книги / Механика деформаций гибких тел

Конечно, это более громоздкая мера, чем (1.1.13), по для нучк» направляющих не выполняется равенство

A LJ •5,уАлг) = — A MJ ‘ ^.уАь],

если только его двпяхеппе отличается от движеипя жесткого те­ ла. Наша мера (1.1.13) введена как раз для псключитслыгого случая, когда пучок направляющих движется как жесткое тело

IIможет быть отождествлеп с повериутым базисом.

Вцелом деформированпое состояние «-мерного орпептпроваппого континуума с т направляющими описано в [81] следую­ щей системой мгновенных кинематических параметров: по;нщи-

оипым вектором X, паправляющпми векторами А.у], метрическим тензором Лл-дг) в Ау) •Ам) и тензором искривления (1.-1.1). Эта общая кинематическая моде.ль примепена затем к описанию де­ формированного состояния криволниепиого «стержня» как одно­ мерного континуума с тремя направляющими и «оболочки» к*ак двумерного контпнуума с тремя направляющими. В обоих с.тучаях система кинематических параметров дополнена еще тензо­ ром кривизны, характеризующим «в.ложсп113’'Ю» геометрию контпиуума в мгновенном состоянии.

Кроме того, в работе [81] для «стеряшя» и «оболочки» введе­ ны поля усилий и моментов, а па основе третьего закона Ньюто­ на получены динамические уравнения, совпавшие с соответству­ ющими уравненпями Koccepa (1.3.12) п (1.2.26). Однако в отли­ чие от подхода Koccepa вывод динамических уравиеиип никак пе согласован с предложенными кинематическими моделями и

согласованные с кинематической моделью Эрпксена — Трусделла, сформулированы Р. А. Тупииым (50, 107]. Они выведены из нрипцина Гамильтона в предполоя«енпи, что потенциал полной энергии зависит от позиционного вектора, его скорости и гради­ ента и от направляющих векторов, их скоростей и градиентов. Система динамических уравнений Тупина содеряхит одно век­ торное уравнение баланса обобщенных сил п три векторных уравнения баланса обобщенных моментов.

К концепции ориентированного континуума иным путем при­ шел Р. Д. Мипдлин [43, 94]. Он задался целью построить такую континуальную модель физической среды, которая учитывала бы микроструктуру, В его трактовке каждая структурная части­ ца (ячейка) среды рассматривается как деформируемый микро­ континуум, а сама среда — как континуум ячеек-микроконти­ нуумов. Если каждая ячейка испытывает однородную деформа­ цию, то реализуется кинематическая модель Эриксена — Трус­ делла C двенадцатью кинематическими степенями свободы, по­ скольку однородная деформация трехмерной ячейки однозначно определяется движением любых трех линейно независимых век­ торов (направляющих) и еще один (позиционный) вектор ука-

зыиает положение ячеГпчП в макрокоптипууме. Яче1’|ке, движу­ щейся как жесткое тело, отвечает модель Koccepa с шестью степепямп свободы. Переход к классической модели Коши осущест­ вляется пдептификацией микро- н макрокоптипуумоп. В трак­ товке Р. Д. Мпидлипа стержень лщжно представить как одно­

Параллельно с теорией орпентнроваппых сред развивался и Apyroii способ обобщения классической модели деформируемого континуума, основанный на включении в систему определяющих параметр(!В драдиемтов второго порядка от мгновенного позици­ онного вектора дьти вектора псре.мещения. Такие обобщенные среды получи.!и !!азвапне «сред второго класса». Г. Грполи [87] внервые корректно описал упругую сроду второго класса «со стесненным вращением» при малд.дх деформациях. Ее упругий потенциал б|>1л задан квадратичной формой первых п вторых частных ирои.дводных от перемещений, повороты точек опреде­ лены аитиси.м.метричной составляющей градпепта поля переме­ щений («сгеспенное вращение»).

ниях, сравнимых C HX размерами: Взаимодействие любых двух

совершаемо!! над элементом среды, введены эпергетичеекп соот­ ветствующие напряжениям и моментам кинематические пара­

метры состояния: симметричный тензор деформаций Грина

H тепзор малых кручепий-изгпбаний Удлг (линеарпзовапный варпаыт тензора пзгнбаиий F WMJ). C учетом кипе.матпческой связи «стеспепиого вращения» скорость плотности энергии деформации представлена выражением

( F M - вектор поворота; Z Z t,-вектор леремещеппя). Тензор де­ формации обычным образом выражается через компоненты гра­ диента вектора перемещения.

