Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1308 вузов, 5222 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Методы самосогласования механики композитов

..pdf
Скачиваний:
10
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
4.75 Mб
Скачать
☆

для одноточечных моментов деформаций для периодической < εpεp > и квазипериодической < εε > структур, использованное при записи граничных условий (3.149) при постановке вспомогательной краевой задачи (3.148), (3.149) для периодической структуры. Решение для периодической структуры может быть получено известными методами осреднения [5, 8, 56, 60], например методом локального приближения [60].

Решение тестовых задач. На рис. 3.1 и 3.2 представлены ре-

зультаты сравнения расчета (3.150)–(3.152) коэффициентов концентраций первого aVF , aDF и второго aVVF , aDDF порядков объемной

и сдвиговой деформаций в однородных волокнах ( F = 1 ) стеклопластика (см. рис. 3.1) и углепластика (см. рис. 3.2) в зависимости от величины наполнения vo для различных монодисперсных (см. рис. 1.4, а, б) и по-

лидисперсных (см. рис. 1.1, г, е) моделей случайных структур. Упругие характеристики фаз исследуемых композитов следующие: модуль Юнга E для матрицы ЭДТ-10 равен 2,91 ГПа и коэффициент Пуассона ν = 0,36, для стекловолокна – 74 ГПа и 0,21, для углеволокна – 370 ГПа и 0,15 соответственно.

Графики () на рис. 3.1 и 3.2 построены для полидисперсной модели (см. рис. 1.1, е) и рассчитаны на основе кусочно-постоянной

аппроксимации (1.51) приведенного поля вероятностей

ω(ξo ) . Слу-

чайные структуры (см. рис. 1.4, б) для кривых ( , )

образованы

размещением центров круговых сечений волокон в случайно выбранные узлы идеальной периодической решетки с ячейкой в виде правильного треугольника при минимальной гарантированной прослойке матрицы между волокнами 5 и 10 % от радиуса волокна соответственно. Случайная структура для кривой () задана реализацией фрагмента взаимного расположения круговых сечений волокон (см. рис. 1.4, а) при величине относительного объемного содержания волокон vo = 0,6; фрагменты для других значений vo < 0,6 обра-

зованы соответствующим уменьшением радиусов круговых сечений волокон при фиксированных значениях координат их центров.

181

Рис. 3.1. Коэффициенты концентраций 1-го aVF (а), aDF (б) и 2-го aVVF (в), aDDF (г) порядков объемной и сдвиговой деформаций в волокнах стекло-

пластика: , – для полидисперсных, – для монодисперсной и – для общего видаструктур, • – решение метода локального приближения [60]

182

Рис. 3.2. Коэффициенты концентраций 1-го aVF (а), aDF (б) и 2-го aVVF (в), aDDF (г) порядков объемной и сдвиговой деформаций в волокнах углепластика (обозн. на рис. 3.1)

183

На рис. 3.3 и 3.4 представлены рассчитанные значения эффективных коэффициентов упругости 1-го порядка: cV* , cD* – объемного

модуля плоской деформации и модуля сдвига, входящих в разложение тензора эффективных упругих свойств 1-го порядка

C*(1) = 2(c* V +c*

D),

V

D

 

и коэффициентов упругости 2-го порядка cVV* , cDD* , cVD* = cDV* , входящих в разложение тензора эффективных упругих свойств 2-го порядка

C*(2) = 4(cVV* VV + cVD* VD + cDV* DV + cDD* DD),

сучетом формул (3.9)

<σij >≡ Cijmn*(1) < εmn >, < σij σsq >≡ Cijmn*(2) < εmnεdb >

sqdb

и выражений (3.7), (3.12) и (3.13)

cV* = kM 12 + vo (kF12 − kM 12 )aV* , cD* = GM 12 + vo (GF12 −GM 12 )aD* ,

cVV* = kM 12 kM 12 + vo (kF12 kF12 − kM 12 kM 12 )aVV* ,

(3.153)

cDD* = GM 12GM 12 + vo (GF12GF12 −GM 12GM 12 )aDD* ,

cVD* = kM 12GM 12 + vo (kF12GF12 − kM 12GM 12 )aVD*

для искомых коэффициентов cV* , …, cDD* через найденные ранее (см. рис. 3.1 и 3.2) коэффициенты aV* , ..., aDD* .

