книги / Теоретическая механика и её приложения к решению задач биомеханики
..pdfОна складывается из кинетиче ской энергии поступательного движения тела со скоростью дви жения центра масс и кинетической энергии вращательного движения вокруг относительной мгновен ной оси СР\ проходящей через центр масс.
10.4.Плоскопараллельное движение твердого тела
Вглаве 9 уже было дано определение плоскопараллельного движения тела, и на рис. 9.5 изображено сечение тела плоскостью,
вкоторой оно движется. Кинетическая энергия тела определяется также по теореме Кёнига:
Г = -М ос + -Л у ю 2, |
(10.10) |
2 2
однако в отличие от (10.9) в (10.10) осевой момент инерции J a >есть постоянная величина, так как ориентация подвижной оси Cz' не ме няется по отношению к телу.
10.4.1. Пример. Кинетическая энергия идущего человека
Определить кинетическую энергию идущего человека при за данной кинематике ходьбы. Принять плоскую модель ходьбы. Че ловека представить состоящим из п сегментов, сочлененных цилин дрическими шарнирами. Более подробно модель человека обсужда ется в примере 8.3.1.
Сначала найдем кинетическую энергию одного сегмента чело века. Для удобства записи индекс сегмента писать пока не будем. Сегмент тела совершает плоскопараллельное движение. В теории ходьбы принято в качестве полюса выбирать не центр масс, а так на зываемый проксимальный сустав. Так, для бедра проксимальным является тазобедренный сустав, а для остальных сегментов — сус тавы, расположенные ближе к тазобедренному. Этот сустав обозна чен ниже как точка О.
Воспользуемся формулой (10.10), выразив и с через скорость полюса 0 (ис = о„ + \5'с) и осевой момент инерции J c через момент
ill
инерции относительно оси, проходящей через полюс О
(Jc = J Q — Ма2, а = ОС):
Т = ^М (\50 + и ')2 + | ( У 0 - М а 2)ю2
Так как относительная скорость о ' = соа, то после раскрытия скобок формула приводится к виду
Т = — M vl + —J 0(o2 + M v0 -йс. |
(10.11) |
|
2 |
2 |
|
Таким образом, если за полюс принимается не центр масс систе мы, то в отличие от (10.10) в формулу кинетической энергии добав ляется слагаемое, содержащее скорость полюса и относительную скорость центра масс. В целом для человека кинетическая энергия найдется как сумма кинетических энергий всех его сегментов:
т = ^2/~Z^k^Ok |
+ ' ^ — Joktok |
+ ^ 2 ,M kV>0k |
( 10.12) |
к= 1 2 |
*=i 2 |
*=i |
|
где Мк— масса к-то сегмента,
— скорость проксимального сустава,
J0k— момент инерции относительно оси, проходящей через проксимальный сустав,
со к — угловая скорость сегмента,
и а , — скорость центра масс сегмента, обусловленная его вра
щением вокруг проксимального сустава.
10.5. Работа и мощность силы
Рассмотрим характеристики воздействия силы на материаль ную точку, которые определяют изменение ее кинетической энер гии. Кинетическая энергия материальной точки — скалярная мера движения, и ее изменение определяется изменением модуля скоро сти. На модуль скорости влияет лишь составляющая силы, направ ленная по касательной к траектории точки.
Элементарная работа силы равна проекции силы на направле ние элементарного перемещения точки приложения силы, умно женной на это перемещение (рис. 10.3):
dA= Fxds. (10.13)
Следует сразу обратить вни мание на то, что такая запись не означает, что dA — дифференци ал некоторой функции, что спра ведливо лишь для так называемых потенциальных сил. Из (10.13) по
лучается выражение элементарной работы через модуль силы F:
dA=Fdscosa, |
(10.14) |
где а — угол между направлением силы и направлением касатель ной к траектории точки приложения силы. Работа dA положительна, если угол а острый, и отрицательна, если тупой. Элементарная ра бота равна Fds, О, - Fds соответственно при углах а = 0,90°, 180°.
Введем вектор элементарного перемещения dr, модуль кото рого |<ir| = ds. Тогда (10.14) есть скалярное произведение двух век торов:
dA—F d F . |
(10.15) |
По свойствам скалярного произведения запишем dA в виде вы ражения
dA = Fxdx + Fydy + Ftdz, |
(10.16) |
которое называют аналитическим выражением элементарной рабо ты. В (10.16) Fx, Fy, Fz— проекции силы на оси прямоугольной де картовой системы координат, a dx, dy, dz — дифференциалы коор динат точки приложения силы.
