книги / Основы дискретной математики
..pdf
|
|
|
- II - |
|
|
|
|
|
инверсией соответствующих пар графика Р |
„ Вели Р ш{< |
|
||||||
то |
< d , c > } - |
Композицией графиков Р |
и Q |
назы |
||||
вается такой график R= P°Q , что < x , y > e R тогда и только тогда, |
||||||||
когда есть |
такой элемент |
2 |
, что<к,г> *Р % a < z . y > e |
Q |
||||
Диагональный график - график вида |
= /<*,х-> <у,у;>...} |
для всех |
||||||
x . f €Л7. График называется функциональным, |
если он не |
содержит |
||||||
пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами. |
||||||||
График называется инъективным, если он не содержит |
пар с одина |
|||||||
ковыми вторыми в различными первыми компонентами. |
|
|
||||||
Декартовым произведением множеств |
А жб |
называется множест |
||||||
во |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A * & s { < a . 6 > \ а е А , ё е в } . |
|
|
|||||
Декартово произведение множеств A f,. , |
А п |
|
|
|
||||
4 ' “V |
' АП * i < a r аг ...ап >1а-,*А1. а г £ А , ... А п }. |
|||||||
Соответствием называется упорядоченная тройка множеств |
|
|||||||
< Р , Х , У > |
такая, ч г о Р £ |
Л |
* У |
, где множество |
X называется |
|||
областью отправления, множество У |
- областью прибытия. |
|
Свойства соответствий
1.Соответствие называется функциональным (функцией), если его график функционален.
2.Соответствие называется инъективным, если его график ■нъективен.
3.Соответствие называется всюду определен.^:, если проек ция его графика на верную ось совпадает с областью отправлен»!.
4.Соответствие называется оюрьектишым, если проекция его графика на вторую ось оовоадает с областью прибытия.
5.Ооответствяе называется биективным (взаяшо-одноэяачным), если оно функционально, инъективно, всюду определено я сюръектив
но. |
|
|
|
|
Отношением называется пара вида У7» <Ф,м> |
такая, что |
|||
ф £ М* |
, где |
Ф - график, a flf - то множество, |
между элемента |
|
ми которого |
существует данное отношение <Р . Отношение называет |
|||
ся полным, |
если |
Ф -М . Отношение называется отношением равенст |
||
ва, воли |
Ф * |
. Отношение называется отношением неравенства, |
- 12 -
если Ф ~ М \ йм* Если <х,у > е Ф из <Р, то отношение между элементами записывается х 4>у .
|
|
Операции над отношениями |
Пусть |
< Ф , М > f t = < ^ , м > , то L P u t - |
|
= < ф и Я , М > |
Ч>п Ъ - < ф п R , |
$ = < М 2\ Ф , М > V?- I = < ср -/t м >
Ч>\1 - < с р ^ Я , М > Z = < Ф ° Я , М > .
Основные свойства отношений
I* Рефлексивность. Для всех Л |
справедливо |
x*fxt |
или |
|
|
||||||
* * « ■ * • . |
|
|
|
не |
выполняется к Ч>% |
» |
|||||
2. |
Антирефлексивность. Для всех Л |
||||||||||
или Дм а Ф - Ф . |
|
|
|
|
|
|
|
_ 1 |
|
||
3. |
Симметричность. Если |
ХУ*У , то У У ’Х |
, или ср= <р |
. |
|||||||
4. Антисимметричность. Если Х У У |
и |
х ^ У |
, то 1(УФ *), |
|
|||||||
или |
/? Ф ~ 1= |
. |
|
, то 1(У*Рх) |
» или Ф п Ф |
- Ф |
* |
||||
5. |
Асимметричность. Если Х У ’У |
||||||||||
6. |
Связность. Если х ф у |
, т о Х У У |
или у ^ х |
, или |
|
|
|
||||
Л/2\ & # € Ф и Ф |
f • |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Транзитивность. Если ХУ*У |
и ifУ'Х |
, то х v’Z |
, или |
|
|
Ф
Отношение можно задавать с помощью матриц. В общем случае можно представить также п.-арные отношения, что Ф £ м Отношение называется отношением эквивалентности, если оно реф лексивно, симметрично и транзитявно. Отношение эквивалентности осуществляет разбиение множества, на котором оно определено, на элементы, называемые классами эквивалентности. Отношения порядка - это такие отношения, которые обладают сразу рядом свойств (табл. I.I).
- 13 - |
Таблица 1.1 |
Порядок
Нестрогий
(частичный)
Совершенный
нестрогий
Строгий
Совершенный
строгий
(линейный)
Обозна |
РефяекАнти» |
Анти |
Связ |
Транзи |
|
чение |
сжв- |
рефлек |
симмет |
ность |
тивность |
порядка |
ность |
сивность ричность |
|
|
|
Ч. |
♦ |
|
+ |
|
♦ |
i |
|
|
+ |
+ |
|
ч |
|
♦ |
<+) |
|
|
ч |
|
+ |
Ы |
♦ |
|
|
|
|
|
|
+ - обладает Детым свойством; (+) - свойство, выводшое ss имеющихся.
