книги / Нелинейная оптика

вращающая сила F уже не описываются формулами (для одномерного движения rr = х):

Рассмотрим общую модель ангармонического осциллятора без затухания. Для адекватного описания осциллятора при высоких

интенсивностях света в разложении в ряд функции U (x) следует учесть члены более высоких степеней (ангармонические члены):

С учетом формулы Fr = − U это приводит к зависимости:

и, в отсутствие затухания, соответственно, к уравнению динамики:

В формулах (2.11)–(2.14) х – смещение от положения равновесия, mе − масса электрона, k – коэффициент квазиупругой силы, β и

δ – «упругие» константы молекулы, зависящие от ее химической природы, ω0 = kmе – собственная частота гармонических колебаний осциллятора для случая, когда интенсивность света мала. Принимая, что поправки βx2 и δx3 невелики, решение (2.14) можно

найти методом последовательных приближений.

В нулевом приближении ангармонические члены отбрасываются, и нулевое решение имеет вид:

41

что дает Р = N0ex0 (t )= ε0χ(1) Е(t), и линейная восприимчивость для одиночного осциллятора вычисляется следующим образом:

Последняя формула получается из (2.6), если положить β0 = 0.

В первом приближении следует подставить решение нулевого приближения (2.15) в уравнение (2.14), которое теперь, с учетом того, что:

В уравнении (2.17) вынуждающая сила представлена тремя гармоническими членами с частотами ω, 2ω, 3ω и одним статическим слагаемым. Поэтому частное решение (2.17) представляется как суперпозиция решений на частотах 0, ω, 2ω, 3ω.

Заметим, что для статической составляющей уравнение динамики имеет вид:

42

Поскольку колебания оптического электрона кроме основной частоты совершаются на удвоенной и утроенной частотах, то в оптической среде под действием падающей волны возникают дополнительные волны с частотами 2ω и 3ω, что означает нарушение одного из основных принципов линейной оптики о неизменности частоты света при переходе из одной среды в другую. Вторая гармоника (2ω) может возбуждаться в прозрачной среде даже при не-

большом ангармонизме оптических электронов. Кроме того, в согласии с (2.20), кубичная ангармоничность (δx3 ) вызывает измене-

ние поляризованости на основной частоте.

Действительно, объединяя члены с частотой ω, получаем:

43

Формула (2.21) показывает зависимость поляризованности среды, а значит и показателя преломления, от интенсивности па-

дающей волны (Iпад ~ Em2 ). Таким образом, вследствие кубичной

ангармоничности (член δх3 в уравнении (2.14)) световое поле оказывает влияние на характер отклика среды, который становится нелинейным.

При моделировании среды ангармоническими осцилляторами возвращающая сила отвечает нелинейному закону Гука (сила не пропорциональна растяжению «пружины», а содержит нелинейную составляющую). Считая нелинейность слабой, запишем для изотропной среды одномерное волновое уравнение (1.26) с учетом затухания в виде:

Условие слабой нелинейности означает выполнение неравенств:

Рассмотрим модель ангармонического осциллятора с квадра-

тичной нелинейностью (К3 = 0) для нерезонансного случая. Уравнение (2.23) принимает вид:

44

Нерезонансный случай означает, что комбинации частот поля не близки к частоте собственных колебаний ω0 . При этом рассмотре-

ние справедливо только для не слишком больших времен. Моделью среды может служить кристалл с постоянной решетки a. Тогда коэффициент квадратичной нелинейности оценивается следующим

ω02 .

еа

Решим уравнение (2.25) методом малых возмущений. Введем малый параметр ξ и представим уравнение (2.25) в виде:

Подставив (2.27) в (2.26) и собрав члены порядка ξ, ξ2, ξ3, …, получим цепочку линейных неоднородных уравнений:

Систему (2.28)–(2.31) слеёдует решать последовательно, начиная с (2.28). Уравнение (2.28) совпадает с фигурирующим в линейной модели Друде – Лоренца уравнением (2.3), и его решение при-

45

водит к выражению для (линейного) показателя преломления среды, вытекающему из (2.7) при β0 = 0. Правая часть уравнения m-го порядка (2.31) определяется через найденные ранее величины (в более низких порядках теории возмущений).

Применим общие соотношения к случаю бигармонического воз-

буждения осциллятора с квадратичной нелинейностью, т.е. случаю воздействия двух внешних волн с частотами соответственно ω1 и ω2.

Описанная выше процедура решения системы уравнений (2.28)–(2.31) приводит к следующим выражениям для квадратичных восприимчивостей:

В этих коэффициентах квадратичной восприимчивости первый аргумент в скобках – частота колебаний поляризованности, а два последующих – частоты колебаний оптических полей (со знаками «+» или «–»). Функция D(ω) имеет вид:

D(ω) = ω02 – ω2 – i·2β0ω,

а знак «*» означает комплексное сопряжение.

Соотношение частот колебаний поляризованности среды (штриховые вертикальные линии) и внешних световых полей (сплошные вертикальные линии) иллюстрирует рис. 6, где знаки «+» и «–» отвечают противоположным вертикальным направлениям (соответственно «вверх» и «вниз»).

