книги / Метод конечных элементов в динамике сооружений

2.4. Анализ условий сходимости

Метод конечных элементов относится к числу приб­ лиженных, поэтому необходимо установить условия схо­ димости процесса вычислений к истинному значению ис­ комых величин. Для анализа сходимости целесообразно использовать энергетический метод. После решения дан­ ной задачи будут найдены действительные перемещения, скорости и ускорения всех узлов соответствующей сетки и может быть получена полная энергия системы. Сходи­ мость процесса будет обеспечена, если полная энергия системы обращается в минимум. Величина энергии за­ висит от тех функций, которые были приняты для опи­ сания деформаций конечного элемента. Например, нель­ зя принять для описания перемещений такие функции, при которых в элементе возникают деформации, хотя этот элемент имеет перемещения только жесткого тела. Следует подбирать функцию перемещений так, чтобы при постоянной деформации внутри конечного элемента перемещения узлов обеспечивали условия такой дефор­ мации. И, наконец, должна быть обеспечена непрерыв­ ность перемещений на границах между элементами. Та­ ким образом условия сходимости для статических задач зависят, главным образом, от свойств выраженных функций для перемещений конечного элемента. В осо­ бенности следует обращать внимание на непрерывность перемещений на границах конечных элементов.

Разрыв в перемещениях на границах элементов приводит к увеличению деформации до бесконечности,

аэто может вызвать существенное изменение энергии.

Впределе при уменьшении размеров элементов нераз­ рывность в перемещениях соблюдается и поэтому обес­ печивается сходимость. Для динамических задач крите­ рии сходимости должны быть дополнительно установле­ ны рассмотрением изменения перемещений системы в процессе всего времени движения и особенно в тех случаях, когда возможно возникновение эффекта неус­ тойчивости движения.

Не всегда уменьшение размеров элементов в динами­

ческих задачах обеспечивает повышение точности и сходимость процесса. В задачах динамики затрудни­ тельно дать общие критерии сходимости, кроме тех об­ щих, которые были указаны ранее. Поэтому сходимость должна проверяться в каждом конкретном случае. При

использовании шагового метода особое внимание долж­ но уделяться определению интервала времени At, т. е. продолжительности шага. Значение At не может быть одинаковым для разных систем; правильнее будет назна­ чать At в долях от основного периода Т колебаний систе­ мы. При определении низшей частоты изменение At не оказывает существенного влияния. Однако частоты обер­ тонов весьма чувствительны к изменению размера шага. Сходимость очень часто проверяется сравнением конеч­ ных результатов, полученных при разных шагах.

Г ЛАВА 3 СТЕРЖНЕВЫЕ СИСТЕМЫ

3.1. Уравнения плоской задачи

Методы расчета стержневых систем разработаны, как известно, весьма подробно и изложены в классичес­ ких трудах М. М. Филоненко-Бородича [23], Б. Н. Жемочкина [6], И. М. Рабиновича [12], А. Ф. Смирнова [16], Н. К. Снитко [17] и др. Однако применение МКЭ позволяет вести расчеты, не делая допущения о том, что размеры поперечного сечения элемента малы по сравне­ нию с его длиной т. е. стержневые системы, балки, арки, фермы и рамы могут быть рассчитаны по уравнениям плоской задачи.

Наиболее удачным конечным элементом для реше­ ния плоской задачи является треугольный. Для точек внутри треугольного элемента компоненты перемещений выражаются линейными функциями от координат точки

и = ах + а2х + а3у, v = ad + a6x~h аду; (3.1)

ai—ссв— коэффициенты, являющиеся функциями смещений вершин треугольника.

Для определения этих коэффициентов составляем шесть единичных состояний. В первом единичном состоянии полагаем, что вершина k треугольника получила гори­ зонтальное смещение ujt= 1, смещения остальных вер­ шин — равны нулю. Тогда для определения ai/t, а2л, аз/i получим такую систему уравнений:

деления коэффициентов а»ь(л=*1, .... 6) сводится к по­ строению двух плоскостей, которые имеют нулевые ор­ динаты вдоль линии l—j и ординату равную единице в точке к Это геометрическое толкование позволяет отка­ заться от применяемого обычно в МКЭ прямого реше­ ния уравнений (3.2) и (3.3), так как теперь можно на­ писать уравнение показанной на рис. 4 плоскости и по­ лучить:

где S — площадь треугольника ikj.

Формулы (3.7) описывают перемещения любой точ­ ки треугольного элемента через перемещения его вер­ шин. Определение перемещений вершин треугольного элемента производится вычислением реакций, возника­ ющих в связях, помещенных в вершинах треугольника. Для этого вычисляем деформации по формулам:

U J

Связь между деформациями и смещениями была ус­

Причем

При таком определении матрицы масс сходимость процесса обеспечивается при уменьшении размеров ко­ нечного элемента. Однако существует и другой порядок составления матрицы масс, который молено считать бо­ лее удачным. Если масса распределена по всему тре­ угольному элементу, то силы инерции в каждой точке будут

где [N] — матрица функций места.

По этой матрице определяются смещения точек внутри элемента через смещения его вершин аналогично тому, как это было сделано в формулах (3.7); каждая функ­ ция Ni представляет собой линейную функцию от ко­ ординат точки [см. формулы (3.6)], поэтому для матри­ цы [W] получаем формулу

По отношению к данному треугольному элементу си­ лы, сосредоточенные в узлах, являются внешними сила­ ми, поэтому для получения матрицы масс, которая со­ ответствует массам, сосредоточенным в узлах, подсчи­ таем работу сил инерции, сосредоточенных в узлах на единичных возможных перемещениях:

и работу распределенных сил по треугольному элементу

1Р*= Iffpd [М {в}' [N]Tdxdy\\