16. Изобразить графически декартово прожвведение множеств:
а) |
А*{х\2 СХ*Ч, |
х е * } |
|
|
■ 6*{Ш5*У*8. уе*}; |
||||
б) |
& s { у 13^ у $ 8, у б & } |
a |
A*{x i 2 * x <t , |
x e R } , |
|||||
в) |
-СО,4 } |
а С О . О}: |
|
г |
|
|
|||
г) |
{/.2,3}, {2,3} |
ж |
{3,*/У; |
|
|
||||
д) |
{fi |
и |
{1.2.3}-. |
|
|
|
|
|
|
в) |
R Ж R ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
х) |
Я и N ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
/V в |
Я ; |
|
|
|
|
|
|
|
х) |
R и |
/V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Доказать, что |
|
|
|
|
|
|
||
а) |
(А * В ) а ( С * # ) £ |
(А и С)% ( B U D ) ; |
|
||||||
б) (А и 8 ) * С * ( а * С ) и ( & * С ) ; |
|
|
|||||||
в) |
А * ( В и С ) = ( А л в ) и ( А * С ) ; |
|
|
||||||
г) |
( А \ В ) х с - (А * В ) \ ( 8 * С ) ; |
|
|
||||||
Д) |
Аж ( В *С)= (а х |
В)\ (А *С) . |
|
||||||
|
18* Какими свойствами обладают соответствия, представленные |
||||||||
на рис. 1.7? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
19. Д а ш |
соответствия / |
к |
у ) • Построить грьфи |
соответот |
||||
вий ¥о J ) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) |
рис. 1.8; |
|
|
|
|
г) |
pic. I.II; |
|
|
б) |
ряс. 1.9; |
|
|
|
|
д) |
рис. I.12; |
|
|
в) |
ряс. I.I0; |
|
|
|
|
о) |
рис» I.I3. |
|
I* -
ж
P*>. 1.8 |
Гмо» 1.9. |
* п и
Ьп . 1*12*
20.Ujon зят ооотатт
in» о о о п го гш ча
21. Др«др«?* ООМГ—T IM iri лримр о о о тш о гш ж оЬъяо-
ь (тайж. 1 .2).
to Функ—
pe- ц*о- ш - ваяь-
№вов
a
ь
ь
г
д
е
УС
У
и
X
J
М;
Н
0
п
р
с
т
У
9
X •
ч
НефункИньежНе- |
В о щ у |
Не вса |
Сйрдек ■Не— |
||
циояалъткв- |
нвъекопреде ду оп |
тжвное оюргеж |
|||
вое вое |
тшнов ленное ределен' |
|
тквное |
||
|
|
|
вое |
|
X |
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
||
X |
X |
|
|
|
|
|
X |
X |
|
|
t x |
X |
|
X |
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
X |
X |
||
|
|
|
|||
|
|
|
X |
|
X |
|
|
|
|
|
X |
X X X
а)
б)
в)
а)
б)
в)
-1 6 -
22.свойствами обладает отношение между х и у ?
х**2у, (х .у е х / ); |
г) |
5г+у-£, (х е л / , y e R ); |
X * + y 2 >0, ( Х . у €R)i |
Д) |
к * У = 2 , ( x , y € Q \ A / ) ; |
l x - y 1>,5, ( Х . у е я ) ; |
е) |
~ = 2 , (х е£, у е л/ + ) . |
|
|
23. Какими свойствами обладает отношение: |
||||
А |
|
а) "быть братом" на множестве лвдей; |
||||
|
б) "быть подмножеством" на семействе мно- |
|||||
|
|
|||||
|
|
жеств; |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
"быть делителем" на множестве натураль |
||
|
|
ных чисел? |
|
|
||
|
|
24. |
Привести содержательные примеры тернар- |
|||
Рис. I.I4* |
шх отнесений. |
|
||||
25. |
Изобразить графически отношения: |
|||||
|
|
|||||
х х у , |
(ж ,у е fi); |
г) |
х =5 |
( y e / v ) ; |
||
х * у |
( х , у е Я ) - |
д) |
х 2+ у 2»1 |
( х , y e R ). |
X *2у ( х . у е А/),
26.Привести содержательный пример отношений, обладавших
всею свЯстааш (тайл. 1.3). |
Таблица 1.3 |
-17 -
27.Правеora содержательный пример отделена!:
а) совершенного нестрогого порядка, б) строгого порядка.
