книги / Остаточные напряжения теория и приложения

Заметим, что решение уравнения (3.23) само по себе представ­ ляет известные трудности. В связи с этим для построения базиса

пр воспользуемся несколько иным подходом.

Будем строить базисные тензоры с помощью полей перемеще­ ний иь i — 1, 2, 3. В качестве элементов щ примем элементы не­

которой системы линейно-независимых функций up =

(к = 1, . . . ; по к не суммировать!).

При этом каждая из компонент ut вектора перемещения и может выбираться независимо от двух других. В качестве линей­ но-независимых функций срМ будем использовать члены полино­ ма от координат

(3.24).

Заметим, что согласно теореме Вейерштрасса [130] множество по­ линомов всюду плотно в пространстве непрерывных функций Сг т. е. любая компонента ut вектора перемещения может быть с лю­ бой степенью точности аппроксимирована полиномом

используя для определенности декартову прямоугольпую систему координат

где по индексу к суммирование отсутствует.

Из (3.27) нетрудно видеть, что при данном выборе компонент

(по к не суммировать).

Очевидно, что e|f представляют собой члепы полинома от координат, т. е. (3.26) есть представление в виде полинома не­ которой степени. Заметим, что компоненты ец тепзора деформа­ ций 6 €= Нх суть непрерывные функции (вообще говоря, с непре­ рывными производными по координатам до второго порядка

31

включительно) координат — в противном случае они не удовлет­ воряют условиям совместности (3.23). А тогда множество поли­

+пр&мх&з + п^бзДОа. Тогда

деформации, которые с учетом (3.29), (3.30) представимы в виде

где e1, e2, e3 — элементы ортопормированного базиса евклидова пространства R9.

Линейная независимость двухвалентных тензоров g(ft> сразу следует из линейной независимости RW и правил операций над тензорами (см., например, 148]).

Для построения ортонормированногобазисавоспользуем­ ся обычным процессом ортогоналиэации [И , 44]:

32

где r\

< = ' 8a6c — объем области V.

33

Процесс построения базиса может быть продолжен, однако при решении практически важных задач во многих случаях дос­ таточно использования 24 первых членов, содержащих полипомы координат степени не выше первой.

При определении уровня остаточных напряжений для облас­ тей, отличных от параллелепипеда, построение базиса усложня­ ется, но в принципе производится аналогично вышеприведенному.

Предлагаемый подход для построения ортонормированного ба­

При независимости осесимметричного напряженно-деформиро­ ванного состояния от продольной координаты z элементами ба­ зиса являются

Используя далее одну из систем (3.35)—(3.37) базисных функций и оценку (3.19), можно получить оценку уровня оста­ точных напряжений для рассматриваемой конкретной задачи. Заметим, что результаты численных расчетов показывают доста­ точно быструю сходимость оценки к величине нормы остаточных напряжений — в решенных задачах приемлемая точность дости­ гается уже при использовании в качестве базисных линейных функций координат.

Определим оценку (3.19) для ортонормированной системы из шести первых элементов (3.35) (первые шесть элементов ортонор­ мированной системы (3.35) совершенно не зависят от конфигура­ ции исследуемой области). Коэффициенты Фурье согласно (3.22)

34

Уу

Таким образом, первые шесть базисных тензоров (3.35) оце­ нивают несовместность деформаций в результате отклонения ком­ понент тензора деформаций от их средних по области значений [81]. Зависимость нормы |Э — ]| от числа базисных тенворов N в разложении и точность оценки уровня остаточных напряжений |Р I будет показана ниже при решении конкретных задач.

При решении некоторых задач полученная выше оценка уров­ ня остаточных напряжений может быть улучшена. Например, при рассмотрении некоторых прикладных задач возникает ситуа­ ция, когда во всех точках области одна из компонент тензора напряжений существенно превосходит остальные. Так, теорети­ ческое и экспериментальное исследование напряженно-дефор­ мированного состояния двутавровой балки при ее охлаждении

35

на холодильнике свидетельствует о том, что продольное напряже­ ние ох на порядок и более превосходит остальные компоненты тензо­ ра напряжений. Кроме того, компоненты сдвиговых напряжений и деформаций пренебрежимо малы по сравнению с нормальными. В этом случае оценка (3.40) принимает вид

Естественно предположить в рассматриваемом случае, что уровень остаточных напряжений рх определяется лишь несов­