Для изотермического состояния анизотропной среды введен

модулями упругости.

Согласно (1.4.2) антисимметричная составляющая тензора напряжений п шаровая составляющая тензора моментов по свя­ заны C деформацией среды. Авторам работы удалось исключить эти составляющие из динамически.^ уравнений и получить в ито­ го замкнутую математическую формулировку предложен iioii модели.

Поскольку равенство (1.4.3) выра;кает тензор изгибаний че­ рез компоненты градиента второго порядка от вектора переме­ щения, а упругий потепциал имеет квадратическую зависимость от F JVM, естественно заключить, что упругий момептпьй): конти­ нуум со стесненным вращением совпадает со средо1[ второго класса Гриолп, которая, в свою очередь, является подклассом более общн.ч сред второго класса. Впервые этот вывод был сформулирован в статье Р. А. Тупппа в 1962 г. (106]. Наиболее полное и детальное изложепие лииейпой модели упругого моментпого континуума со стесненным вращением дано В. Т. Koiiтером [33, 90]. В английской научной литературе такая модель получила название «псевдоконтипуума Коссера».

Работа [5] положила начало исследованиям советских у^гепых по пеклассическим моделям деформпруе.мых сред. Ее авторы указали возможность обобщения модели путем введения незави­ симого поля поворотов [35]. Эта же программа реализована в статье В. А. Пальмова [49]. Неожиданную область приложения теории момептного континуума открыл В. В. Болотин [6]. И.м построены коптпнуальпые модели волокнистых и слоистых ком­ позитных сред, укладывающиеся в рамки теории упругого моментного континуума со стесненным вращением.

Модель упругого момептного континуума со стесненным вращением базируется на той же кинематике, что и классическая теория упругости, но плотность энергии деформации считается функцией яе только тензора деформации, но и его ротора. В ли­ лейной теор1ш компоненты ротора деформации совпадают с ком­ понентами градиента поворота, которые образуют девять линей­ но независимых комбинаций восемнадцати различных компонент градиента второго порядка от вектора перемеще-пий (1.4.3). Р. А. Тулин [106] раздвинул границы этой модели, включив в число определяющих параметров все восемнадцать компонент. А. Е. Грин и Р. С. Ривлин [86] предлолшли общую теорию сплош­ ных сред, определяющими параметрами которых являются гра­ диенты произвольного конечного порядка от поля перемещений.

Они ввели объемные и поверхностные MyBbTiinojTnpubie сплы, мощность !{оторых в произвольном поле деформаций определя­ ется пх произведением па граднепт скорости того или иного порядка. Соответствующие обобщенные среды получили название мультпполярпых. Иеформальиый, физически обоснованный под­ ход к OiiiicaiIItiO деформаций сред сложной структуры как коптипуальиых сред с iiiiyTpoiiiiiLMii степенями свободы указан в ра­ боте Л. И. Седова [о5]. В основу построений положепо обобщеппое вариационное уравионио Лагранжа с термодипампческп.\г потепцнало.м, зависящим от внутренних параметров, их скоростей и градиентов произвольного конечного порядка.

Вачннан со статьи Дж. Л. Эриксона и К. Л. Трусделла, для всех иерочпс.чениых публикаци!! характерен отход от «чистой»

прапленнн усложнения (унеличонио внутренних стенепей свобо­ ды). 11е11оср(';|ственно модели Koccepa посвящена статья Е. Рейсспора [99]. и основу кинематического описания вращательного двщьення .ма.юго злемеита трех.мериого коптш1уу.\1а он положил псктар конечного поворота, который нс.задолго до этого был вве­ ден Д;ь'. Г Ca6.4(01,400.4 и Д. А. Даниэльсоиол! при опнеапнп кпнсматнки оболочки как материальной поверхности [101]. Е. Peuc- CIiep расс.4отре;| чисто механические законо.мерностп диформировання тре.\мерного KoiiTniiyyiMa Косссра. Дииампческц.4 уравне­

напряжений п .мо.меитов. Использованный Е. Рейсснером вектор поворота ПС является натуральным: он имеет длину l2tg(Ф/2)l, где — угол поворота. E соответствии с этим для тензора изги­ баний приведена ([юр.мула

Л\. = {д,у\ + 1/2У X 5.уУ)/(1 + IMV V ),

отличающаяся от (1.1.14). Эквивалентной (1.1.16) определяющей

деформаций вида (1.1.35). Векторная запись (1.1.18) этих урав­ нений не дана. Вопрос о формулировке термодинамических п определяющих уравнепий не затронут.

