книги / Системы управления летательными аппаратами и их силовыми установками
..pdfось заняла положение х\. В то же вре |
|
||||
мя продольная ось ДА изогнулась и |
|
||||
заняла положение х\у. Пусть гиропри |
|
||||
бор расположен в точке /. Тогда по |
|
||||
мимо угла рысканья гироприбор из |
|
||||
мерит дополнительный угол V|/yi, обу |
|
||||
словленный |
упругими |
колебаниями |
|
||
корпуса. |
|
|
|
|
|
Итак, измеряемый гироприбором |
|
||||
угол |
|
|
|
|
|
|
V n = V + Vy!- |
(5.1) |
|
||
Гироприбор преобразует данный |
Vy2- |
||||
угол в электрический сигнал, который |
|||||
|
|||||
в конечном счете вызывает появление |
&Fb2 |
||||
управляющей |
силы |
, |
соответст |
||
вующей углу \|/, и силы |
|
ь соответ |
|
||
ствующей углу \|/yi. Вследствие того, что эти силы направлены в одну сто
рону, изгиб продольной оси ЛА увеличивается, то есть упругие колебания будут расходящимися.
Таким образом, в данном случае система угловой стабилизации поте ряет устойчивость и произойдет разрушение корпуса ЛА.
Далее рассмотрим случай, когда гироприбор расположен в точке 2.
Измеряемый гироприбором суммарный угол |
|
Vr2= V - Vy2 |
(5.2) |
и результирующая, управляющая сила, как видно из рис. 5.2, будет пред ставлять собой разность сил F& и AF§2- В связи с данным положением из гиб продольной оси ЛА уменьшается и, следовательно, упругие колебания корпуса затухают.
Однако расположение гироприбора в хвостовой части ЛА (точке 2) практически невозможно, кроме того, в этом случае, как правило, неустой чив второй тон упругих колебаний. В связи с вышеизложенным подавле ние упругих колебаний осуществляется путей выбора передаточной функ ции вычислительного устройства.
На практике используется два способа подавления упругих колебаний корпуса.
Способ амплитудного подавления. В этом случае передаточная функция вычислительного устройства выбирается так, чтобы на частоте
упругих колебаний амплитудная характеристика автомата стабилизации была меньше единицы:
А(соу) < 1. |
(5.3) |
Таким образом происходит подавление сигнала от упругих колебаний корпуса, в результате чего упругие колебания не будут возбуждаться.
Способ фазового подавления. В данном случае передаточная функция вычислительного устройства выбирается так, что фазочастотная характе ристика автомата обеспечивает стабилизацию, т.е. подавление упругих ко лебаний.
Как правило, эти оба способа используются одновременно для подав ления нескольких тонов упругих колебаний корпуса ракеты.
5.2. Уравнение упругой линии летательного аппарата
Рассмотрев качественную картину упругих колебаний корпуса ЛА, получим уравнение упругой линии ЛА и уравнения Л А с учетом упругих колебаний. Уравнение упругой линии получим на примере первого тона колебаний.
Представим упругую линию ЛА в системе координат 0, х,у (рис. 5.3).
Рис. 5.3
Так как форма упругой линии близка по своему виду к параболе, то колебание произвольной точки приближенно можно описать дифференци альным уравнением второго порядка
2
Оу у+ (Нуу = -а ф , |
(5.4) |
где у - некоторая обобщенная координата (смещение точки), зависящая от длины ЛА и времени,
у =Ах>0; |
(5-5) |
©У - частота упругих колебаний;
{- коэффициент демпфирования упругих колебаний за счет жестко сти конструкции и сопротивления атмосферы;
-коэффициент при управляющей силе, вызывающей изгиб ЛА. Так как зависимости координату от длины ЛА и время между собой
практически не связаны, то выражение (5.5) можно преобразовать:
у = А х )№ |
(5.6) |
|
где q(t) - зависимость линейного прогиба ЛА от времени. |
|
|
Подставив выражение (5.6) в уравнение (5.4), получим |
|
|
f{x)q+ Шу/(д:)?+соу/(*)9 = |
(5.7) |
|
ИЛИ |
2 |
|
|
(5.8) |
|
q + bqqq+ (Oyq + bq&8= 0. |
||
Здесь |
|
|
bqq= 2£coy ; |
^ 6= 7 w |
|
Уравнение (5.8) и есть в окончательном виде уравнение упругой ли нии ЛА.
