книги / Математика введение в анализ, дифференциальное исчисление функции одной переменной

период T =

2π

(ω≠

0) , а функ-

ω

ции tg ωx

и ctg ωx

имеют пери-

од T =

π

(ω≠

0) .

ω

Замечание 2

Следует иметь в виду, что

в) f (x) = x4 − 4x3 +1 ;

г) f (x) = lg

2 + x

.

2 − x

Решение

−( ∞ +∞;

) , поэтому оче-

а) Область определения функции: x

видно, что если x −( ∞ +∞; ) , то и (−x)

−( ∞ +∞;

) . Заменяя x на

(−x) , получим

б) Областьопределения функции x −( ∞ +∞;

) . Вэтомслучае

f (−x) =

1

(5− x + 5x ) = f (x) ,

2

т.е. исследуемая функция является чётной (формула 1.5).

в) Область определения функции x −( ∞ +∞; ) .

Заменяя x

на (−x) , получим

f (−x) = (−x)4 − 4(− x)3 + 1 = x4 + 4x3 + 1.

Таким образом, здесь f (−x) ≠ f (x) и

f (−x) ≠ −

f (x) . По-

а)

f (x) = cos8x ;

б)

f (x) = sin

x

;

4

в) f (x) = tg 5x .

Решение

а)

Поскольку основной период функции cos x

равен 2π, то

основной период функции

f (x) = cos8x равен

T =

2π

,

где

ω

2π

π

ω= 8 , следовательно, T =

=

.

8

4

му основной период функции

f (x) = sin

x

равен

2π

= 8π ,

4

1

т.е. T = 8π.

4

в) Основной период функции tg x равен π , поэтому основ-

ной период функции f (x) = tg 5x

равен

π

, т.е. T =

π

.

5

5

Рис. 1.14

Функция сверху не ограничена,

следовательно, функция

y = ax неограниченная для x (–∞ ; +∞

);

определяет некоторую функцию

x от аргумента y, т.е. x = ϕ (y),

называемую обратной по от-

ношению

к данной функции

y = f (x).

Следует запомнить:

достаточным условием сущест-

вования обратной функции яв-

ляется

строгая

монотонность

функции y = f (x). При этом ес-

ли функция возрастает (убыва-

ет), то и обратная функция воз-

растает (убывает).

Замечание 1

Функция y = f (x) и обрат-

ная к ней x = ϕ (y) изображаются

Рис. 1.16

одной и той же кривой, т.е.

графики их совпадают.

Но, как обычно, для обрат-

ной функции аргумент обозна-

чают через x, а значение функ-

ции – через y, т.е. записывают

ее в виде y = ϕ (x).

Графики функций y = f (x)

и y = ϕ (x) симметричны относи-

тельно прямой y = x (рис. 1.16).

Замечание 2

Функции y = f (x) и y = ϕ (x) –

взаимно обратные функции.

2. Если y = f (u), где u = ϕ (x),

Если функция y = f (u)

оп-

то

ределена

на

множестве

D,

y = f [ϕ (x)] – (1.16)

а функция u = ϕ (x) определена

на множестве D1, причем

сложная функция или функция

x D1

соответствующее зна-

от функции.

чение

u = ϕ (x) D, тогда

на

множестве D1 определена функ-

а) Степенная функция

n

–

действительное число

y = xn

(1.17)

(n R)

Частные случаи

1) n – целое положительное

число.

n = 1: y = x.

График – прямая линия, ко-

торая

является биссектрисой

первого и третьего координат-

ных углов (рис. 1.17).

n = 2: y = x2.

Рис. 1.17

Графиком является парабо-

ла, ветви которой направлены

вверх,

а

вершина находится

в точке с координатами (0;0).

2) n – целое отрицательное

число.

n = –1: y =

1

.

x

Графиком является

гипер-

бола, расположенная в первом и

третьем

координатных

углах.

График

симметричен

относи-

тельно начала координат (функ-

ция нечётная).

Рис. 1.20

Рис. 1.24

б) Показательнаяфункция

y = ax

(1.18)

a > 0;

а ≠

1.

Функция

y = ax

определена

при всех значениях x. Область

значений

функции:

y (0;+∞ )

(рис. 1.25).

Замечание

Если a = е, то показа-

тельную

функцию

называют

Рис. 1.25

экспонентой

и обозначают

y = ex = exp(x)

.

y = loga x

(1.19)

a > 0; а ≠ 1.

Логарифмическая

функ-

ция определена при x > 0.

Область

значений функции:

y ( –∞ +∞;

) (рис. 1.26).

Функция y = loga x

обрат-

ная для функции y = ax .

Замечание

ln x – натуральный логарифм

(ln x = loge x) .

lg x – десятичный логарифм

Рис. 1.26

(lg x = log10 x) .

г) Тригонометрические

функции:

y = sin x ,

y = cos x ,

Функция y = sin x.

y = tg x ,

y = ctg x

(1.20)

Область определения – все

действительные числа.

Область значений – отре-

зок [–1;1], т.е. функция огра-

ниченная.

Функция y = sin x периоди-

ческая (T = 2π ).

Функция нечётная, т.е.

Рис. 1.27

sin(–x) = –sin(x) (график

сим-

метричен относительно нача-

ла координат).

Замечание

График функции y = sin x

(рис. 1.27) называется сину-

соидой.

Функция y = cos x.

Область определения – все

действительные числа.