.Расс.мотреипые до сих пор работы посвящены построению об­ щих прострапствепных (трехмерных) моделей сред с дополпптельпымп по сравнению с моделью Кошп виутрепиилш стеиспямп свободы. Описываемые такими моделями среды — момептиые, плп несим.4 етрич11ые, орпептировапиые, шш паправлеппые, и муль- т1шолярныс — пмеют в своей основе одно общее свойство: оип являются локальными коптппуальиымп средами. В этодг смысле все рассмотрепные модели могут быть объединены в класс обоб­ щенных локальных моделей трехмерного континуума. Их отличительиая черта — пересмотр поиятпя материальной точки. В мо­

дели Коши точка среды обладает только тремя степенями сво­ боды поступательного движения. Модель Koccepa наделяет се шестью степенями свободы произвольного .движения твердого тела, модель Эрнксепа — Трусделла — Мипдлина — двенадцатью степенями свободы движения тела с однородной деформацией. В мультпполярноп модели механическое состояние точки опре­ деляется произвольным конечным числом кииематическпх па­ раметров.

В связи C идеей выделения жесткого поворота базиса умест­ но обратить внимание на статью М. А. Био [74], которьп! реали­ зовал ее при описании iieaiiHeiinoii кинематики безмомептпого континуума. По-впдпмому, нмеппо М. А. Био принадлежит приоритет введения связанного с повернутым базисом тензора

UHM ]- (Ал') — Ал]) •Алг),

который принят нами в качестве меры метрических дефор.маци!'1 континуума. М. А. Био симметризовал его условис-м (1.1.93) и выразил через компопепты вектора перемещепий в квадратич­ ном прпблпжепип. Для плотности мощности деформации полу­ чил выражение

установив тем самым энергетическую согласованность между тен­ зорами деформаций и напряжепи!!, определенными в повернутом базисе.

Более полное описание нелинейной кинематики безмолюнтного континуума с пснользованием преобразования жесткого по­ ворота дано В. А. Шамипо11 [64]. В нем существенно пелользоваи вектор конечного поворота и введены меры дефор.мацпи и изги­ ба континуума.

Выделение жесткого поворота базиса в безмоментпом конти­ нууме H связанную с ним трансформацию тензора деформаций мо/кно реализовать с помощью полярного разложения градиента перемещений. Если W = W A-A^ — его тензор, F — ортогональный тензор поворота, то можно записать

где W " и W"*" — левый и правый симметричные тензоры дефор­ маций.

Первое из разложешп! (1.4.4) представляет кинематику эле­ мента среды как поворот п последующую дефор.мацию, второе — как деформацию и последующий поворот. G этой точки зредия кинематическая модель Био соответствует полярному разложению C левым тензором деформации, Шамипой — с правым. Поскольку поворот ле изменяет метрики пространства, уравнения первой модели естествеппым образом формулируются в начальной мет­ рике континуума. В этом заключается преимущество концеп­ ции Био.

Статья Дж. Л. Эрнксепа п К. А. Трусделла [81] инициирова­ ла носледователыюсть работ по конструированию моделей де-

формируемых тел оболочкообразпых и стержневых форм как двумерных и одномерных орнентнропанных сред. В наиболее ранней публнкацни А. Е. Грнна, И. М. Иа.хди н В. Л. Веинрайта [85] построена корректная модель деформируемой материаль­ ной поверхности как ориентнропаннои двумерной среды с одним направляющим вектором. Все необходимые кинематическне, ди­ намические H определяющие уравнения сформулированы в мет­ рике деформированного состояния поверхности. Модель допуска­ ет не только поворот, но п деформацию направляющего вектора и поэтому является более общей, чем модель Коссера. Еще бо­

динамических, термодинамических и определяющих уравнений (для простого материала без па.мятн), отвечающих кинематиче­ ской модели ЗрнICCCMia — Трусделла [81]. В этом смысле вклад работы [79] Ii теорию двумерного орнентироваипого континуума аналогичен вьмаду работы [.59] в теорию трехмерного.

