книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

кЛ Л

Рассмотрим подробнее функции Г//п)(х, у ) . Представим их в виде разложе­ ния по некоторым базовым системам функции С/*(х) и Ук(х) (к = 1,2,...)

(5.5.24)

Для обеспечения аппроксимации граничных условий на краях (х, 0) и (х , Ь), прямоугольной области Б достаточно, чтобы системы функций 1)к(х) и Ук(х), к = 1,2, ..., были полными на интервале [0,в] ортонормированными системами. В представлении (5.5.12) представим входящие в правые части суммы в виде разложений по базовым системам функций (/*(х) и Ук{х). После сопоставления этих разложений с выражением (5.5.24) полу­

чаем для коэффициентов разложения и ^ и о/* * следующие выражения:

(5.5.25)

Подставим сюда выражения (5.5.11), (5.5.14), (5.5.24) и после простых преобразований получим

(5.5.26)

Здесь введены обозначения

(5.5.27)

Ск,= 7 /хУ к У ,* .

о о

Соотношения (5.5.17), (5.5.18), (5.5.22), (5.5.24), (5.5.26)-(5.5-28) позволяют построить рекуррентный процесс определения коэффициентов разложений (5.5.11), (5.5.14), и таким образом найти последовательно коэффициенты рядов Тейлора по параметру X для некратных собствен­ ных значений. В случае кратных собственных значений разрешающие со­ отношения могут быть построены по аналогии с § 5.1.

При численной реализации этого решения для параллелограммной мем­ браны в прямоугольной области была использована система собственных функций задачи нулевого приближения в виде базовых функций двойного тригонометрического ряда. При этом для удобства введена двойная индек­ сация

( 0

Этот интеграл может быть вычислен с помощью следующего рекуррентного процесса

— а ’"

/+ 1

*и.Р, <0=

_ (/- 1 )/(/- 2 ,р .в )1 при рФ 0.

Начальные значения для рекуррентного процесса (5.5.34) - (5.5.41) опреде­ ляются решением задачи нулевого приближения

"-(т)’ *(т)'

(5.5.42)

■' Ш1ц

Этот рекуррентный процесс был реализован на ЕС ЭВМ. При использовании

Отметим, что при реализации очередного приближения полученного здесь методом возмущений решения необходимо использовать р е зу л ы а ш всех предыдущих приближений. Поэтому число приближений 'лрапичено па­ мятью ЭВМ. Это делает невозможным получение решения м етодом возму­ щений при больших значениях параметра X. В то же время при малых значе­ ниях X (в нашем примере при X < 0,2) удовлетворительную точность (с ошибкой в 1 -=-5%) дает, как правило, уже второе приближение, реализа­ ция которого сравнительно проста. Это, по-видимому, и объясняет тот факт, что абсолютное большинство решений задач механики и физики мето­ дом возмущений (см., например, обзор А.Найфе [464]) построены только до второго приближения. С такого рода эффектом столкнулся один из авторов и его сотрудники при получении решения методом возмущений для трапециевидных пластин в работе [364].

Таким образом, по сравнению с методом возмущений метод продолже­ ния решения по параметру позволяет исследовать поведение решения при больших отклонениях от невоэМущенного решения.

ПРИЛОЖЕНИЯ

I. ОБЗОР РАБОТ ПО ИСПОЛЬЗОВАНИЮ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ В НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧАХ МЕХАНИКИ ТВЕРДОГО ДЕФОРМИРУЕМОГО ТЕЛА

Обзоры [114, 116] подготавливались нами сравнительно давно и вклю­ чают в себя исследования до 1976 г. С тех пор прошло немало времени, появилось значительное количество новых работ, где метод продолжения решения по параметру развивался и применялся к новым задачам. Поэтому мы сочли необходимым обновить эти обзоры с учетом новых исследова­ ний, но не меняя их общей структуры.

Наша цель здесь — дать обзор и систематизацию различных форм метода продолжения решения, обратить внимание на возникающие при использо­ вании метода трудности и способы их разрешения. Ввиду этого основное внимание уделялось методическому аспекту исследований. Конкретное же их содержание затрагивалось лишь в той мере, в какой оно связано с мето­ дом продолжения решения по параметру и с особенностями его примене­ ния и реализации.

