книги / Проблемы нелинейного деформирования. Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела

7. Переход к следующему интервалу ДХ: ?(*+!) = с ^ +1), повторение вычислений, начиная с п. 3 с заменой А: на к + 1.

Хотя модифицированный метод Эйлера приводит к накоплению мень­ шейошибки, чем метод Эйлера, но при достаточно большом числе шагов по X ошибка все же может оказаться существенной.

Дальнейшего уменьшения ошибки можно достичь двумя путями. Один из них - повышать порядок точности явных схем, для чего можно восполь­ зоваться методами типа Рунге —Кутта или Адамса - Штермера. Построен­ ные на их основе алгоритмы продолжения решения нелинейной краевой задачи по параметру будут аналогичны только что построенным. Однако такой путь требует дополнительных ресурсов памяти ЭВМ. Второй путь — использование неявных схем, т.е. переход к дискретному продолжению

итерации. Как и при непрерывном продолжении, индекс ” (0 ” будет ука­ зывать на принадлежность к /-му участку на интервале |30 < 0 <0дг.

Как видно из § 3.2, на каждой итерации приходится решать линеаризо­ ванную краевую задачу (3.2.3)., (3.2.4). Так как она полностью совпадает с задачей (3.3.1)-(3.3.3), то и алгоритм решения ее методом ортогональ­ ной прогонки не отличается от изложенного в § 3.3. Этим алгоритмом мы

ибудем пользоваться. Введем обозначения

хю=хсгЮ,рЮ), М ® = м & ю ,р Ю ) ,

Пусть для предыдущего значения X, равного Х*_х = X* - ДХ, известны: вектор-функция 2(0) 1хА_ 1, которая является решением нелинейной кра­

евой задачи (3.1.1), (3.1.2), и соответствующее значение параметра задачи Р = Р (ц - 1 ) ; вектор-функция г (0) 1\к_ 1>являющаяся решением линеари­

зованной краевой задачи (3.1.7), (3.1.8) приХ = Х*_!, вектор с (д/) 1хА;_ 4

произвольных постоянных интегрирования однородной части общего ре­ шения этой задачи на участке 0лг-1 < 0 (3.3.39) и вектор С(д/)1хл_ 1

(3.3.35), который является отображением вектор-функции 2 (0 )1 \к_ 1 в

тора с (ту) 1хЛ_ 1 и поэтому известен вместе с этам вектором.

Итерационный процесс при X = Л* будет состоять из следующих этапов.

1.Задание начального приближения (/ = 0)

^(0)=^1хЛ_ 1 + АХ -2 и л_ 1, Р (0)=Р(Л_ 1) + Д Х р (* _ 1),

2.Итерационный процесс

2.1.Прямой ход прогонки - построение по участкам матриц общих решений начальной задачи

и-Ц)

— = - 1)20 ) +Л/0 -1 )р 0) + ^

(3.4.29)

Лж®

В результате получаем матрицы общих решений и матрицы ортогоналиэациивида (3.3.21)

2.2. Удовлетворение граничным условиям при Р = Рм (3.3.37)-(3.339): 0 ® = 0® , Фк). ( 7 0) = М>0), <<0 * =» - в 2 (й г,ОТ(Ри).

23. Использование дополнительного условия вида (1.2.19), (3.2.23):

построение общих решений

то вычисления, начиная с п. 2.1, повторяются при/, равном /' + 1 •

юз

Впротивном случае можно считать, что итерационный процесс сошелся

ипринять решение в виде

Эти векторы и вектор-функции используются для задания начального приближения в соответствии с п. 1 для ХЛ+, = X*. + ДХ.

Другие дополнительные условия из рассмотренных в § 1.2 изменят в этом итерационном процессе только вычисления в п. 2.3. Здесь же мож­ но использовать и условия для выбора шага продолжения вида (1.2.59).

