книги / Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока
..pdfВ этих соотношениях:
(£м) — индуктивность рассеяния статора (ротора) ;
Гр (Гр) — постоянная времени ротора при разомкнутом (замкнутом) статоре;
аг ( ° г ) — обратная величина |
постоянной |
времени рото |
||||
|
ра при разомкнутом (замкнутом) статоре; |
|||||
|
х' — переходная реактивность |
асинхронного двига |
||||
|
теля (рис. 1-12); |
|
|
|
|
|
Lp * |
хр — переходная реактивность |
асинхронного двига |
||||
|
теля со стороны ротора (рис. 1-13). |
|||||
Отметим, что только при |
= |
ш , как следует из (1-124) |
||||
*д (Р) |
является вещественной |
|
функцией |
р. |
Приведем в |
|
заключение уравнения, имеющиеся в |
работах |
Е. Я. Казов- |
||||
ского и других азторов [Л. 25, 27, 92, 93, 97 и др.], которы ми нам часто придется пользоваться в дальнейшем. Они по
лучаются как |
частный случай при |
а>к = |
ю |
из |
полученных |
|||||
выше соотношений (1-110) |
и |
(1-123): |
|
|
|
|
||||
|
|
Ùc = rc / c + |
( p + J œ ) % ; |
|
|
|
(1-130) |
|||
|
|
|
Wc= x A( p )îc , |
|
|
|
(1-131) |
|||
причем хл (р) |
определяется равенством (1-124). |
|
|
|||||||
Если же уравнения переходных электромагнитных про |
||||||||||
цессов асинхронного |
двигателя отнести |
к |
координатным |
|||||||
осям, вращающимся |
с синхронной |
скоростью, |
|
т. е. поло |
||||||
жить |
= ®0, |
то, вспоминая определение скольжения |
||||||||
|
|
|
„ _ |
ш0 — ш |
|
|
|
|
(1-132) |
|
|
|
|
-- |
|
> |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
«о |
|
|
|
|
|
из формул (1-119), |
(1-121) — (1-123) получаем, |
как част |
||||||||
ный |
случай, |
уравнения, |
также |
имеющиеся |
в |
работах |
||||
Е. Я. Казовского и других авторов [Л. 25, 27, 92, 93, 97 и др.], которыми мы также будем часто пользоваться в даль нейшем:
Я * = |
'с Ло + (P + J “ о) Ч'со : |
(ЫЗЗ) |
^СО = хл [р + j к |
- Ш)]/* = Х Д(Р + J S а 0) 4 ; |
(М 34> |
|
p+JS(O0 + a'r |
(1-135) |
хд {р + js< ù ^ = х ' |
||
|
P + jS ü)„ + ar |
|
Здесь индексом «О» отмечены изображения напряжений, токов и потокосцеплений при отнесении уравнений к син хронным осям. Заметим, что в этом случае операторная ре активность хд (/7 - f у stù0) является уже комплексной функцией р.
1-3. ЯВНОПОЛЮСНАЯ СИНХРОННАЯ МАШИНА С ПРОДОЛЬНЫМ И ПОПЕРЕЧНЫМ УСПОКОИТЕЛЬНЫМИ КОНТУРАМИ
Как было указано во введении, переходные процессы в синхронных машинах и методы замены переменных (или преобразования координат) в их уравнениях рассматрива лись Парком [Л. 21, 23, 24], А. А. Горевым [Л. 56, 57, 59], Кроном [Л. 27], Д. А. Городским [Л. 75—79], А. Г. Иосифьяном [Л. 89, 90], Е. Я. Казовским {Л. 92, 97—99], автором [Л. 107, 109, 114, 117, 118, 120], Ку {Л. 31, 34, 35], Лайблем {Л. 145, 146], Вауэлсом [Л. 149], Чингом и Адкинсом [Л. 150] и многими другими исследователями.
Однако в этих работах не решалась задача об отнесении уравнений переходных электромеханических процессов яв нополюсной синхронной машины к координатным осям, вра щающимся с произвольной угловой скоростью юк. Сказан ное относится также к статическим элементам сети (лини ям, трансформаторам, нагрузкам, продольным и попереч ным емкостям). Исключение составляют только асинхрон ные двигатели, уравнения которых относились именно к координатным осям, вращающимся с произвольной скоро стью. В упомянутых работах не ставился вопрос и о наибо лее рациональном выборе системы вращающихся коорди натных осей с точки зрения максимального упрощения всей системы уравнений цепи. Этот вопрос был поставлен и ре шен в работах автора [Л. 109, ПО]. При решении его при-
детея рассматривать несколько вариантов выбора система вращающихся координатных осей для записи уравнений пе реходных процессов синхронной машины. В частности, при дется рассматривать такой вариант, когда уравнения одной синхронной машины относятся к координатным осям, жест
ко связанным |
с ротором другой машины, т. е. по сущест |
в у — к осям, |
вращающимся относительно перБой с произ |
вольной угловой скоростью. Поэтому мы дадим вывод урав нений переходных процессов синхронной машины, относя их к координатным осям, вращающимся с произвольной уг ловой скоростью СО*.