1.1. Общая формулировка метода продолжения решения по параметру

Как уже отмечалось во Введении, при некоторых не слишком обреме­ нительных ограничениях на свойства щ-мерной вектор-функции Г (X, Р) , а именно при ее непрерывности и дифференцируемости по компонентам

является непрерывной и дифференцируемой функцией параметра Р, т.е.

Иными словами, в (т + 1) -мерном векторном пространстве К„,+1 :{Х, Р) решение уравнения (1.1.1) в окрестности точки [Х(о), Л>]е Кт+1 представ-

Другую формулировку метода продолжения решения по параметру дал Д.Ф. Давиденко [135, 136]. Он предложил с помощью дифференциро­ вания по параметру перейти от уравнения (1.1.1) к уравнению

ных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса-Штермера и др. Эти схемы являются явными (открытыми).

Продолжение решения уравнения (1.1.1) на основе интегрирования задачи Коши (1.1.6) с помощью явных схем будем называть непрерыв­ ным продолжением.

Как уже отмечалось во Введении, известный метод последовательных нагружений, сформулированный В.З. Власовым и В.В. Петровым [276] независимо от метода продолжения решения по параметру, может быть понят как алгоритм интегрирования начальной задачи (1.1.6) методом Эйлера. Такое понимание метода последовательных нагружений впер­ вые, по-видимому, было достигнуто в работе [176], что позволило модифицировать его на основе схемы Рунге-Кутта, существенно повы­ сив тем самым его точность и избавив его в значительной мере от накопле­ ния погрешности, особенно свойственной схеме Эйлера.

Сведение процесса продолжения решения к задаче Коши по параметру открывает простор для применения самых различных вычислительных схем интегрирования начальных задач. Так, в работе [136] использована схема Адамса-Штермера. В статье [138] исследовались особенности приме­ нения для продолжениярешения схем простого и модифицированного методов Эйлера, а также схемы Рунге-Кутта. Эти же вопросы рассматри­ вались в работах [437,389,438].

Взгляд с точки зрения методов интегрирования задачи Коши позволяет систематизировать различные схемы продолжения решения. Так, предло­ жение В.С. Кирии [188], обобщенное им в работе [189], представляется как метод построения решения задачи Коши в виде ряда Тейлора по аргу­ менту (параметру). Отметим, что такой способ построения решения близко примыкает к методу возмущений. Шаговый процесс продолжения решения с использованием разложений в ряды по степеням приращения параметра предлагался также в работах [362,369,295,296]. В двух последних статьях такой подход разработан в рамках метода конечных элементов.

Как было показано в наших обзорах [114,116], шаговые итерационные процессы продолжения решения также могут быть рассмотрены как схемы интегрирования задачи Коши по параметру только неявного типа. Эти рас­ суждения воспроизведены во Введении к данной книге, и основаны они на различных приближениях представления процесса продолжения решения

в виде (В.1.12). Так, видно, что схема (В.1.15) совпадает процессом

М.Лазя (В.1.7) [447,448].

Возможны и другие итерационные процессы, обеспечивающие вычисле­

ние по неявной схеме (ВЛ.13).

Сведение к задаче Коши по параметру использовалось и для доказа­ тельства существования и единственности решений некоторых классов уравнений [75,137,371,372].

В нелинейное уравнение (1-1-4), не содержащее параметра, он может быть введен так, чтобы при Р = Р0 уравнение вида (1.1.1) имело известное решение Х (0) , а при Р -Р п уравнение превращалось в исходное. Различные способы введения параметра рассматривались в работах [75, 366, 481, 476, 48, 236]. Введение параметра позволяет сформулировать задачу Коши вида (1.1.6) и на основе ее интегрирования от Р0 к Р„ различными мето­ дами строить различные итерационные процессы нелинейного уравнения (1.1.4). Эти исследования и развивают идею высказанную еще Лаэем в его основополагающей статье [447]. Оно из таких исследований, принад­ лежащее М.К. Гавурину [75], подробно рассмотрено нами во Введении. Развитие такого подхода к итерационным процессам дано в [462].

Как уже отмечалось во Введении, изложенные здесь формы метода про­ должения по параметру легко переносятся на нелинейные краевые задачи, если считать, что Р (X, Р) представляет оператор краевой задачи, включаю­ щий ее уравнения и граничные условия, а дифференцирование в соотноше­ ниях (1.1.5), (1.1.6) понимать в смысле Фреше.