Мримоненню кинематической модели Эриксона — Трусделла для построения однолюрно!'! термомеханпческой модели стержня посвящена ])аоота Л. IC. Грнна н И. Лоуза [83]. Деформируемый стержеш. представлен ими как материальная линия, с каждой TOMKoii которой связаны два изменяющихся направляющих век­ тора. В началыю.м состоянии они образуют некомпланарпую ба­ зисную тройку C !сасательным вектором линии. Изменением метрического тензора базиса определяется деформация положе­ ния, изменением градиентов направляющих — деформация ори­ ентации (искривления линии). При выводе динамических урав­ нений из уравнения баланса энергии наложено условие ппварпаптпости отноептелыю перемещений пары направляющих векторов как /кесткого целого. Оно противоречит первоначаль­ ному предиоложоишо о пезаииспмостп направляющих векторов. В результате получены динамические уравнения, согласованные не C пеходпо]"! шшематическо1к моделью, а с моделью Коссера.

Полные системы уравпепип упругодеформнруемой лнипп, согласованные с кинематическими моделями Кирхгофа и Коссе­ ра, сформулпровапы в статье В. В. Елисеева [25]. При описашш кинематики линии здесь использован не вектор, а тензор конеч­ ного поворота. По споим результатам статья не выходит за рам­ ки монографии [78].

За исключением работ Е. и Ф. Коссера и В. В. Елисеева, во всех рассмотренных публикациях, посвященных математическо­ му описапию деформаций сплошных сред с повышенным числом внутренних степеней свободы, сформулированные системы урависиий отнесены к метрике деформпроваииого состояния. 0то обстоятельство вносит псопределепиость в математическую фор­ мулировку проблемы.

В основу материала первой главы книги легли авторские ра­ боты [66, 69]. Автор ставил перед собокк цель дать снетематнзироваппое, полное, общее и современное описание моделей Коссера

для деформируемых трехмерных, дпумерпых и одномерных сплошных сред с шестью впутрсшшмн степенями свободы, В че­ тырех разделах первого параграфа изложена нелинейная теория трехмерной среды Koccepa (момептного континуума) без огра­ ничения величины перемещепин п поворотов. Дополнительно к содержанию работ (78, 99] здесь введен натуральны!'); вектор конечного поворота п с его помощью дано полное описание мер

гии континуума, осуществлено скалярное представлопис кппематичоских и дппамичоских ypaniieimik в начальном и поверну­ том базисах. Дополнптельпый вклад в теорию !«оитипуума Jiiocсера вносит четвертый раздел параграфа, в котором рассмотрены термодинамические аспекты построеппя определяющих уравне­ нии момеитпой среды. «Направляющими векторами» в зти\ 1)азработках автору служила термодинамическая теория безмомеитлоп среды в изложении Л. И. Седова [54], К. А. Трусделла [58] U А. И. Лурье [40].

Пятый раздел параграфа содержит формулировку трох.\1ерпой среды Koccepa со стесненным вращением (псевдомомеитиый К(штинуум) и безмомеитпой. среды. Здесь корректно и в полной мере реализовапа идея М. А. Бпо о выделепип «стесненных» новоротов материальных точек, т. е. поворотов, обусловленных перемещепиями окрестностей. Как п в лпнеипом варианте [83, 90], число граничных условии для псевдомоментлого контш1уу.ма удалось сократить с шести до пяти.

Содержание второго и третьего параграфов главы составля­ ют исчерпывающие формулировки кинематики и динамики де­ формирования двумерного и одномерного континуумов Коссера. В том и другом случае каждая точка коптииуума обладает шестью степенями свободы; тремя линейными и тремя угловы­ ми. Обе формулировки получепы из трехмерной формальным умеиьшением размерности пространства с соблюдепислг условия инвариантности относительно перемещени!'! жесткого тела. Опн H такой же мере модифицируют и дополхгяют соответствующие формулировки Коссера, в какой это делает изложенная в первом параграфе теория трехмерного континуума. Кроме того, из об­ щих моделей Коссера получепы более простые модели, отве­ чающие дополнительным кинематическим связям: материаль­ ная поверхность Кирхгофа и безмомептпая поверхность, мате­ риальная линия Кирхгофа и безмомеитная линия.