46

Рис. 6, а отвечает первой формуле (2.32), т.е. генерации в среде второй гармоники по отношению к исходной частоте оптического излучения. На рис. 6, б и 6, в иллюстрируется, соответственно, генерация в данной среде суммарной и разностной частот. Наконец, рис. 6, г отвечает «оптическому выпрямлению» – генерации в среде электростатического поля под действием оптического излучения.

Рис. 6, а можно получить из рис. 6, б, а рис. 6, г – из рис. 6, в в пределе совпадающих частот. Наглядно рис. 6 (и последующий рис. 7) можно интерпретировать на квантовом языке как генерацию в среде фотонов с суммарными илиразностными частотами.

Таким образом, в задаче о бигармоническом возбуждении осциллятора с квадратичной нелинейностью в приближении низшего порядка появляются:

•отклики с частотами вторых гармоник 2ω1 и 2ω2;

•отклик с нулевой частотой, соответствующий «выпрямле-

нию» света за счет квадратичной нелинейности βx2 ;

• отклики с суммарной и разностной частотами ω1 + ω2 и ω1 – ω2, соответствующие биениям между двумя световыми волнами.

Рис. 6. Соотношение частот колебаний квадратичной поляризованности среды и оптических полей

47

Связь (2.32) между линейными и квадратичными восприимчивостями может быть представлена в виде:

Существенно, что правая часть в последнем выражении не зависит от частоты. Поскольку для различных оптических сред значения плазменной частоты ωр и коэффициента ангармонизма К2 варьируются не сильно, это позволяет сформулировать так называемое пра-

вило Р. Миллера:

Физический смысл правила Р. Миллера (2.33) состоит в том, что квадратичная восприимчивость для различных соотношений частот колебаний поляризованности среды и оптических полей прямо пропорциональна произведению линейных восприимчивостей для соответствующих частот.

Из соотношения (2.33) вытекает простая и наглядная связь между величиной квадратичной восприимчивости χ(2) и коэффициен-

том преломления n:

χ(2) = αn3,

где α – некоторый множитель, практически постоянный для широкого класса нелинейных материалов. Согласно этому, квадратичная восприимчивость вещества тем выше, чем больше показатель пре-

ломления (аналогом этого результата для линейной восприимчивости является уравнение (2.8)).

Как и для линейной восприимчивости, полюса (нули знаменателей) квадратичных восприимчивостей (2.32) лежат в нижней полуплоскости комплексной плоскости частот.

Согласно (2.31), в следующем (третьем) порядке теории возмущений поляризованность имеет кубическую зависимость по ам-

48

плитудам излучения. Спектр ее осцилляций включает вторую и третью гармоники, а также частоты, совпадающие с исходными частотами излучения.

Рассмотрим модель ангармонического осциллятора с кубичной нелинейностью (К2 = 0). Если «восстанавливающая сила» меняет знак при изменении знака отклонения осциллятора (соответственно, потенциал – четная функция отклонения), то члены с четными степенями в (2.23) отсутствуют и низшим нелинейным членом служит кубический. Соответственно, при слабой нелинейности и монохроматическом внешнем излучении с частотой ω уравнение (2.23) можно записать в форме:

Это уравнение носит название уравнения Дуффинга. Хотя его точное решение отсутствует, разработаны эффективные методы его приближенного решения.

Как и в рассмотренном выше случае квадратичной нелинейности, можно воспользоваться нерезонансным приближением. Находя приближенное решение уравнения Дуффинга, получаем следующие качественные результаты: при монохроматическом возбуждении рис. 6 заменяется на схемы для модели с кубичной нелинейностью

(см. рис. 7).

Рис. 7. Соотношение частот колебаний кубичной поляризованности среды и внешнего поля

49

Рис. 7, а отвечает уже известной нам генерации гармоники, на этот раз третьей. Новыми свойствами обладает иллюстрируемый рис. 7, б и 7, в механизм нелинейности – для него частота колебаний поляризованности совпадает с частотой возбуждающего излучения. Этот тип нелинейности отвечает самовоздействию; можно убедиться (см. главу 3), что он может быть описан в терминах нелинейного (зависящего от интенсивности) показателя преломления.

Детальный расчет показывает, что между нелинейными поляризованностями смежных порядков Р(n) и P(n+1) в рамках модели ангармонического осциллятора может быть получено следующее соотношение:

где β – коэффициент ангармоничности из уравнения (2.14). На основе рассмотрения физической природы связи электрона в атоме можно считать, что если отклонение х по порядку величины равно радиусу rа равновесной орбиты электрона, то нелинейная сила теβх2 имеет величину того же порядка, что и линейная сила теω02 rа = = е|Еат|, где Еат – напряженность внутриатомного электрического поля, связывающего электрон. Поэтому β/D ≈ β/ω02 ≈ rа–1, и отношение (2.35) равно:

Амплитуда напряженности светового вектора волны должна сравниваться с напряженностью внутриатомного поля, типичная величина которой, как уже отмечалось, составляет Еат = 1010…1011 В/м. Поэтому даже для предельных интенсивностей порядка 1014 Вт/м2, имеющих место в фокусе лазера с модулированной добротностью, нелинейность можно рассматривать как малое возмущение, поскольку даже в этом предельном случае отношение (2.35) равно:

50