Для того чтобы изменить процесс в соответствии с условием (1.2.29),

Тогда процесс, геометрически аналогичный в К/+1 процессу, изображен­ ному на рис. 1.7, получается путем замены дополнительного условия (3.4.32) на следующее:

Обратимся теперь к процессу (1.2.22), (1.2.23). Наличие неоднород­ ных условий в исходной нелинейной краевой задаче не позволяет прово­ дить нормирование векторов в пространстве К /+ |. Этому препятствует наличие составляющей г (,+2* (0) в представлении решения (3.2.9). Одна­ ко, главное преимущество процесса (1.2.22), (1.2.23) в том, что она поз­ воляет обеспечить шаг г. = АХ по кривой К '€ К.,+ 1 с заданной точностью. Для нелинейных краевых задач этого же эффекта можно добиться соот­ ветствующим выбором множителя а ^ в представлениирешения в виде

« $ > к 4 % и ( 0 % - С ® ,) к (С & -С « 1 >

знак радикала должен совпадать со знаком е. Если теперь в итерационном процессе в § 2.3 вычислить а ^ по (3.4.43), то получим такой алюритм. который обеспечивает сохранение заданной величины шага ДА при дви­ жении по кривой К, являющейся отображением в К /^ функционального множества решений нелинейной краевой задачи.

Примеры применения построенных в этой главе алгоритмов непрерыв­ ного и дискретного продолжения решений нелинейных краевых задач рассмотрены в следующей главе.

В заключение этой главы обратим внимание читателя на ту роль, кото- • рую сыграл в построении алгоритмов продолжения решения нелинейной краевой задачи факт соответствия (3.1.22) между функциональным мно­ жеством решений задачи {2, Р }и кривой С'(\) в векторном пространстве &1 + 1 малой размерности. Из этого факта, в частности, следует одинако­ вость топологических свойств {2 , Р) и С(А). А эти свойства у кривой С(Х) значительно проще, чем общие свойства множеств в функциональном пространстве, хотя бы потому, что оно бесконечномерно. Это обстоятель­ ство можно эффективно использовать при исследовании общих, свойств механических объектов, поведение которых описывается одномерными нелинейными краевыми задачами с параметром.

Заметим, что недеформированное состояние арки, заданное соотношениями (4.1.1) —(4.1.3), является точным решением уравнений (4.1.12) при Чп~Чт ~ 0, что легко проверить, подставив в (4.1.12) следующие функции недеформированного состояния:

Для сведения уравнений (4.1.12) к системе нелинейных дифференциаль­ ных уравнений примем в качестве основных неизвестных переменные х, у,

ния эластики гибких нерастяжимых стержней Л. Эйлера. Отметим также, что для уравнений (4.1.14) недеформированное состояние арки (4.1.13) также является точным решением при д„ = ят= 0.

С использованием этих величин уравнения (4.1.14) приводятся к виду (знак ” ° ” у безразмерных величин ниже везде опущен)

Здесь знак ” 1 ” обозначает дифференцирование по безразмерной коорди­ нате вдоль недеформированной оси арки 5° =5/К .

Заметим, что форма недеформированной оси арки в этих уравнениях представлена единственным слагаемым © о, что получилось в результате использования координат х, у и угла 0 с осью х деформированной оси арки в качестве неизвестных взамен обычных нормальных и> и тангенциальных и перемещений и угла поворота оси арки при деформации. На рис. 4.2 показа­ ны два возможных разложения вектора перемещения 17 либо на составляю­ щие х — х 0, у — у 0 , либо на и, и\ Ясно, что последнее разложение опреде­ ляется системой координат, связанных с недеформированной аркой, и поэтому дает определенные преимущества, когда деформированное состоя­ ние близко к недеформированному, т.е. при малых и, ж При больших же перемещениях, как уже отмечалось, такое представление приводит только к усложнению исходных соотношений.

Рассмотрим теперь граничные условия. Отметим сразу, что использова­ ние в качестве независимой переменной координаты 5 вдоль недеформиро­ ванной оси арки ставит в соответствие каждому фиксированному значе­ нию $ некоторую материальную точку оси арки, и это соответствие не нару­ шается в процессе деформации. Другими словами, координата 5 является лагранжевой координатой. Это обстоятельство позволяет просто формули­ ровать граничные условия в случаях, когда связи или краевые усилия накладываются на точку оси арки, которая в процессе деформаций остается неизменной. Наиболее распространенные виды такого закрепления конца