G нозидий теории ориентировашхых сред континуум Коссера, калгдая точка которого обладает поступательпыми и вращатель­ ными степепями свободы, имеет только один направляющий вектор. Его роль играет вектор единичной длины, указывающий ггаправлепие оси вращения данной точки континуума. Это от­ носится к среде Коссера любой размерности. Электрически по­ ляризуемая среда C векторным полем поляризации — пример

коитипуума с одним направляющим вектором, т. е. контииуума Коссера. Для композитных сред, описываемых моделью Kocceра, направляющим мо/кет быть вектор ориентации армирующе­ го волокна НЛП слоя в окрестности данной точки. Модели дефор­ мируемых оболоч01ч, иластип и стсржиеи дают специальные, практически важные примеры двумерных и одномерных сред Коссера.

Работы, рассмотренные в настоящем параграфе, так же как и содержание второго и третьего параграфов, представляют один из двух основных способов построения нелинейных моделей де­ формации оболочке- и стержнеобразпых тел. По своей сути этот способ яв.чиется аксиоматическим. В английской специальной ли­ тературе его принято называть прямым [72, 95]. Он с самого начала т])а1;тует оболочку как материальную поверхность, стержсш. — как материальную линию п устанавливает законы 1гх деформирования под действием обобщенных внутренних и внеш­ них сил. .Ль'сиоматнческнй способ нгпорпрует пространственную структу])у оболочки IIO толщине, стержня — по сечению и не даот конструктивных приемов построения определяющих урав- IICHIiii и восстановления об'ьс.мных нолей перемещеппн, дефор­ маций II напряжений к оболочке- и стержнеобразпых телах.

Указанные псоиределенностп раскрывает другой — аппроксимационньп! способ построения моделей умспьшеппой размер­ ности для деформируемых тонких тел. За исходную он принпмаст трехмерную формулировку задачи. Уменьшение размерно­ сти достигается той или iiiioii аннроксимацией объемного поля перемещенш! но нанравленням малых размеров тел. Реализации аппрокси.мационного нодхода и сопоставлению конструируемых па его основе обобщенных моделей деформации топких тел C аксиоматическими люделями посвящены следующие главы книги.

Г л а в а 2

НЕЛИНЕЙНЫЕ МОДЕЛИ ДЕФОРМИРУЕМЫХ ОБОЛОЧЕК

В главе реализован аппроксимационный способ по­ строения двумерных нелйпейиых моделей деформируемых оболочк'ообразных тел.

Деформация оболочки как простраиствеппого тела предпо.чагается безмоментпой. Иначе говоря, оболочка изготовлена пз материала, не проявляющего локальных моментпых свойств. Поэтому пространственная деформация оболочки описывается нелинейной системой уравпений безмоментного трехмерного кон­ тинуума. Для построения обобщенных двумерных моделей обо­ лочки ее деформация подчиняется определенным кинематическим

в9

п динамическим связям. Наиболее общая двумерная момептиая модель оболочки, определяющая все компоненты пространствен­ ного тензора деформации, получена при наложении только ки­ нематической связи, обеспечивающей линейное распределение поля перемещений по толщине оболочки. Путем дополнитель­ ных кинематических п динамических ограпичешп! выделены упрощенные варианты этой модели: типа Коссера, Кирхгофа — Лява и безмоМентная модель.

§ 1. НАЧАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ОБОЛОЧКИ

Под оболочкой понимается твердое тело, материал ко­ торого распределен тонким слое»! вдоль некоторой (базовой) по­ верхности.

Пусть континуум, образующий оболочку, является безмоментным и в начальный момент времени (до деформации) занимает

верхностью 3^, Параметры х\ х- определяются как внутренние

щая оболочку, представима объединением двух пепересекающих-

новленный в пей единичный вектор нормали к базовой поверх­ ности, то позиционный вектор X точки-оригинала определяется равенством

Введенной системе координат ставятся в соответствие два начальных базиса: трехпараметрический A^r(X), заданный по всей области и двухпараметрический ал^(х), заданный па ба­ зовой поверхности. По определению

Следствием (2.1.1) и (2.1.2) являются равенства

связывающие трехпараметрический базис с двухпараметриче-