При этом делаются допущения, обычно принимаемые в такого рода работах и обеспечивающие удовлетворительное совпадение расчетных результатов с опытными.
К числу таких допущений для синхронных машин отно сятся прежде всего три допущения, сделанные в § 1-2 для асинхронных машин, а кроме того, еще следующие допу щения:
при разложении в ряды Фурье индуктивностей и взаимоиндуктивностей статора синхронной машины учитывает ся два и для взаимоиндуктивностей между обмотками ста
тора и ротора — один |
член |
разложения |
(см., например, |
|||
[Л. 56, 57, 59, 36]); |
|
|
|
|
|
|
обмотка возбуждения, продольная |
и |
поперечная успо |
||||
коительные обмотки считаются одноосными; |
|
|||||
результирующий |
магнитный поток |
нулевой |
последова |
|||
тельности статора |
не |
зависит |
от положения |
ротора, т. е. |
||
от угла 6. |
|
|
|
|
|
|
Отметим, далее, |
что, как и для асинхронной машины, |
|||||
насыщение может быть учтено косвенным образом введе нием насыщенных параметров машины, т. е. параметров, найденных в режиме ее насыщения. Считаем также все ве личины всех обмоток ротора приведенными к числу витков обмотки статора.
Для преобразования уравнений синхронной машины мы примем такой же метод, какой применяли выше для асин хронных машин и для неподвижных в пространстве элемен тов сети, т. е. воспользуемся преобразованием Парка или
системой координат d, q, 0, которую |
в дальнейшем будем |
||
обозначать через d k, qk, 0, |
поскольку она будет вращать |
||
ся с произвольной угловой скоростью |
со*, в то |
время как |
|
ротор машины вращается с |
угловой скоростью |
и. Пусть |
|
исследуемая синхронная машина присоединена к сети, фаз
ные напряжения которой иса, |
исс, фазные |
токи ста |
тора ica, !,ь. icc (рис. 1-14), |
напряжения на |
зажимах |
|
|
ез |
обмотки |
возбуждения щ, продольной |
успокоительной об |
мотки ut |
и поперечной успокоительной обмотки ин ; токи |
|
этих обмоток соответственно if, ig. |
Расположение об |
|
моток показано на рис. 1-15. Положительные направления токов относительно одноименных зажимов обмоток показа ны на рис. 1-1&
Запишем уравнения закона Ома для обмоток статора и ротора:
(1-136)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[#рР] X |
|
|
|
|
|
X |
' у |
|
, |
d |
|
|
|
|
(1-137) |
|
|
|
|
18 |
+ |
1Г |
% |
|
|
||||
|
|
|
|
|
J k _ |
|
|
_ Фа_ |
|
|
|
||
причем, |
поскольку |
продольная |
и |
поперечная |
успокои |
||||||||
тельные |
обмотки |
ротора |
|
коротко |
замкнуты, |
в |
дальней |
||||||
шем |
нужно будет |
принять |
ug — iih — 0. |
|
|
|
|||||||
Потокосцепления фаз статора |
|
фа, |
|
|
и обмоток |
||||||||
ротор • |
фв, фА могут |
быть |
выражены так: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-138) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-139) |
Матрицы |
индуктивностей |
[7-cJ |
и |
[£рр] |
и взаимоин- |
||||||||
дуктивностей |
[А1р] и [Мрс] |
соответственно равны: |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Г к |
|
м аЬ |
м ас |
|
|
|
||
|
|
|
[ L J = |
Маь |
м Ьс |
М„с |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Мас |
L c |
|
|
|
|||
[ |
Lcp+ Lm cos 2 0 |
|
|
|
— Мср -Ь М0 cos (2 6 — 12G°) |
||||||||
- |
Мср + М0 cos (20 ~ |
120°) |
L<p + |
Lm cos (2 0 + 120°) |
|||||||||
- |
Мср + М0cos (2 0 + |
120°) — Мср + |
М 0 cos 2 0 |
||||||||||
5 С. В. Страхов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|||
|
— Alfp + A V o s(2 0 + 120°) ‘ |
(1-140) |
|||||
|
— Mcp + |
M0 cos 29 |
|
|
|
||
|
Lcp + |
L mcos(2 9 - |
120°) |
|
|
||
где |
б — угол между продольной осью машины и маг |
||||||
|
нитной осью фазы а ее статора; |
|
|||||
Lçp, Мер — средние значения индуктивности |
и взаимоин- |
||||||
|
дуктивности фазы статора, определяемые сле |
||||||
|
дующими выражениями: |
|
|
|
|||
Г |
^•макс "b ^мнн |
J |
— ^•макс |
^•мин |
» |
|
|
•^cp |
2 |
|
— |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
— ^макг “Ь ^мттн . |
M |
— ^макс |
44Мин . л/t |
М |
||
|
2 |
JVlQ |
|
2 |
|
J /»icp s* JViQ' |
|
|
|
|
|
|
(1-141) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
LMKс , Ьиин, Миакс, |
Ммни — максимальные и мини |
|||||
|
|
|
|
мальные индуктивности |
|||
|
|
|
|
и взаимоиндуктивности |
|||
|
|
|
|
фаз |
статора. |
||
Можно показать, что из сделанного |
выше |
последнего |
|||||
допущения следует равенство: |
|
|
|
|
|||
|
|
Lm = M 0, |
|
|
|
(1-142) |
|
хотя есть основания полагать, что это допущение, а стало быть, и (1-142) справедливы не всегда. Чтобы не услож нять предстоящего исследования, примем, что они выпол няются.
