книги / Основы математического моделирования и численные методы

Поскольку

дN.

- = bq, q = /, j, к , дх

^ ь м + ь м + ь „ и к .

Аналогичным образом определяются производные по коорди­ нате у .

3.6. Локальная система координат

одномерного симплекс-элемента

Локальной системой координат называется система коорди­ нат, привязанная к конечному элементу, в которой координаты ме­ няются линейно между нормированными узловыми координатами. Преимуществом локальной системы координат является то, что интеграл по элементу часто имеет стандартную аналитическую

Для узлаj локальная система координат запишется как

х - Х

Можно отметить также, что Ll =Nj и L2 =NJ . Таким образом,

и = LiUi + l^U j.

Как будет показано ниже, элементные вклады могут быть выражены в Z-координатах в виде интегралов

е

целые числа (0, 1,2, ...). В этом случае аналитическая формула ин­ тегрирования имеет вид [5]

(3.13)

где Z - длина конечного элемента.

3.7. Локальная система координат

для двухмерного симплекс-элемента

Координата площади в двухмерном случае аналогична коорди­ нате длины в одномерном случае. Для произвольно выбранной точ­ ки Р в трехузловом элементе площадь треугольника А1 (рис. 3.12)

Рис. 3.12. Три площади, связанные с произвольной точкой треугольника, и локальные координаты

Ясно, что величина Ц изменяется в пределах от нуля до едини­ цы. Координаты Ь2 и Z3 определяются аналогично:

и изменяются в тех же пределах, что и Z,.

Поскольку Ах+ А2 + А3 =А ,

Координаты Ij, 1з, i 3 называются 1-координатами.

При изучении свойств Z,, 1^, Ц с учетом соотношения (3.14) обнаруживают некоторые интересные сведения. Локальные коорди­ наты Z,, 1г2, Z3 совпадают с функциями формы треугольного сим­ плекс-элемента:

W ,= v NJ =L2, iV *=V Из рис. 3.12 видно, что

[1 в узле с номером i,

А = -

0 в узлах j и к.

Это справедливо для локальных координат 1^ и 1^ . Из выра­ жения (3.14) следует, что в любой точке конечного элемента сумма функций формы всегда равна единице.

Если записать следующую систему уравнений:

x = LlX i +L2X J +L3X k>-

соотношения, идентичные выражению (3.10).

Формула интегрирования для треугольного симплекс-элемента

3.8. Интерполяционные полиномы

для дискретизованной области

Интерполяционный полином в матричной форме можно запи­ сать как [5]

и,

и .

где (е) - верхний индекс, указывающий на произвольный элемент;

г - количество узлов в элементе.

На рис. 3.13 показана область, состоящая из пяти треугольных симплекс-элементов, количество узлов в которой равняется шести. Заданы координаты узлов (Х д, Yq), q =l, 2,..., 6 . В круглых скобках

записаны номера элементов. Величины C/ l 5 U2, U3, С/4, U5, U6

представляют собой глобальные степени свободы. Номера узлов ко­ нечных элементов обозначены индексами i , j и к . При этом

/-й узел в элементе является первым и на рис. 3.13 обозначен звез­ дочкой. За /-м узлом в направлении против часовой стрелки следуют узлы j и к .

В табл. 3.1 приведена связь между локальной и глобальной ну­ мерациями узлов конечных элементов.

Таблица 3.1

Связь между локальной и глобальной нумерациями узлов конечных элементов

Подставляя вместо локальных индексов /, j и к соответст­

вующие им индексы глобальной нумерации узлов из табл. 3.1 в формулу (3.16), получим следующую совокупность уравнений для элементов:

ит =N ^U 2 + N ^U 3 +N il)Ui ;

м(2) = N™U3+ N ^ U 2 +Nl2)UA;

i/(4) = N ^ U 6 +N ^ U 3+ N$4)U5;

M(5) = #}3)t7, + N /( ]U3 + N ^U 6.

Из совокупности уравнений (3.17) видно, что конечные элемен­ ты объединяются в ансамбль, а интерполяционные функции выра­ жаются через глобальные узловые значения и глобальные координа­ ты. Каждое из уравнений в системе (3.17) содержит глобальные узловые значения, но относится к конкретному элементу. В даль­ нейшем используется расширенная форма записи этих уравнений, которая имеет вид

Метод конечных элементов дает способ представления искомой функции. Решение же самой задачи в рамках этого метода осущест­ вляется посредством применения какого-либо другого метода. Та­ ким методом может быть метод наименьших квадратов, метод Ритца, Метод Галеркина и др.

3.9. Применение метода Галеркина в МКЭ

Метод Галеркина совместно с методом конечных элементов находит широкое применение при решении уравнений краевых за­ дач [3-8]. Рассмотрим применение метода Галеркина к решению дифференциальных уравнений 1-го и 2-го порядка. В результате применения данного метода получается приближенное решение дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение за­

Приближенным решением уравнения (3.19) является следую­ щее выражение:

» = 1 в д .

где £/, - узловые значения приближенной функции и; Nt - функ­ ция формы (базисная функция).

Поскольку и является приближенной функцией,

L u - f =e,

где е —ошибка (невязка) решения.

Чтобы е было минимальным, необходимо обеспечить равенст­ во нулю следующего интеграла по объему V:

jWjEdV = О,

V

где Wt - весовая функция. Тогда

V

В методе Галеркина весовые функции должны быть равны ба­ зисным функциям (функциям формы):

W,=Nt .

Тогда выражение (3.20) запишется в виде

V

Условием сходимости МКЭ является представление функции формы конечного элемента полиномом как минимум р -й степени, где р - наивысший порядок производной, входящей в форму­ лу (3.21). Поскольку обычно используют линейную интерполяцию на конечном элементе, в формуле (3.21) допускаются лишь первые