Так как гироприбор измеряет не линейный прогиб ЛА, а угол, образо ванный вследствие изгиба, то получим зависимость угла от прогиба ЛА. С этой целью запишем зависимость для \j/y (см. рис. 5.3):
y y = a rctg ^ . |
(5.9) |
Ввиду малости данного угла можно записать, что |
|
|
< 5 | 0 > |
или |
|
ъ = А [/ Ш ,)]=Г{х)я{11 |
(5.11) |
где f\x) - производная от формы упругой линии по длине ЛА. Она изме ряется в точке расположения гироприбора; знак ее зависит от номера тона, а величина - от места расположения гироприбора. В принятой системе ко ординат для первого тона/i'(x) < 0, для второго тона^’(х) > 0-8 заключе ние запишем уравнения движения ЛА при учете упругих колебаний:
У+Ьщу+Ьу$ =Мв,
<i+ bqqq+ bqb5 = 0, |
(5.12) |
Yy =f\x)q.
5.3. Структурная схема системы угловой стабилизации упругого летательного аппарата
Используя систему уравнений (5.12), получим структурную схему СУС.
Перейдем в операторную область:
, ч |
-Ьф Ь (р)+М у(р) |
|||
Ч(р) = |
|
|
2 |
. |
|
|
|
р |
|
, ч |
|
|
-ЪфЬ(р) |
|
« (Р)= |
р |
2 |
. |
2 - |
|
|
+bqq р + (0у |
||
Чу(р) = /'(х)д(р).
(5.13)
(5.14)
(5.15)
Учитывая, что рулевой привод описывается передаточной функци ей (5.13), получим структурную схему СУС, представленную на рис. 5.4.
Задача состоит в получении качественных рекомендаций по подавле нию упругих колебаний корпуса. Для упрощения процедуры решения дан ной задачи введем ряд допущений:
1. Так как частоты тонов упругих колебаний корпуса Л А значительно отличаются от частоты колебаний жесткого ЛА, то будем раздельно рас сматривать упругие колебания ЛА и колебания жесткого Л А относительно центра масс.
3. Рулевой привод будем считать безынерционным.
При учете принятых допущений структурная схема СУС преобразует ся к виду (рис. 5.5).
У(/со)
На этом рисунке
К = КгКпЬдЬГ (х ). |
(5.16) |
5.4. Явление транспонирования частоты в системе угловой стабилизации упругого летательного аппарата
Рассмотрим картину прохождения гармонического сигнала часто ты соу, генерируемого консервативным звеном (звеном упругости) через прерыватель и фиксатор. Учтем, что квантование происходит с частотой а>о- Исследуем спектральный состав сигнала на выходе фиксатора (см. рис. 5.5) при различных условиях:
-теорема Котельникова для сигнала упругих колебании выполняется;
-теорема Котельникова для сигнала упругих колебаний не выполня
ется.
Выражение, устанавливающее связь между спектрами входного и вы ходного сигналов прерывателя, имеет вид [2]
Х*и») = |
ixuv>+jk<oo) s±-[XUm) + XUa+ja>o) + |
(5.17) |
|
|
Т0 *=-» |
ro |
|
+ X (у с о + 2 у © о ) + X (У © - у co o ) + x (У © - 2 у © о ) ] .
Здесь мы ограничились гармониками первого и второго порядка. Проанализируем, какое воздействие окажет фиксатор на поступаю
щий на него сигнал частоты соу в зависимости от частоты квантования. Для решения этой задачи используем амплитудно-частотную характе
ристику фиксатора [2].