Далее имеем:
[М Л |
Maf |
Mag Mah "J |
Мы Мы Mbh = |
||
|
Mcf |
Mcg M cbJ |
~Mf cos 0 |
|
Mg cos 0 |
Mi cos (9 - |
120°) |
Me cos (9 — 120°) |
Mf cos (9 + |
120°) |
Mg cos (9 + 120°) |
—MAsln 0
—Af„sin(9 - 120 )
—Mh sin (9 + 120°)
|
|
' Maf Mbf |
m c, |
[AfCp J, |
|
|
[Мрс] = Mag Mbg |
Mcg |
(1-144) |
||
|
|
K h Moh Mch |
|
|
|
|
|
г Lf |
Mfg |
0 ■ |
|
|
|
Mf, |
|
0 |
(1-145) |
|
|
0 |
0 |
|
|
где |
Lf, Lg |
Lh — индуктивности |
обмотки |
возбуждения', |
|
|
|
продольной и поперечной успокоитель |
|||
|
|
ных обмоток; |
|
обмотки воз |
|
|
|
— взаимная |
индуктивность |
||
|
|
буждения |
и продольной |
успокоитель |
|
|
Mf ,Mt |
ной обмоток; |
|
взаимоиндук |
|
|
Mh — максимальные значения |
||||
|
|
ции фазы статора с обмоткой возбуж |
|||
|
|
дения, продольной и поперечной успо |
|||
|
|
коительными обмотками. |
|
||
|
Вводим сокращенные обозначения для напряжений, то |
||||
ков и потокосцеплений фаз статора |
и ротора: |
|
|||
'« c a " |
|
|
a |
[«C ] = |
; |
[ гс ] = |
[cb |
. “ce |
|
|
- ^cc - |
Г—1 О |
II |
‘ Ф с/ |
|
Фс* |
|||
|
|
(1-146)
|
' |
Щ ‘ |
|
if |
|
|
"Ф/ ‘ |
|
l«p] = |
|
Ug ; [*P] = |
h |
; |
[фР] = |
Ф* |
|
|
|
|
«А |
|
4 |
|
|
_Фа_ |
|
и матрицы статорного |
[Л с ] |
и |
роторного |
[Л р ] |
преобра |
|||
зования: |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
[■ |
со s |
cos (Oj — 120°) |
cos(S*+ |
120е) - |
|||
3 |
— sin 0Л — sin (0А— 120°) |
— sin (0* -f |
120°) ; |
|||||
|
_l_ |
|
J _ |
|
|
_1_ |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
[ |
COS (0Л— 0) |
COS (0ft — 0) |
sin (04 — 0) |
1 |
|
— sin (0ft — 0) |
— sin (0ft— 0) |
cos (bk — 0) |
I . |
||
|
|||||
|
1 |
- 1 |
0 |
J |
(1-149)
Эти матрицы позволяют связать величины напряжений, токов и потокосцеплений статора и ротора до и после пре образования. Матрицы напряжений, токов и потокосцеп лений после преобразования мы обозначим с индексом
штрих: т а к и м и т .д .
На основании сказанного имеем:
|
|
сЬ |
|
£ = [« с Ы |
4 1 К Н Ш |
И,, |
(1-150) |
«СО J |
|
|
|
|
|
|
|
Ш |
= 1 Х ] 1 л ] ; |
|
|
[ * ] = [ 4 ] [ ^ с ] .
