книги / Расчет элементов конструкций заданной надежности при случайных воздействиях

Н»»’зап ~К*та

где у* - гауссовский уровень надежности, взятый дня / / * = [ — + Ф(г | ) ).

Отсюда

тЧ * У*оч

Эта формула совпадает с формулой (1.22) для нормального закона распределения с той лишь разницей, что вместо у , которое берут для уровня заданной надежности //. в нее входит у*.

8. Логарифмически нормсньное распределение

1п<7 - 1ш/о где м3 = -------------

Величина w=K*q также будет иметь логарифмически нормальный закон распределения с такими же параметрами.

Тогда для надежности имеем

Я= Ф(мэ).

41

Рис. 12. Зависимость относительных разме­ ров поперечного сечения от надежности по жесткости при различных законах распреде­ ления нагрузки:

1 - экспоненциальный; 2 - нормальный;

3 - закон Релся; 4 - равномерный; S - закон Вейбулла

= ехр(7(% з + 1п<?о) -

Откуда

На рис. 12 показаны графики зависимости отношения размеров по­ перечного сечения h/h* от надежности яо жесткости при различных зако­ нах распределения нагрузки. Здесь h* — размеры поперечного сечения, подсчитанные при значении нагрузки, равной ее математическому ожида­ нию. Для наглядности по оси абсцисс отложена величина—Ig( 1 -Н ) .

1.6. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ

ЗАДАННОЙ НАДЕЖНОСТИ ПО УСТОЙЧИВОСТИ

ПРИ ЗАКОНАХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАГРУЗКИ, ОТЛИЧНЫХ ОТ НОРМАЛЬНОГО

Эта задача решается аналогично задаче, рассмотренной в разд. 1.5. При расчете элементов конструкций заданной надежности по устойчи­ вости требуется определить величину qKp, превышение которой недо­ пустимо при обеспечении требуемой надежности. Зная qKp, легко найти размеры поперечного сечения, соответствующие ему. Запишем выраже­ ния для надежности по устойчивости согласно уравнению (1.9)

н = ч С Г з Ш ч = р ( я «р} -

Следовательно, надежность определяется как интегральная функция распределения.

Рассмотрим ряд частных случаев.

1. Равномерное распределение

'■ «>- -ГГ-

42

Пример.

Прямоугольная пластина, два края которой шарнирно оперты, один защемлен, а один свободен, нагружена по шарнирно опертым сторонам продольной сжимаю­ щей нагрузкой q (рис13), величина которой случайна и распределена по закону равной вероятности в пределах (13 — 2S) ■10s Н/м. Размеры пластины и = 2 м ;

которую можно записать через табулированный интеграл вероятностей X2 Р(2Х,2п) :

43

Схема решения выглядит следующим образом.

Пример.

Для рамы, показанной на рис. 14, найти размеры поперечного сечения, обеспе­ чивающие надежность по устойчивости Я = 0,99. Нагрузка Л действующая на раму, случайна и имеет экспоненциальный закон распределения с параметром

1

44

Пример.

На прямоугольную пластину длиной 2 м, шириной 1 м действует сжимающая распределенная нагрузка q, величина которой случайна, распределена по закону Вейбулла с параметрами у = 0; р = 3; а = (2247 • Ю3) 3 Н3/м3. Края пластины шарнирно оперты.

Найти толщину пластины Л, обеспечивающую надежность по устойчивости И = = 0,99.

По (1.88) для 4 Кр имеем

/з (< 7 )= T ^ exP f - ]-

45

Воспользовавшись выражением (1.9), для надежности имеем q2

+Ф(».)•

7.Треугольное распределение

Запишем выражение для надежности

8.Логарифмически нормальное распределение

Вэтом случае по (1.9) для надежности имеем

Я = Ф(н),

где и = tag - I n о г = 1п<7.

<*1

46

hjh* от надежности по устойчивости при различных законах распределе­ ния нагрузки аналогичны подобным графикам для надежности по жест­ кости (см. рис. 12).

1.7. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ ЗАКОНОВ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ К НОРМАЛЬНОМУ

Если законы распределения нагрузки и несущей способности не под­ чиняются нормальному закону, то с некоторым приближением их можно заменить взвешенной суммой нормальных законов распределения [20, 42]. Если заданный закон распределения величины X выразить через взвешенную сумму п нормальных распределений, то заменяющий закон распределения/зам (х) примет вид [42]

I = 1

где —вероятность того, что имеет место распределение/-^) (рис. 15). Каждое из распределений/-^) характеризуется своим средним зна­ чением тх . и дисперсийDx .. Для разбивки произвольного закона распре­ деления на нормальные составляющие удобнее всего использовать прос­ той графический способ [20,42]. Для этого заданную кривую распреде­ ления разбивают на равнобедренные треугольники таким образом, чтобы при сложении соответствующих им абсцисс получалась бы кривая, как можно ближе к заданной (рис. 16). Треугольное распределение, как из­ вестно, довольно точно может быть заменено нормальным законом с равной дисперсией. Дисперсия распределения по равнобедренному треу-

47

гольнику с основанием 2а равна Dx . = а4/6. После разложения произ­ вольного закона на нормальные составляющие получим

i = l

где mX|- и Pj определяют из графика, причем Pj = шу/Еоо,, а со,- - площадь 1-го треугольника.

С физической точки зрения данная процедура означает, что вместо одного произвольного случайного нагружения рассматривают сумму нормальных нагружений с разными параметрами mXi, DXj, существую­ щих с вероятностями/>.

Для иллюстрации рассмотрим пример обработки гистограммы действующих нагрузок на элемент конструкции. Обработка статистических данных дает закон распределения в следующем виде:

Таким образом, проектирова­ ние элемента конструкции задан­ ной надежности с помощью приве­ дения произвольных законов рас-

Рис. 17Разбиение произвольного зако­ на распределения на нормальные сос­ тавляющие

48

Пределения к взвешенной сумме нормальных распределений будет выглядеть следующим образом.

Пусть для случайной нагрузки q и несущей способности R, имеющих произвольные законы распределения вероятностей, заменяющие законы

Для максимальных напряжений S с учетом того, что S = Kq, можно запи­ сать

уГ2 п - м

Кого распределения.

Решим полученное уравнение относительно К. Зная К, по табл. 1.1 легко найти искомые размеры поперечного сечения.

При проектировании конструкций заданной надежности по жесткости для заменяющего закона распределения вероятности максимальных пе­ ремещений с учетом wmax = K*q будем иметь

49

Решим полученное уравнение относительно К*. Зная К*, по табл. 1.1 легко найти искомые размеры поперечного сечения.

Заданную надежность конструкции по устойчивости определяет уро­ вень qкр :

Взяв интеграл, получим выражение для определения необходимого уровня qкр :

Зная <7Кр, легко найти размеры поперечного сечения, которые обеспе­ чат заданную надежность nQ устойчивости.

Для иллюстрации предлагаемого подхода к проектированию элемен­ тов конструкций заданной надежности рассмотрим пример.

Найти толщину стенки А трубопровода диаметром d = 5 см, обеспечивающую надежность по прочности Н = 0,99. Трубопровод изготовлен из стали, несущая способность которой случайна и имеет следующий закон распределения:

Трубопровод нагружен внутренним избыточным давлением q, величина кото- >случайна и распределена по следующему закону:

50