Рассмотрим случай, когда теорема Котельникова |
выполняется |
(рис. 5.6): |
|
соУ |
(5.18) |
Как видно из рис. 5.6, на выходе фиксатора выделяется, главным об разом, сигнал частоты соу (частоты входного сигала), сигналы же боковых частотЛХ/сОу ±Дсоо) подавляются ( £ = 1, 2, 3...).
СОу < |
©о |
(5.19) |
|
|
2 |
Как видно из рис. 5.7, на выходе фиксатора в основном выделяется |
|
сигнал разностной частоты Д/соу - |
а сигнал частоты соу, а также сиг |
налы суммарных и остальных разностных частот подавляются. |
|
Следует учесть, что если соу стремится к значению ос>о» то на выходе фиксатора преимущественно выделяется сигнал первой разности, если соу,
стремится к значению 2щ, то выделяется сигнал |
второй разности Д/со - |
- 2/соо), если же соу стремится к значению |
£COQ> то выделяется сиг |
нал ^-разности Дсоу - кщ), где к= 1, 2, 3.... |
|
В случае, если соу = £соо> т0 на выходе фиксатора выделяется сигнал нулевой частоты. Таким образом, разностная частота сигнала на выходе фиксатора может изменяться в пределах
о)п
0 < Дсо<—5-.
2
Явление преобразования частоты сигнала в низкочастотную область, происходящее при нарушении теоремы Котельникова, носит название транспонирования частоты.
Данное явление необходимо учитывать при стабилизации упругих ко лебаний. Так, правильный выбор частоты квантования обеспечит успеш ную стабилизацию нескольких тонов упругих колебаний, в противном случае какой-либо тон может быть неустойчивым, что приведет к неустой чивости СУС в целом.
5.5. Определение дискретной передаточной функции системы угловой стабилизации упругого летательного аппарата, псевдочастота (фиктивная частота) упругих колебаний
Определим дискретную передаточную функцию разомкнутой СУС (см. рис. 5.5) в z- и ю-областях:
W\(z)= K^-± С |
1 |
(5.20) |
|
Z
р(р2+а>1)
Используя таблицу z-преобразований, получим зависимость для W\(z),
приведя предварительно выражение (5.20) к табличному виду:
Г |
|
2 |
1 |
|
|
Г |
|
|
|
|
z |
z(z-COSCOy7()) |
|||
|
СОу |
- к |
|
|
|||
|
|
|
— |
z |
7_1 2 |
||
^ i ( z ) = “ T V ^ |
2 |
2 |
- К У |
|
|||
C0V |
р (р |
+ ш у ) |
|
|
|
z |
-2zcoscOy7o+1 |
|
|
|
|
|
|
|
(5.21) |
(z + l)(l-cosc0y7o)
= A У~2 * z -2zcoscOy7o +1
где
КA y - K . |
(5.22) |
CDv |
|
Далее осуществим переход в область w-оператора, используя подста-
1+ w
новку Z — -1- W
( i z ^ + 1 ) ( 1 ~ c o s ( ° y 7 o ) |
к |
1—СО |
|
(5.23) |
||
W\(w) = Ky |
|
|
|
У l + coscov7n |
2 |
|
1+ W | |
-1 + W |
|
|
+1 |
||
|
|
i----------y w |
|
|||
------ |
- 2- — coscov7л + 1 |
|
||||
1-w ) |
1- w |
7 u |
|
l-coscoy7o |
|
|
Учитывая, что |
|
|
|
|
|
|
|
1+ cos соу7Q |
|
1 |
|
|
|
|
l-coscoy7o |
tg |
(OyTb * |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1- w |
2 , . = KУ |
1—w |
|
(5.24) |
|
^ (o )) = A y . 20)y7b |
2 2 , |
|
||||
|
tg - y - w |
+1 |
Tv w +1 |
|
|
|
|
Ty =- |
J ___ |
|
|
|
|
|
|
C0y7o ’ |
|
|
|
|
|
tg |
|
|
|
|
|
Введем понятие псевдочастоты (фиктивной частоты) упругих колеба |
||||||
ний: |
|
|
|
|
|
|
|
_ L =tK V |
o |
|
|
|
|
|
v У “ Ту |
* |
2 |
|
|
(5.25) |
Представим график зависимости псевдочастоты от частоты упругих колебаний соу (рис. 5.8). Как видно из данного рисунка, псевдочастота уп ругих колебаний является периодической функцией и может изменяться в пределах от 0 до оо.