или в развернутом виде, например, для токов статора:
4* = |
- |- [4« cos 0* + 4» cos (0* - 120°) -f 4 С |
cos (0* + 120°)]; |
|
4» = |
— - j- [icasin % + |
4* sin (0ft - 120°) + |
4 , (0* + 120°)]; |
^cO |
^ \îca *cb 'Ь U |
’ |
|
[up] = [i4p ] [ « p ] = [ ^ p ] |^n, j
(1 152)
[4 1 = [ 1 [ 4 1 ;
fop] = [ Л П ^ р ] .
или в развернутом виде, например, для токов ротора
63
ip* = |
4 cos (0A— 6) + ig cos (0* — 0) + |
4 sin (0A— 0); |
||||
ip, = |
~ 4 |
(6* — 0) — 4 sin (0* — 6) + 4 cos (0ft - fj); |
||||
|
|
|
|
|
|
(1-153) |
Как видно из (1-148) и (1-149). замена переменных, изо |
||||||
бражаемая |
матрицами [ Ас | |
и \ Ар ], |
представляет собой |
|||
обобщенное преобразование Парка |
или |
преобразование в |
||||
системе координат |
dk, |
qk, |
0, |
вращающейся с произ |
||
вольной угловой скоростью |
<мА. |
|
|
|||
С геометрической точки, зрения, |
все статорные и ротор |
|||||
ные величины мы относим к координатным осям, вращаю
щимся с произвольной |
скоростью |
где Ьк и |
оп |
ределяются равенствами |
(1-74). |
|
|
Так как магнитные оси фаз статора a, b п с (рис. 1-15) неподвижны в пространстве, то в элементы матрицы статор
ного преобразования |
входит |
угол |
0*. Но магнитные оси |
|
обмоток ротора d и q |
(рис. |
1-15) |
вращаются с угловой |
|
скоростью «в, где |
8 |
и ш |
определяются равенствами |
|
(1-75). |
|
|
|
|
Поэтому в элементы матрицы роторного преобразова
ния входит угол 0* — 0 между продольной |
осью рото |
|
ра d и координатной осью dk. |
|
|
Преобразуем уравнения закона Ома |
для цепей статора. |
|
Для этого умножим слева обе части равенства |
(1-136) на |
|
[4 с ]. С учетом (1-146), (1-147), (1-150) |
и (1-152) получим: |
|
- ^ - а л н и ч а |
(1-154) |
Выполнив в последнем члене правой части (1-154) диф ференцирование и перемножение матриц, получим:
d е> dt
Преобразуем уравнения потокосцеплений статора. Для
этого умножим слева обе части равенства |
(1-138) |
на |
[Лс ]: |
|||||
[ * ] = |
[Ас] |
[ ^ с ] = [ 4 ] [ U [ K ] |
+ U |
] [ M |
J [ / р ] . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1-1:6) |
Введем |
обратные |
матрицы [Л. 159, |
160] статорного |
[д г1] |
||||
и роторного |
[Ар '] |
преобразований, т. е. |
|
|
|
|||
[и с ] |
|
= |
U r '] [ « c ] = [ЛГ'З |
|
|
(1-157) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[*с] = |
[Ас ’] [ 4 ] ; |
|
|
|
|
|
|
|
[♦ с ] = [ Л с " '][ ^ ] . |
|
|
|
|
||
причем, например, первое из уравнений (1-157) получается
умножением слева первого уравнения (1-150) |
на [АГ1]: |
|||||||||
[А7'\ |
[и с] = |
[А7'\ [ Ас ] [ «с ] = [ иt ]. |
(1-158) |
|||||||
Аналогично для |
ротора |
|
|
|
|
|
||||
|
—1 |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
r v |
l |
|
|
|
«« |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.И *. |
|
|
|
|
|
_ up° |
|
||
|
|
к |
ы |
л |
г ч |
г |
а |
|
|
|
|
|
[ ^ Р] = |
[ Л |
‘И |
к |
|
|
|
||
сами матрицы обратных преобразований |
[Ас '] |
и [Лр'] |
||||||||
выражаются так [см. Л. 159, 160]: |
|
|
|
|||||||
|
cos |
|
|
|
|
— sin 94 |
|
|
1 ‘ |
|
[ А Г 'Ь cos (9* — 120e) |
|
— sin фк - |
12C°) |
1 |
||||||
|
cos (9a + |
120°) |
|
— sin (0* + |
120°) |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 -160) |
|
1 |
|
cos (9* — 6) |
— sin (6* — 9) |
|
1 " |
||||
[ Л р 'Ь |
I |
|
cos (9* - |
9) |
— sin (9ft — 9) |
- |
1 |
|||
2 |
|
|||||||||
|
_ 2sin (0ft — 6) |
2cos (9ft — 9) |
0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |