книги / Неупругое поведение оболочек

углах крышки разрушающая нагрузка быстро стремится к разрушающему давлению для чисто мем­ бранного состояния. Таким образом, влияние изгиба на разрушающее давление значительно лишь для по­ логих оболочек, где получается заметное увеличение разрушающего давления по сравнению с решением для пластинки. Примеры этого можно найти в книге Ходжа [6.49].

6.3. Приближенные методы

В задачах теории предельного равновесия наи­ больший интерес представляет величина разрушаю­ щей нагрузки, поскольку она дает оценку безопасно­ сти конструкции по отношению к разрушению. Инже­ нер не всегда интересуется полным решением задачи о предельном равновесии— чаще ему нужно опреде­ лить разрушающую нагрузку. Более того, из табл. 6.4 можно видеть, что собственно уравнение текучести не оказывает большого влияния на разрушающую на­ грузку, даже если различие в других частях полного решения (т. е. в напряжениях и форме разрушения) существенно.

Метод ограничивания разрушающей нагрузки ха­ рактеризуется неравенствами (6.29); они позволяют найти границы истинной разрушающей нагрузки с помощью полных решений для приближенных гипер­ поверхностей текучести, являющихся или описанными, или вписанными по отношению к действительной по­ верхности.

Более общий подход основан на двух фундамен­ тальных теоремах теории предельного равновесия, важность которых состоит в установлении нижней и верхней границ для разрушающей нагрузки. Эти тео­ ремы о границах были сформулированы А. А. Гвоз­ девым [6.36] и позднее заново открыты и доказаны Друккером, Прагером и Гринбергом [6.13, 6.14] и Хил­ лом [6.37]. Теоремы состоят в следующем.

Теорема о нижней границе: Идеально-пластиче­ ская конструкция не разрушится под нагрузкой ps> если какое-либо напряженное состояние, которое удо­

6.3. Приближенные методы

влетворяет требованиям равновесия и не выходит за пределы поверхности текучести, может соответство­ вать граничным условиям в напряжениях.

Теорема о верхней границе: Идеально-пластиче­ ская конструкция разрушится под нагрузкой ри, если форма разрушения, которая удовлетворяет требова­ ниям, предъявляемым к механизмам, может быть оп­ ределена так, что скорость, с которой внешние силы производят работу, превосходит скорость внутренней диссипации или равна ей.

Вэтой формулировке теоремы приложимы только

коднопараметрическому нагружению. Чтобы полу­ чить какую-либо нижнюю нагрузку pst характеризуе­

жений M°alJ(psp0), №ati(pspQ), которое удовлетворяет

уравнениям равновесия и граничным условиям и при котором не нарушается соответствующее условие те­ кучести. Таким образом,

Поскольку Мар и NaQлинейны по рро, а F —одно­ родная функция (скажем, порядка а) напряжений, получаем, что

Следовательно, наилучшая нижняя граница равна

(6.47)

Следует заметить, что распределение упругих на­ пряжений, которое получается из решения соответ­ ствующей граничной задачи, относится к классу на­ пряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия; поэтому такое решение обеспечивает получение ниж­ ней границы для разрушающей нагрузки. Теорема о нижней границе тесно связана с принципом предель­ ных напряжений, как доказано С. М. Фейнбергом [6.24, 6.26], который развил метод определения гра­

94 6. Теория предельного равновесия

ниц для разрушающей нагрузки с помощью теоремы о нижней границе.

Чтобы получить какую-либо верхнюю границу рлРо разрушающей нагрузки^ можно применить прин­ цип сбалансирования скорости внутренней диссипа­ ций с мощностью внешних сил. Поскольку любая вир­ туальная форма разрушения удовлетворяет требова­ ниям, налагаемым на механизм разрушения, очень полезным средством получения оценок верхней грани­

соответствующих соотношений между деформациями и перемещениями можно определить скорости удли­

Если величины Мар и Na$ удовлетворяют условию те­

кучести, а хар и Лор — соответствующим скоростям течения, то в правой части (6.48) будут содержаться только скорости деформаций. Соотношение (6.48) при* водит к наилучшей верхней границе

(6.49)

А

Если в неравенстве (6.48) компоненты тензоров ре­ зультирующих напряжений заменить величинами Мар = Л4бар и Afap = iV6ap, то действительная гипер­ поверхность текучести заменится приближенной, ко­ торая будет описанной. Здесь М и N — постоянные, величина которых выбирается так, чтобы приближен­ ная поверхность огибала точную поверхность теку­ чести, Тогда соотношение (6.49) принимает особенно

простую форму для приложений и верхняя граница оценивается следующим образом:

J P0iilidA

A

Эта формула является основной для кинематйческого метода оценки разрушающей нагрузки железобетон­ ных оболочек. Если возможная форма разрушения оболочки состоит из жестких элементов, ограничен­ ных пластическими зонами, то числитель в (6.49) оценивается путем интегрирования вдоль зон, в ко­ торых поле скоростей перемещений претерпевает раз­ рыв. Разрывы, встречающиеся при исследовании обо­ лочек, относятся к кривизнам и осевым удлинениям срединной поверхности оболочки. Более детально этот вопрос рассмотрел Ходж [6.49].