местностью продольных упругих остаточных деформаций etИными словами, из оценки (3.41), по всей вероятности, можно исключить компоненты е2 и е3 и улучшить оценку (3.41). Дей­

ствительно, в рассматриваемом случае рх = Ее{. Тогда, вводя обозначение

— Aex). Используя далее условие самоуравновешенности оста­

точных напряжений и легко проверяемое тождество § Аёх dV = 0,

v

определим оценку уровня остаточных напряжений:

При выводе (3.42) использовалось условие ех = const (х 6= ^). Действительно, при наличии только компоненты ах имеем, что е2 = е3 = — рвх и из уравнения совместности деформаций следует, что вх является не более чем полилинейной функцией координат. В предположении, что для профилей симметричного сечения изгиб отсутствует и что напряженно-деформированное состояние в рас­ сматриваемом случае однородно по длине, условие совместности принимает вид ex = const. При этом с учетом изложенного ранее (см. § 2.1) оценка (3.42) получает простое физическое толкование. Поскольку уровень остаточных напряжений полностью опреде­ ляется несовместностью упругих составляющих тензора остаточ-

36

ных деформаций, а условие совместности в рассматриваемом случае имеет вид ех = const, то уровень остаточных напряжений одно­

значно определяется нормой отклонения Де£ упругих остаточных

ципе построение оценки уровня остаточных напряжений (целе­ вой функции) и в этом случае не будет отличаться от вышеприве­ денного.

37

ГЛАВА IV . МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ. ПРИЛОЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ КРАЕЕОЙ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОНЛАСТИЧНОСГИ

Определение остаточных напряжений и оценка их уровня для рассматриваемых в настоящей работе процессов связаны с необ­ ходимостью решения краевой задачи термоупругопластнчности. Эффективным методом решения сложных нелинейных задач явля­ ется метод конечных элементов (МКЭ). Количество работ, посвя­ щенных применению МКЭ к подобным задачам, выводу разре­ шающих соотношений и математическому обоснованию метода, чрезвычайно велико и продолжает нарастать. Обзоры по этим вопросам имеются в работах [22, 43, 83, 135]. Вопросы примене­ ния МКЭ к процессам обработки металлов давлением рассмотрены

кусочно-постоянны, и нет необходимости определять, например, границу упругой и пластической зон в элементе. Метод конечных элементов будем трактовать как удобный метод аппроксимации искомых переменных кусочно-непрерывными функциями.

Одним из центральных моментов при решении задач пластич­ ности и термоупругопластнчности является выбор соответствую­ щей теории пластичности. Достаточно полный обзор теорий; а также методов и результатов решения краевых задач термоупругопластичности содержится в работах [91, 109, 131]. Одной из математических теорий термоупругопластичпости, позволяющих достаточно полно отразить механику пластического деформиро­ вания в исследуемых в настоящей работе задачах, является тео­ рия неизотермического пластического течения с анизотропным упрочнепием [32, 33, 109]. Остановимся несколько подробнее на определяющих соотношениях данной теории.

4.1. Определяющие уравнения теории неизотермпческого пластического течения с линейным анизотропным упрочнением

В работе [109J вышеуказанные определяющие соотношения разрешены относительно' приращений деформаций cfej/. Однако решение большинства конкретных задач осуществляется в пере­ мещениях. При этом нам потребуются определяющие соотношения,

В соответствии с работой [109] запишем основные гипотезы теории неизотермического пластического течения с линейным ани­ зотропным упрочнением:

38

а; приращения компонентов тензора полных деформаций del} суть сумма приращений компонентов тензоров упругих defy, пластических defy и температурных der6yy деформаций

с) приращения компонентов тензора пластических деформаций пропорциональны компонентам девиа­ тора активных напряжений

Тогда определяющие уравнения могут быть записаны однотипно для упругой и пластической областей в виде

39

где * „ = & „ - (*ц«ц)/3,5 G = £/2(1 + д), С« = (-i--* - -

-----1 дд—-||г) s*i* Умножив обе части (4.6) nas£, произведя свертку по Uj = 1, 2, 3, получим после необходимых преобразований

Переходя от приращений компонентов девиаторов к приращениям компонентов тензоров напряжений и деформаций, окончательно имеем

При использовании МКЭ определяющие соотношения удобно представить в матричной форме, которая легко может быть по

40