Дополнительные указания на литературу по методу продолжения реше­ ния по параметру можно найти б монографии [481].

Г.2. Продолжение решения в окрестности особых точек и проблема выбора параметра продолжения

Эти вопросы подробно рассмотрены в § В.2 Введения и в гл. 1,2. Здесь мы укажем на работы, в которых получены или использованы отдельные результаты.

Различные способы классификации особых точек восходят еще к рабо­

147,212,53] идр.

Классификация особых точек в рамках предложения о равноправии неизвестных и параметра дана в работах [353, 113, 114, 357, 358, 115]. Само же это предложение впервые, по-видимому, было высказано в рабо­ тах [493, 245]. Однако, как показано в [353, 113, 115], реализация его невозможна при разрешении линеаризованной системы (1.1.7) методом исключения.

Смена параметра продолжения в окрестности предельной точки разра­ ботана Д.Ф. Давиденко [136] для частного случая, когда вес миноры рас­ ширений матрицы Якоби не равны нулю. В этом случае уравнения продол­ жения принимают форму (В.2.11). В [353, 113, 114] показано^что для реализации такой смены параметра достаточно, чтобы только <1с1 (У*) ^ 0.

Вообще, как отмечалось в обзоре [111], выбор подходящего параметра продолжения является одним из центральных моментов, обеспечивающих

успешное продолжение решения в окрестности особых точек. Примеры различного выбора параметров продолжения можно найти в работах [434, 377, 322, 348, 54,323, 170,94, 204, 385,57,228,123, 227] и многих других. Например, в статьях [57, 58, 55, 56, 168] в качестве параметра продолже­ ния принимается та компонента искомого вектора, которая наиболее быстро менялась на предыдущем шаге.

В статье [69] в рамках непрерывного продолжения было высказано предложение осуществлять продолжение решения вдоль кривой решений К в пространстве Кт+1 координат и параметра нагрузки. Причем в качестве параметра продолжения предложена длина этой кривой. Однако, как пока­ зано в § 1.1, реализация алгоритма продолжения, когда для решения системы (1.1.7) используется метод исключения Гаусса, фактически сво­ дится к использованию в качестве параметра продолжения одной из неиз­ вестных.

Аналогичное предложение в рамках алгоритма дискретного продолже­ ния высказано в работе [539]. Однако его реализация такова, что факти­ чески вводится параметр длины касательной к кривой в предыдущей точке.

Рикс [493-496] поставил вопрос о выборе такого направления продол­ жения, которое обеспечивало бы наибольшую обусловленность решения линеаризованной системы (1.1.7). Эта система была дополнена уравнением

Входящие в это уравнение компоненты а,, 1= 1,..., т+ 1, вектора а определялись из условия максимума меры обусловленности системы (1.1.7), дополненной условием (1.2.1). В качестве этой меры была принята величина определителя, отнесенная к произведению квадратичных норм его строк. В результате было показано, что наибольшую обусловленность обеспечивает движение в направлении по касательной к кривой К.

Геометрическая интерпретация дополнительных условий работ [539, 493] дана также в [353, 113, 502], где сформулированы предложения по упрощению этих условий.

Предложения о дополнении системы (1.1.7) вспомогательным уравне­ нием, обеспечивающим возможность ее решения в окрестности предель­ ной точки, высказывались также в работах [377, 348,404].

В [353, 113, 362, 365] показано, что оптимальный параметр продол­ жения может быть реализован только на основе отказа от разрешения системы (Ы .7) методом исключения и использования для ее решения метода, реализующего равноправие неизвестных и параметра. Этот вопрос также подробно изучен в § 1.4. Из него следует, что предложения Вемпнера [539] и Рикса [493—496] фактически реализуют близкий к оптималь­ ному параметр продолжения решения. И этот параметр тем ближе к опти­ мальному, чем меньше шаг вдоль него.

Отметим здесь также недавно появившиеся работы [397, 535, 536, 537], содержащие обзоры зарубежных исследований и предложения по реализации идей Вемпнера и Рикса в рамках нелинейных задач метода конечных элементов. Различные аспекты применения метода продолже­ ния решения по параметру при численном анализе нелинейного деформи­ рования оболочек обсуждены в обзоре [118].