Теоремы о границах использовались во многих задачах. Онат и Прагер [6.103] и Ходж [6.47, 6.50] применяли эти теоремы к получению оценок разру­ шающей нагрузки для сферической крышки. Чтобы проиллюстрировать процедуру определения границ разрушающей нагрузки, рассмотрим шарнирно опер­ тую крышку с главным радиусом кривизны R. Если она нагружена равномерным давлением цро, то ниж­ няя граница дается мембранным решением. Это при­ водит к выражению

где фо — половина угла раствора крышки, то из соот­ ветствующих соотношений между деформациями и перемещениями следует [2.6, 2.45], что

Применяя принцип виртуальных скоростей и заменяя Мар и Naр надлежащими постоянными в соответст­ вии с работой [6.50], находим

2nR2N J |X*+ X* |sin ф dq>+ 2яR2M J |** + к* |sin ф rfqp

_____ 0_____________________ о________________

P k ф0

2яR 2J о» sin ф < ф

(6.54)

Далее, подставляя в (6.54) выражения для скоростей деформаций, получим для рн следующее соотношение:

(6.55)

из которого видно также, каков порядок величины влияния моментов на несущую способность.

Весьма близкие границы разрушающей нагрузки для сферической крышки получил Ходж [6.41, 6.47]. На рис. 6.7 эти границы показаны для свободно опер­ тых крышек с большими углами раствора.

Границы разрушающей нагрузки для однородной конической оболочки даны В. И. Розенблюмом [6.118]. Если R — радиус опорного кольца оболочки и <р0— половина ее угла раствора, то для оценки верхней границы при равномерном давлении р на шарнирно

.опертый конус в работе [6.118] используется следую­ щее поле скоростей перемещений:

w = w0(l - р ), й = и0(1 -р ), р = rfR, (6.56)

где ио и ^ - —тангенциальная и нормальная скорости перемещений соответственно; г — независимая пере­ менная. Для материала Кулона — Треска границы даются выражением

оболочки.

Поведение конических оболочек под нагрузками, распределенными по некоторой площади, изучали Ходж и Деруиц [6.51]. Границы для разрушающей нагрузки тороидальных и сферических днищ сосудов

Р и с , 6.7. Гранины разрушающей нагрузки для сферической

крышки [6.41].

/- верхняя граница; 2 -мембранное решение (нижняя граница).

давления послужили темой статей Друккера и Шилда [6.17, 6.140], Джесмена, Хартунга и Эдвардса [6.63], которые рассматривали оболочки переменной толщи­ ны, а также работ В. В. Рождественского и М. Н. Ручимского [6.121], Ю. П. Листровой и М. А. Рудиса [6.73].

Оценки несущей способности оболочек с насад­ ками, в особенности прочности соединений, получили Клод [6.4], Линд [6.70], Гилл [6.32] и Динно и Гилл [6.9, 6.10]. Интерес к несущей способности армирован­ ных оболочек и оболочек, состоящих из различных геометрических поверхностей, вызван применением конструкций этого типа в атомной 'технике и энерге­ тике. В настоящее время можно наблюдать силь­ ное стремление к решению актуальных технических

7 Зон. 81

6. Теория предельного равновесия

задач. Однако следует указать, что вводимые пред­ положения в определенных случаях являются слиш­ ком упрощенными. Маловероятно, что для несиммет­ ричных оболочек можно получить решения в замкну­ том виде. Следовательно, особое внимание должно быть обращено на развитие практических методов оценки границ.

А. Р. Ржаницын [6.124] разработал метод оценки верхней границы для пологих оболочек. Его подход будет подробно обсуждаться в следующем параграфе. Накамура получил границы разрушающего давления для гиперболического параболоида [6.88, 6.89]. Этот частный тип оболочки, который представляет значи­ тельный интерес в гражданском строительстве, ана­ лизировал также Шмодитс [6.141] (Б. О. Геворкян [6.31] исследовал искривленные панели.) Фиалков [6.27] нашел границы разрушающей нагрузки для по­ крытия в виде цилиндрической оболочки; правда, эти границы довольно широки. Рыхлевский [6.122] иссле­ довал геликоидальные оболочки.

Используя экспериментально полученные формы разрушения цилиндрических оболочек, Савчук [6.130] предложил метод обобщенных линий текучести, раз­ витый Янасом [6.65] как обобщение теории линий те­ кучести пластин. Чтобы показать основные особен­ ности этого метода, рассмотрим цилиндрическую па­ нель, шарнирно закрепленную по трем краям и свободную на четвертом. Предполагая, что форма раз­ рушения характеризуется жесткими частями, соеди­ няющимися вдоль пластических зон, находим, что в этих пластических зонах возникают определенные раз­ рывы скоростей перемещений и их производных. Та­ кие разрывы (удлинений срединной поверхности, а также кривизн) должны быть кинематически допу­ стимыми для предполагаемой формы разрушения. Внутренняя энергия диссипируется только вдоль этих обобщенных шарнирных линий. Для панели оболочки, показанной на рис. 6.8, кинематические граничные условия имеют вид

(6.58)

100 6. Теория предельного равновесия

В рассматриваемом случае вращения вокруг линии АА имеем следующие граничные условия:

й= 0- * = (в-63>

которые описывают движение части AADD оболочки. Аналогично этому части ADB вращаются относитель­ но осей,-положение которых определено параметром Ф! (рис. 6.8).

Из кинематических условий (6.58) и граничных условий

где k = [tg^i/2)sin 2ф0 + cos 2ф0]4 .

Поскольку скорость радиального перемещения w должна быть непрерывна, из (6.62) и (6.67) полу­ чаем уравнение обобщенной шарнирной линии

хtg -^- + ctg2<p0

(6.68)

Х° tg — + Ctg ф

Вдоль этой линии возникают разрывы удлинений и кривизн срединной поверхности оболочки. Сосредо­ точенные скорости удлинения (т. е. скачки скоростей перемещений, обозначаемые через г;] и и], которые возникают при переходе через обобщенные шарнир­ ные линии) получаются путем вычитания соответ­ ствующих уравнений (6.63) и (6.65) или (6.66). Ана­ логично этому разрывы наклонов определяются уг­

лами вращения 9* и 0ф. Следовательно, чтобы вычис­ лить диссипацию внутренней энергии (т. е. правую