Рис. 5.8
Весьма важным является то, что при фиксированном значении дейст вительной частоты ©у псевдочастота vy может принимать любое значение в зависимости от величины частоты квантования COQ- Это положение необ ходимо использовать при решении задачи стабилизации упругих колеба ний корпуса ракеты.
Обычно принято всю область изменения псевдочастоты упругих ко
лебаний делить на два диапазона: |
|
|
- |
низкочастотный диапазон vy = 0 |
1; |
- |
высокочастотный диапазон vy = 1 |
OQ |
Задача состоит в определении условий обеспечения устойчивости уп ругих колебаний ракеты для первого и второго тонов при расположении псевдочастоты vy в низкочастотном и высокочастотном диапазонах с уче том того, что знаки производных от формы упругих линий для первого и второго тонов различные.
В заключение следует отметить, что большой вклад в теорию стаби лизации упругих колебаний корпуса ракеты внесли советские ученые С.М. Федоров, В..А. Бессекерский, В.Д. Аренс и другие.
5.6. Условия стабилизации четных и нечетных тонов упругих колебаний корпуса летательного аппарата
Итак, рассмотрим четыре случая стабилизации упругих колебаний корпуса ЛА:
1 •/'(*) > 0; 0 < vy < 1.
2./,(*)> 0; 1<vy<oo.
3. |
/ '(* )< 0 ; |
О < vy < 1. |
4. |
/' (х) <0; |
1 < vy < оо. |
Первые два случая соответствуют четным тонам упругих колебаний, а вторые два - нечетным.
Задача состоит в той, чтобы выработать рекомендации по выбору час тоты квантования, обеспечивающие наибольшую простоту стабилизации упругих колебаний.
Проанализируем каждый случай:
1. Условия стабилизации упругих колебаний корпуса при /' (х) > 0
О < vy < 1 (четный тон). Итак, Ку> 0.
Используя выражение (5.24), получим характеристическое уравнение
нескорректированной системы: |
|
Tyw2-Kyw + Ky+1 = 0. |
(5.26) |
Анализ данного уравнения показывает, что система |
угловой стабили |
зации структурно неустойчивая. Для обеспечения устойчивости и качества регулирования в систему должно быть введено форсирующее звено, передаточную функцию которого можно представить в виде
а д = Л:к(7 > + 1 ). |
(5.27) |
Тогда, передаточная функция разомкнутой скорректированной систе мы запишется в виде
чX KK y(rKw + l)(l - w )
w2(w) = ------ - |
2 |
0------------ • |
(5.28) |
|
2 |
|
|
|
Tyw +1 |
|
|
Запишем характеристическое уравнение системы |
|
||
(Ту - K KKyTK)w2 +КкКу(Тк-\)w+KKKy+l = 0. |
(5.29) |
||
Применив критерий Гурвица, получим условия устойчивости системы
_,2
>ГК>1. (5.30)
КкК,
Учитывая, что Ту> 1, а Ку< 1, можно отметить, что условие (5.30) на дежно выполняется.
Для иллюстрации полученного результата построим логарифмические частотные характеристики системы, используя зависимость для частотной передаточной функции, полученной из (5.24) с помощью подстановки w = /V (рис. 5.9).
Ш Р ) = Ку |
■ |
(5.31) |
Г у О Г +1