Для того чтобы найти работу А на конечном перемещении, уча сток траектории точки приложения силы М0 М разобьем на п частей и вычислим предел интегральной суммы:
А = U m T F ^A s,, |
(10.17) |
л-*оо |
|
где Ask — длина к-го участка, Fzk — касательная сила, действующая в любой точке этого участка. Формула (10.17) определяет криволи нейный интеграл по траектории М0 М
m
А = J Fxds. |
(10.18) |
( М 0 М ) |
|
Работа на конечном перемещении равна криволинейному инте гралу от элементарной работы по этому перемещению.
Криволинейный интеграл сводится к определенному в двух случаях:
1. Известна зависимость FTот криволинейной координаты s:
s |
|
А = jF ,(s)d s. |
(10.19) |
So |
|
2. Известна зависимость/? и скорости точки приложения силы
от времени t:
t
A = j F z(t)o(t)dl. |
(10.20) |
to |
|
В(10.20) учтено определение численного значения скорости
о= ds/dt.
Мощность характеризует быстроту совершения работы. Она равна отношению элементарной работы к элементарному проме жутку времени:
N = — . |
(10.21) |
dt |
|
Если сюда подставить dA из (10.15) и учесть, что dr/dt = о, то получится формула
N = F -\5 . |
(10.22) |
Мощность равна скалярному произведению двух векторов: вектора силы и вектора скорости точки приложения силы. По опре делению скалярного произведения
N = F и cos а, |
(10.23) |
N =Fxu x + F yu у + F zv z. |
(10.24) |
Единицами измерения работы и мощности в системе СИ являют ся соответственно джоуль и ватт, производные от основных единиц:
1 Дж = 1 Нм,
1 Вт = 1 Н-м/с.
10.6.Примеры вычисления работы
10.6.1.Работа силы тяжести
Пусть материальная точка веса Р переместилась в однородном
поле |
сил тяжести |
из точки |
MQ(x0, y0,z 0) в точку М(х, у, г) |
(рис. |
10.4). |
|
|
Воспользуемся |
аналитиче |
||
ским |
выражением элементарной |
||
работы (10.16) и |
учтем, |
что |
|
Рх =Ру = 0, Рг = -Р:
dA = P2dz = —Pdz.
Работа на конечном переме щении в этом случае находится как определенный интеграл:
Z
A = - P j dz = P(z0 - z),
(10.25)
A= ±P h.
Работа силы тяжести матери альной точки равна произведению веса точки на ее вертикальное
перемещение. Работа положительна, если точка перемещается вниз, отрицательна— при перемещении вверх. Заметим, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории точки приложения силы, а определяется ее начальным и конечным положением. Такие силы называются потенциальными.
Для них элементарная работа является полным дифференциа лом от некоторой функции, называемой силовой,
dA = d(-mgz). |
(10.26) |
Для твердого тела силы тяжести всех его частиц можно заме нить одной силой — равнодействующей, приложенной в центре тя жести тела. Тогда полная работа сил тяжести
A = ±Phc, |
(10.27) |
где Р — вес тела,
hc— вертикальное перемещение его центра тяжести.
10.6.2. Работа упругой силы
Рассмотрим частный случай перемещения по прямой линии точки приложения упругой силы (рис. 10.5).
i |
< |
< |
v V |
V V V |
о |
lb, |
X
Я77777777777777777777777777777777. sssssssssssss* |
|
X m |
|
Рис. 10.5 |
|
Работа на конечном перемещении |
|
A = f F xdx, |
(10.28) |
*0 |
|
где Fx — проекция силы упругости пружины на ось х. При линей но-упругих деформациях Fx = —сх (при х = 0 пружина недеформирована),
А = 1 ( х20 - х >), |
(10.29) |
где с — коэффициент жесткости пружины, JC0, х — абсолютные де формации пружины в начале и конце перемещения.
10.63.Работа и мощность силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси
На рис. 10.6 изображена траектория точки приложения силы — окружность радиуса А.
Найдем работу силы при элементарном повороте тела по фор муле (10.13):
dA=Fxds = Fxhd(p.
Так как радиальная составляющая силы и составляющая, па раллельная оси, момента относительно оси z не создают, то
mz(F) M2(Fx) — Fxh> |
(10-30) |
dA = m2(F)dip. |
|
Элементарная работа силы, приложенной к вращающемуся телу, равна моменту силы относи тельно оси вращения, умножен ному на элементарный угол пово рота тела. Если знаки момента и элементарного поворота совпа дают, то работа положительна.
Работа на конечном повороте
А = J m z(F)d(f>. (10.31)
(ф)
Мощность силы |
|
Рис. 10.6 |
|
|
|
dt |
v ' |
dt |
N = mz(F^ja. |
(10.32) |
|
Мощность силы, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на угловую скорость тела.