Решетки
Множество А о заданным на нем частичным порядком называет ся чаотично упорядоченным. Элемент х е А называется наибольшим
(наименьшим), |
если для воех и справедливо, что а е |
А ^ |
х |
||||||
( х ^ а е А |
). Минимальным (максимальным) элементом частично |
||||||||
упорядоченного множества А |
называется такой элемент |
б е А , |
когда |
||||||
в А нет |
элемента строго большего (строго меньшего) |
$ . |
|
||||||
Пусть дано ф я в Я А |
, где А - частично упорядоченное мно |
||||||||
жество. Мажорантой б |
называется такой элемент а е А , где |
а. |
|||||||
является |
наибольшим элементом для |
3 |
, минорантойЛ назовем такой |
||||||
элемент |
б е А |
» когда б является наименьшим элементом для |
б . |
||||||
Множество мажорант |
& |
образует верхние грань множества в . |
|||||||
Множество минорант |
3 |
образует нижнюю грань множества в . Наи |
|||||||
меньший из элементов верхней грани |
В |
называется точной верх |
ней гранью ( s u p le n u m ) - S u p В. Наибольший из элементов нижней грани ъ З называется точной нижней гранью ( i n f i m u m ) - I n f б .
Частичный порядок, заданный на множестве; в котором для лю бых двух элементов а,6еА существует Sup (а . б ) и I n f (а . б)» называется решетчатым порядком, а само множество - решеткой.
Алгебраическое |
представление решетки |
Введем обозначении: |
|
S u p ( a , S ) = a и ё , |
1 р / ( а , б ) = а . п ё , |
(в данном случае символы U,f) - |
это не знаки операций объедине |
ния и пересечения множеств, а знаки бинарных операций, произво димых над елементами частично упорядоченных множеств).
Решеткой называется такое частично упорядоченное множество, над элементами которого справедливы следующие законы для бинар ных операций:
I. Коммутативный а п € = б п а * сг и б = б о а ;
- 18 -
2. Ассоциативный. |
а |
п (б л с ) = ( а п 6 ) л с , а и ( & и с ) = |
|
» (а и ё ) и с ; |
|
|
|
3. Идемпотентности. |
a n c z = a . а. и а, * |
а. ; |
|
4. Поглощения, а |
о ( а и $J= CL , а и (а. л |
& ) - <х . |
|
Решетка называется дистрибутивной, если |
справедлив, хроме |
того, дистрибутивный закон.
5. а п (ё ис)=(а пё>)и ( а п с ) , аи(Впс)»(аоб)п(аис).
Решетка называется ограниченной сверлу (снизу), если она имеет максимальный (минимальный) элемент. Ранетка ограничена, если она ограничена сверлу и снизу.
Дополнением любого элемента а е А называется такой элемент а , если О- ид. = { , а п а * О , где / и о - соответственно обозначение максимального и минимального элемента ограничений решетки.
Решетка называется решеткой с дополнениями, если кахдый элемент решетки имеет хотя бы одно дополнение. Ограниченная дистрибутивная решетка о дополнениями называется булевой решет кой, которая фактически задает булеву алгебру.
28. Представить в гаде диаграммы Хассе множества, изображенаыэ на рис. I.I5.
Рио. I.I5.
29. Найти максимальный, мквимальный, наибольший и наименьший
элементы для множеств, представленных диаграммами Хасое
рис. I.I6.
30. Найти максимальные, минимальные, наибольшие и наимень
шие элементы, а также Sap б |
и I n f 3 для множеств, представ |
ленных диаграшамн Хаосе рис. |
I.I7. |
31. Доказать, что:
а) любое линейно упорядоченное множество еоть решетка;
- 19 -
|
|
Рис. I.17. |
|
(5) врешетке любо! максимальный элемент является нанболь- |
|
янм, |
а яхк>1 минимальные - наименьшим; |
|
|
в) |
в любов конечно! решетке существуют наибольшие и наимень |
шие |
элементы, |
|
|
32. |
Привести примеры решеток: |
|
а) беэ наибольшего элемента, но с наименьшим элементом; |
|
|
б' |
зэ наименьшего элемента, но с наибольшим элементом; |
|
|
Jes наибольшего и наименьшего элементов. |
|
33. |
Являютоя ли множества, представленные диаграммами lacce |
рис. I.I8: |
||
|
а) |
решетками; |
|
б) дистрибутивными решетками; |
|
|
в) |
булевыми решетками? |
- 20 -
О к
е |
ж |
з |
и |
Рже. 1Л8. |
п |
34.Доказать, что во всякой булевой алгебре А :
а) существует наименьший элемент |
О и наибольший элемент |
|
б) для всякого а |
дополнение д- |
единотвенно; |
в) а п £ s а и £ |
и а и £ * а п £ . |
•«к