Представленные на рис. 3.1–3.4 результаты подтверждают высокую точность разработанного подхода к расчету коэффициентов концентраций (3.142)–(3.146) и эффективных коэффициентов упругости (3.153) 1-го и 2-го порядков композита.

Моменты n-го порядка. Представленные подходы к вычислению условных моментов 2-го порядка (3.27)–(3.153) деформаций в f-й фазе композита могут быть обобщены на расчет моментов

< ε...ε >f произвольного n-го порядка.

184

185

186

Условные моменты деформаций < ε...ε >f

n -го порядка в f-й

фазе композита ищем в виде разложения

 

 

< ε

...ε

in jn

>

f

= A( n, f )

 

k (nε)

,

(3.154)

 

i1 j1

 

 

 

i1 j1α1β1

 

 

α1β1 ...αnβn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in jnαnβn

 

 

 

 

где соответствующий безусловный момент деформаций

 

ki( njε...) i

j

n

≡< εi

j ...εi

j

>.

 

(3.155)

 

1

1

 

n

 

 

 

1

1

n

 

n

 

 

Из формулы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑v f

< εi1 j1

...εin jn >f

=< εi1 j1 ...εin jn >

(3.156)

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следует зависимость между тензорами A( n, f )

вида

 

F +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑v f

( n, f )

 

 

= Ii1 j1α1β1

...Iin jn αn βn

(3.157)

Ai1 j1α1β1

 

f =1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

in jn αn βn

сучетом разложения (3.154), где I – единичный тензор (2.148). Предполагаем независимость тензоров A( n, f ) от условий нагружения ком-

позита на макроуровне.

Тензор концентраций условных моментов деформаций n-го порядка на f-й фазе композита A( n, f ) будем искать в виде

A(n, f )

= a(n, f )T (t1 )

...T

(tn )

β

,

(3.158)

i j α β

t

...t

n

i j α β

i

j α

n

 

1 1 1 1

1

 

1 1 1 1

n n n

 

 

...

in jn αnβn

где индексы t1, ..., tn принимают значения 1, 2 и по ним подразумевается суммирование, объемный и девиаторный тензоры

T(1) ≡ V , T(2) ≡ D ,

(3.159)

искомые коэффициенты a(n, f ) являются коэффициентами концентра-

t1 ...tn

ций соответствующих моментов n -го порядка для объемных εV

187

и сдвиговых γ12 деформаций на f-й фазе композита. Например, для случая, когда t1 =... = tn =1, имеем

a( n, f ) =

< (εV )n >f

 

,

(3.160)

F +1

< (εV

)n

 

1...1

 

 

 

 

 

∑v f1

>f1

 

 

f1 =1

 

 

 

 

 

 

когда t1 =... = tn = 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

a( n, f ) =

< (γ12 )n

>f

 

 

 

(3.161)

F +1

< (γ12 )n

 

 

 

2...2

 

 

 

 

 

∑v f1

>f1

 

 

f1 =1

 

 

 

 

 

 

с учетом равенств (3.154)–(3.159).

 

 

 

 

 

 

Таким образом, задача расчета условных моментов деформаций

< ε...ε >f

n-го порядка в f-й фазе композита сводится к вычислению

2

n

коэффициентов at1 ...tn

на основе решения соответствующих 2

n −1

 

 

( n, f )

 

локально-осредненных краевых задач обобщенного метода самосогла-

сования.

 

 

 

 

 

 

(3.160) и a1...12

определяются

Например, коэффициенты a1...11

 

 

 

 

 

 

 

( n, f )

(n, f )

 

из решения 1-й локально-осредненной краевой задачи вида

 

∂

 

I( n)

 

 

∂

~ I( n)

 

 

 

 

amndb

(ξ)

 

ud

(ξ) = 0

(3.162)

 

∂ξn

∂ξb

 

 

 

 

 

 

 

 

с граничными условиями

 

 

 

 

 

 

 

 

~I( n)

 

( nε)

 

 

 

(3.163)

 

utn−1

= kt1 ...tn−1tn δt1t2 ...δtn−3t n−2 ξtn

при ξ → ∞ . Поле упругих свойств aI( n) (ξ) в (3.162) есть

aI( n) (ξ) = 2n [

a1(...n11) (ξ)V +

a1(...n12) (ξ)D],

(3.164)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

188

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

F

 

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αM (ξ)(k12M )

+

∑ αf (ξ)(k12( f ) )

−αM (ξ)(k12M )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vf a1...11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n, f )