10.6.4. Работа силы, приложенной к телу, совершающему плоскопараллельное движение
Рассмотрим cHJiyF, приложен ную в точке А плоской фигуры, движущейся в неподвижной плос кости Оху. Центр масс тела лежит в этой же плоскости (рис. 10.7). Счи тая тело абсолютно твердым, вос пользуемся леммой о параллель ном переносе силы. Силу F_ заме ним такой же силой F '= F , приложенной в центре массой па рой сил с моментом т = mc(F).
Свяжем с центром масс систе му координат Cx'y'z', которая дви
жется поступательно со скоростью о с . По отношению к этой систе ме плоская фигура вращается вокруг оси Cz' с угловой скоростью со.
Сила/ 1' совершает работу только на поступательном движении, так как ее момент относитсльно.точки С равен нулю, а пара сил— на вращательном движении. Действие этой силы и пары эквивалентно действию силы./7, и поэтому элементарная работа силы./7
dA = F \5cdt + mcz'(F^<i>dt. |
(10.33) |
В качестве полюса можно взять любую точку тела. Если за по люс принять точку приложения силы, то в (10.33) останется только первое слагаемое
dA= F -\5Adt.
10.7. Пример. Энергозатраты при ходьбе человека
Определить энергозатраты при ходьбе человека, считая его движение и масс-геометрические характеристики известными. Рас смотреть плоскую семизвенную модель человека (рис. 10.8).
Принято считать, что энергозатраты связаны в основном с ра ботой мышц, связывающих сегменты тела человека и создающих моменты (см. рис. 10.8). Тогда энергозатраты на одном шаге опре деляются по формуле
4 = ^ E |
f m*(0<t>*(0dt, |
(10.34) |
*=1 |
о |
|
где х — период ходьбы, п — число исследуемых суставов (в нашей модели п = 6: по
2 тазобедренных, коленных и голеностопных сустава),
(ок — относительная угловая скорость смежных сегментов тела. По условию задачи функции (ok(t) считаются заданными, a milt) надо определить, решая обратную задачу ходьбы. Качествен
но опишем решение этой задачи. Рассмотрим плоскопараллельное движение сегментов тела человека. Для каждого звена можно соста вить 3 дифференциальных уравнения (9.20). В число внешних сил в каждом звене войдет его сила тяжести, реакции сочлененных с ним звеньев (в каждом суставе две составляющие реакции и иско
мый момент мышц — всего 3 неиз |
||
вестные величины). В представ |
||
ленной модели с шестью суставами |
||
число неизвестных сил и моментов |
||
будет равно 21 = 6 х 3 + 3 (к внут |
||
ренним силам добавляются внеш |
||
ние реакции — сила прения |
||
нормальная реакция N |
и момент |
|
опорной поверхности М). Таким же |
||
будет число и дифференциальных |
||
уравнений — по 3 уравнения для |
||
каждого из 7 звеньев. В уравнения |
||
вида (9.20) войдут известные коор |
||
динаты |
центров масс |
сегментов |
Xek(t),yCk(t) и углы их |
поворота |
|
в неподвижной системе координат |
||
фk(t), где к = 1, 7. Еще раз отме |
||
тим, что в (10.34) входят относи |
||
тельные угловые скорости, опреде |
||
ляемые разностями ф*(0 в сосед |
||
них |
сегментах. |
После |
дифференцирования |
указанных |
|
функций получается система 21 алгебраического уравнения, разре шаемая относительно неизвестных сил.
Более рациональным является метод составления уравнений Лагранжа II рода [26], число которых равно числу степеней свободы системы.
Обычно затраты энергии при ходьбе оценивают в относитель ных величинах: делят работу (10.34) на вес человека и длину его ша га. Безразмерные энергозатраты Е* = По данным, приве
денным в работе [13], экспериментальные замеры дают значение Е * = 0,2. Так, при т = 70 кг, L = 0,75 м энергозатраты А человека при обычной ходьбе составляют в среднем на одном шаге 103 Дж. Считается, что человек в день делает 104 шагов. Если перевести энергозатраты на ходьбу в килокалории (1 ккал = 4,18 кДж), то по
лучится, что это составит 246 ккал, т. е. приблизительно 10 % от об щих суточных энергозатрат человека.
10.8.Контрольные вопросы
1.Как определяется работа постоянной по модулю и направле нию силы на прямолинейном перемещении?
2.Каково выражение элементарной работы силы через проек ции силы на оси координат?
3.Чему равна работа равнодействующей силы?
4.Как вычисляется работа силы тяжести и работа силы упруго сти?
5.Какова сумма работ внутренних сил твердого тела на любом перемещении тела?