книги / Тензорные алгебра и анализ

Упражнения

Линейные пространства

1 . Вычислить выражения, содержащие символ Кронекера, 5 /, 5 /6 /, 5 / 6 / 5 / , 5 / 5 /, 6 / А /

2.Записать с использованием соглашений о немых и свободных индексах соотношения:

х, = АшВ " +АшВ‘2+...А,„В~, х2 = А}11В,1 + Ат В”+...А1тВ ",

х ^ А ш В "+ А п1гВ ‘2+...Ат Вт,

Аща'Ь'с1+ 13а*Ь2с*+... АПпа1Ъпс1+

+А ^ а '^ с 2 + А132а1Ь2с3+...А12па,Ьпс2+...+АпяпапЬпсп

3.Доказать, что базис в векторном пространстве не единственный.

4.Доказать, что любые «-мерные векторные пространства изоморфны.

5.Предложить доказательства невырожденности матрицы преобразования базисных элементов векторного пространства с помощью всех данных в пособии определений невырожденной матрицы.

6 . Доказать, что если £, е%„ i=l,..,n — линейно-независимая система векторов и [а} {]> ij=l,.„n — произвольная невырожденная матрица, то

векторы е'} = ау iei также образуют базис в Х„.

7.Доказать, что множество многочленов степени п не образует, а множество многочленов степени не выше п образует векторное пространство.

Т е н з о р ы н а д в е к т о р н ы м и п р о с т р а н с т в а м и

2 1. Доказать spQT= spQ .

2 2 . Доказать справедливость соотношений sp(A B )= (A B ):I =A:B,

sp(ABC) = (A B C ):I = (C A B ).I = (B C A):I = (ABJ:C=A:(B-C).

23.Доказать тождества

аА Ь = А:(Ьа) = (ab):AT.

24.Доказать справедливость тождества

(АВ)Т= А Т-ВТ

2 5 . Доказать

(Т а) г = (Т т) \

где л — целое положительное число.

26. Доказать для симметричного (знак “+”) / кососимметричного (знак

тензора Т равенства ^'у»Лг^7' _

у __£ут?л-/

где и — целое положительное число.

Т е о р и я к о с о с и м м е т р н ч н ы х т е н з о р о в

27. Доказать эквивалентность следующих определений симметричного

а— кососимметричного тензоров).

28.Доказать, что в общем случае

S W * ± W S,

I:W = 0,

S:W = Ot

где S — симметричный, a W — кососимметричный тензоры второго ранга.

29. Доказать, что для тензора третьего ранга справедливо равенство

Тук — T m + Тт + 2/3(T [ij]k + T ftjj) + 2 /3 ( T Clj)k - Т щ ) ,

30.Получить формулу вычисления числа независимых компонент симметричного тензора из пространства S 9 для любых п и р .

31.Доказать, что для кососимметричной (внешней) трилинейной формы A(x,y,z), образованной кососимметричным тензором третьего ранга вида А - алЬлс, выполняется

32.Доказать тождество

аX b = Ь • (а е ; = (£Ь)-а = - а € b = b 6 а .

33.Доказать тождества

a x ( b x c ) = (a c)b -(a'b)c, ( a x b ) x c = (a'c)b - (b'C)a, a x ( b x c ) + b x ( c x a ) + c x ( a x b ) =0 (тождество Якоби).

34. Доказать тождества

[a -(b xc)]d =(a 'd )(b x c ) +(b d ) (c х а) + (c-d)(a х Ь), а(b,c,d) - b(c,d,a) + c(d,a,b) - d(a,b,c) = О,

(a x b tb x c .c x a ) =(a,b,c)2

35. Доказать тождества

( a x b ) x ( c x d ) = b(a,c,d)- a(b,ctd),

(a x b , c x d , e x f ) = (b ,e, f)( a,c,d) - (a,e,f)(b,c,d) .

36. Доказать тождества

37.Показать, что если A — антисимметричный тензор, а а — его

аксиальный вектор (3.23), то выполняются тождества A-b = axb, b-А - Ьха.

38. Показать, что аксиальный вектор кососимметричного тензора может быть найден по формуле а = А х •/

(левые множители диад перемножаются векторно, правые — скалярно). 39. Доказать, что над трехмерным пространством

е„4е**=з.',

e#tei"’=25/,

е^ е * ч = 5 / 8 / - 8 / 8 /

40.Показать, что А1, где А — кососимметричный, есть симметричный тензор.

41.Доказать

А А =а а -а а1> где А = - £ а - ~ а £ [а — аксиальный вектор

кососимметричного тензора А).

42.Доказать

§.€ = - 2 /,

С п е к т р а л ь н ы е с в о й с т в а т е н з о р о в в т о р о г о р а н г а

доказать следующие неравенства для положительно определенного тензора Р:

Jf(P)>SJl-3(P),

J2(P )* 3 J \'3(P).

Какой вид примут эти неравенства, если Р кроме того шаровой? 47 . Доказать (в терминах главных значений)

jf(T )> 3 J 2(T)

50. Тензор Г задан компонентами в ортонормированием базисе

Выразить степени Т \ Т6 данного тензора через /, Т , Т2 с помощью

теоремы Гамильтона-Кэли и определить компоненты тензоров Т 4, Т* в исходном базисе а) с помощью полученных выражений и б) непосредственного умножения тензоров.

51.Тензор Т задан компонентами в ортонормированном базисе

~3 1 Л

Д 7 = 1 0 2 •

/ 2 0

Найти собственные значения и собственные векторы тензоров Г, Т : , Т3

вэтом же базисе.

52.Тензор Т задан компонентами в ортонормированном базисе

-1 -1

4 0

0 4

Найти компоненты тензоров Т1'2, Т ,/3 в этом же базисе.

53.Показать, что коммутатор пары симметричных тензоров А, В

А- В - В А

есть тензор антисимметричный.

54.Доказать, что

S:D = 0,

S:W = 0,

S T =T S ,

где S — шаровой, W— кососимметричный, Т — произвольный тензоры второго ранга, D — произвольный девиатор.

Автоморфизмы

55. Доказать, что для ортогонального тензора О J / 0 > = /±2cos<p, где (р

— угол вращения О относительно его главной оси, знак и+” относится к собственно ортогональному, а — несобственно ортогональному тензорам.

56.Доказать, что для ортогонального тензора О J2( 0 ) = ± Jt(0 ) .

57.Найти компоненты полярного разложения тензора, заданного матрицей компонент в ортонормированном базисе

58. Доказать, что два симметричных тензора Г и Q с попарно равными собственными значениями можно связать соотношением

T m O r .Q .O ,

где О — некоторый собственно ортогональный тензор (найти его).

59.Найти компоненты в ортонормированном базисе /, у, к ортогональных

60.Записать в инвариантном представлении ортогональные тензоры поворота относительно оси / на угол те и отражения относительно плоскости, натянутой на векторыу, к (ijjc — ортонормированный базис), и сравнить их. Записать матрицы компонент данных тензоров.

61.Определить число независимых изотропных тензоров ранга 2р, где р

— целое положительное число.

использовать метод “от противного ” и инвариантное представление ортогонального тензора).

65. Доказать правила дифференцирования скалярной функции тензорного аргумента

Ч>г = (9т>Т’ ТЯе Т = Т т, Ш Т )+ у (Т ))т= ут+ у т, (с<р(Т»., = с(ч>(Т))r , (<f>(T)у (Т ))r =<prV + 'Vr<f-

6 6 . Используя результат предыдущего упр., вывести правила дифференцирования скалярной функции тензорного аргумента

67. Доказать справедливость соотношений

( Jt(T ))г — I >

(J ,(T :))T =2Tt ,

(J!(T))T = I J ,( T )-T t ,

(J ,(T S))T =3(Tt ) \

(J3(T))r =(TJf - J,(T)T T + IJ,(T )= J3(T )(T t )-‘

68. Доказать

Ф(Т)г , = - г г -ф г г л -г г

(второе имеет место только для невырожденного 7).

70. Доказать справедливость соотношений

M T )F (T ))r= F b r + bFT,

(F (T ) - Н(Т))т= F ■Н т+ (FT:e,ej) ■Не!е‘.

71. Вывести формулы для производной тензорной функции по тензорному аргументу F (T)тдля функций

F (T )= F (G (T )),

F ( T ) - T ,

F (T ) = T ',

F ( T ) = T T t ,

F (T )= T T T ,

F (T ) = T ''