 

 

 

 

(n)

(ξ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, (3.165)

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1...11

 

 

 

 

 

 

 

 

F

(ξ)

−αM

(n, f )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αM (ξ) +∑ αf

(ξ) vf a1...11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a1(...n12) (ξ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αM (ξ)(k12M )

n−1

+

 

F

 

(ξ)

(k12( f ) )

n−1

 

 

 

 

 

n−1

 

 

(n, f )

 

 

 

G12M

∑ αf

 

G12( f ) −αM (ξ)(k12M )

 

G12M vf a1...12

=

 

 

 

 

 

 

 

 

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

(ξ)

−αM

 

(n, f )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αM (ξ) +∑ αf

(ξ) vf a1...12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

например, когда рассматривается деформирование в плоскости изотропии однонаправленного волокнистого композита аналогично (3.160). Искомые коэффициенты a1(...n,11f ) и a1(...n,12f ) рассчитываются через

решение u

(ξ) краевой задачи (3.162), (3.163) по формулам

~I(n)

 

 

1

 

 

~I( n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫ ui,i

(ξ)dξ

 

 

 

υ

 

 

 

a( n, f ) =

 

 

(

f )

υ( f )

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

1...11

 

 

kt( n...εt) δt t ...δt

 

t

 

 

 

 

 

1

 

n

1 2

 

n −1 n

 

1

 

 

~I( n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∫u(1,2)

(ξ)dξ

 

 

 

υ

 

 

 

a( n, f ) =

 

 

(

f )

υ( f )

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

1...12

kt( n...εt)

12

δt t ...δt

t

 

1

 

n−2

 

1 2

 

 

n−3 n−2

Условные моменты деформаций

 

 

 

1

( nε)

 

< εi1 j1 ...εin jn

>f

=

 

 

∫ Ki1 j1 ...in jn

(ξ)dξ,

υ

 

 

 

 

( f ) υ( f )

 

 

 

 

 

 

где

(3.166)

(3.167)

(3.168)

K(nε ) (ξ) ≡ K(nε ) (ξ, ..., ξ) .

(3.169)

189

В (3.169) n-точечное поле условных моментов деформаций

 

 

1

N

 

 

 

 

K(nε) (ξ1

, ..., ξn ) =

∑αβ(k ) (ε(k ) (ξ1 ) ... ε(k ) (ξn )).

(3.170)

 

 

 

N k =1

 

 

 

 

Другие коэффициенты, например

a2...12

и

a2...22 (3.161), могут

 

 

 

 

(n, f )

 

(n, f )

 

быть рассчитаны из решения 2-й локально-осредненной краевой задачи вида

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

II( n)

 

 

 

 

∂

 

~ II( n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

amndb (ξ)

 

 

 

 

 

ud

 

 

(ξ)

= 0

 

 

 

 

 

(3.171)

 

 

 

 

 

 

∂ξn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ξb

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с граничными условиями

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~II( n)

=

2

n −1

 

( nε)

 

 

 

 

ξtn

 

 

 

 

 

 

 

(3.172)

 

 

 

 

 

 

 

 

utn−1

 

 

 

 

 

k12...12tn−1tn

 

 

 

 

 

 

 

при ξ → ∞ . Поле упругих свойств aII( n) (ξ) в (3.171) есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

aII( n) (ξ) = 2[

 

2(...n)21 (ξ)V +

 

2(...n)22 (ξ)D],

 

 

 

 

(3.173)

 

 

 

 

 

a

a

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2(...n)21 (ξ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

α (ξ)(G

)n−1 k + F

α (ξ)(G

 

 

)n−1 k −α (ξ)(G

)n−1 k

v a(n, f )

 

 

 

 

 

M

12M

 

f =1

 

f

 

 

 

12( f )

 

 

 

 

12( f )

 

 

 

 

M

 

12M

 

 

2...21

 

 

 

=

 

 

12M ∑

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12M f

, (3.174)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n, f )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

αM (ξ)+∑

αf

(ξ)−αM (ξ) vf a2...21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

αM (ξ) (G12 M )

+

∑ αf (ξ) (G12( f ) )

−αM (ξ)

(G12 M )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v f a2...22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n, f )

 

 

(n)

(ξ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2...22

 

 

 

 

αM (ξ) +

 

 

F

 

(ξ)

−αM (ξ)

(n, f )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∑

αf

v f a2...22

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f =1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

190

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности