 1.1, 1.2 обобщенных форм метода продолжения решения. Наиболее эффективно эти формы работают, когда множество К решений нелинейной задачи является петлеобразной кривой. Как видно из рис. 1.9, при построении кривой К продолжением по параметру Р мы столкнемся с трудностями

в двумерном векторном пространстве К2. Поэтому в данном частном слу чае нетрудно найти единичный вектор 4Я/4Х, удовлетворяющий уравне нию (1.3.3). Это будет один из векторов

Но мы будем искать решение уравнения (1.3.3) дХ!д\ с помощью общей процедуры ортогоналиэации (1.1.23)

Интегрировать это дифференциальное уравнение будем, начиная с точки А (рис. 1.10),где

В дальнейшем в качестве () будем принимать предыдущее значение век­ тора ах /ах.

На рис. 1.10 представлены результаты интегрирования задачи Коши (1.3.5), (1.3.6) с помощью явных схем различной точности (т.е. методом непрерывного продолжения) с шагом АХ = 2. При этом рассматривались простой метод Эйлера — результаты показаны точками, модифицирован­ ный метод Эйлера - результаты показаны крестиками и метод Рунге - Кутта 4-го порядка - кружки.

Для того чтобы избежать влияния накопления погрешности в точке ветвления О (в начале координат), эта точка проходилась следующим об­ разом: если начало участка перед следующим шагом продолжения реше­ ния попадало в круг радиуса 0,1 с центром в точке О, то начало участка переносилось в точку, симметричную относительно О. Это позволило сохранить накопившуюся-погрешность.

Накопление погрешности при применении метода Рунге - Кутта с ша­ гом АХ = 2 можно охарактеризовать следующим результатомпосле че­ тырехкратного обхода восьмерки леминскаты кривая пришла в точку с координатами Х\ =1,4112, Х2 =-0,0026. Если бы погрешность не накап­ ливалась, то кривая, конечно, пришла бы в точку А с координатами Хх =

= \/Т « 1,4142, Х2 =0.

Применение алгоритмов дискретного продолжения в § 1.2 при про­ должении решения с тем же шагом АХ = 2 дало практически точное зна­ чение координат точек лемнискаты. Причем затраты машинного време­ ни ЭВМ в этом случае были даже несколько меньшими, чем при интегриро­

Пологая арка. Одной из немногих нелинейных задач механики твердого деформируемого тела, допускающих точное решение, является задача о пологой арке. Это делает ее удобной моделью для проверки эффектив­ ности методов решения нелинейных задач. Мы рассмотрим эту задачу в той постановке, в какой она была исследована в работе [107]. Будем также пользоваться, в основном, и обозначениями этой работы, где обоз­ начено: и», и — перемещения оси арки в направлениях координатных осей г , х (рис. 1.11); Л —стрела подъема арки; - интенсивность нагрузки

г,го/

вдоль оси г\ N — продольное усилие в арке, Е - модуль упругости мате­ риала; Р , / - площадь и главный центральный момент инерции попереч­ ного сечения арки относительно оси, нормальной к плоскости арки; / =

=/ (х) —уравнение центральной оси арки до деформации. Введем безразмерные переменные

В этих обозначениях уравнения, описывающие деформацию арки, концы которой закреплены от перемещений вдоль оси х(ц(0) =«(/) = 0), записы­ ваются в форме

Здесь Щ (5) —частное решение уравнения (1.3.9). Если из условий зак­ репления арки найти постоянные интегрирования С1, . . . , С4 и подставить решение (1.3.11) в уравнение (1.3.10), то в итоге получим трансцендентное уравнение, связывающее параметр нагрузки ? с параметром распора арки к в форме

Так, для арки синусоидальной формы под равномерной нагрузкой и при шарнирном закреплении концов имеем

Явная форма уравнения продолжения получалась решением (1.3.18) методом ортогонализации

В качестве начальной точкй была взята точка кривой к(д) вблизи начала координат. Само начало координат для такой точки не годилось, так как в нем производные ЪР/Ъц и ЬР/дк содержат деление на к. Начальное зна­ чение вектора О. было принято в виде 0 = [1,0]. Такое задание 0 учиты­ вает, что в начальной точке кривая к (<7) меньше наклонена к оси В даль­ нейшем в процессе продолжения в качестве вектора 0 принимался орт

4Х/4Х для предыдущего значения X.

На рис. 1.12 точками представлен результат интегрирования задачи Коши для уравнения (1.3.19) методом Эйлера с шагом ДХ =4. Крестикам соот­ ветствует результат, полученный модифицированным методом Эйлера с тем же шагом. Кружками обозначены точки, полученные методом Рунге - Кутта 4-го порядка с шагом ДХ = 4 и ДХ = 2. Здесь мы уже имеем практи­ ческое совпадение с точным решением. С целью сохранения накопившейся погрешности переход через точку бифуркации Б осуществлялся также по условию симметрии, как и при построении лемнискаты Бернулли.

Методы дискретного продолжения ( § 1.2) при движении с шагом X = 4 дали результаты, которые совпадали с точным решением с заданной точ­ ностью. При этом машинное время, так же каки е случае лемнискаты Бер­ нулли, оказалось несколько меньшим, чем при использовании метода Рунге - Кутта 4-го порядка.

Трехстержневая ферма. Рассмотрим симметричную деформацию трех­ стержневой фермы, показанной на рис. 1.13, под действием силы Р. Вели­ чинам, относящимся к центральному стержню, мы будем присваивать индекс ”1 ”, а к боковым —индекс ”2”.

Р и с . 1.13

Пусть N1 - сжимающие усилия в- стержнях; Е - модуль Гука при рас­ тяжении; Р ,/( —площадь и моменты инерции поперечных сечений стерж­ ней; I — длина стержней. Оговоримся сразу, что наша основная цель при рассмотрении этой задачи - получить систему нелинейных уравнений, позволяющую продемонстрировать эффективность различных форм ме­ тода продолжения. Поэтому мы не будем стремиться к слишком точному описанию поведения фермы. В частности, мы не будем учитывать измене­ ний углов между стержнями при опускании узла фермы. С учетом этого

В итоге получаем следующую систему четырех нелинейных уравнений для Ь'? иЛ^° с параметром Р° (здесь и ниже знак ” у безразмерных величин Опущен):

Отметим также, что если стержни идеальные, т.е. В'ю = И^о =0,то система (1.3.29) имеет четыре точных решения:

Для а = 1, /3 = 100 эти решения и соответствующие им формы деформиро­ вания фермы показаны на рис. 1.14 в пространстве Р. Из этого рисунка видно, что множество решений системы (1.3.29) сложно меняет­ ся в пространстве и имеет три точки ветвления В 1,Д 2| 2?э, причем В 2 и В 3 являются точками вторичного ветвления решений. Такое поведение мно­ жества решений делает невозможным его численное построение с исполь­ зованием единого, параметра продолжения и требует для каждой ветви