книги / Физические теории пластичности

Краевые дислокации, расположенные в перпендикулярных плоскостях, не взаимодействуют своими полями напряжений, в силу чего они могут как угодно близко подходить друг к другу и пересекаться. Рассмотрим две краевые дислокации с векторами Бюргерса b1 и b2, плоскости скольжения которых ортогональны. Первую дислокацию будем считать подвижной, вторую – неподвижной. При пересечении первой дислокацией второй происходит локальное перестроение в окрестности ядер дислокаций. При этом если вектор Бюргерса первой дислокации b1 перпендикулярен вектору b2, то на второй дислокации образуется ступенька краевой ориентации b2 в направлении b1 и величиной, равной модулю вектора b1, первая дислокация при этом остается неизменной; ступенька представляет собой участок краевой дислокации. Если же векторы Бюргерса b1 и b2 параллельны друг другу, то при пересечении на каждой из дислокаций образуются так называемые перегибы, направление и величина которых равны вектору Бюргерса пересекающей дислокации; перегибы имеют винтовую ориентацию. Таким образом, пересечение дислокаций ведет к увеличению их длины, а следовательно, – энергии упругих искажений решетки вблизи ядра дислокации; для продвижения прореагировавших дислокаций требуется повышенное значение напряжения, что позволяет говорить о деформационном упрочнении при пластическом деформировании. В то же время ступеньки и перегибы могут существенно облегчать соответственно процессы переползания и скольжения дислокаций при своем движении вдоль линий дислокаций. Связано это с тем, что потенциальный барьер для локального перемещения ступеньки и перегиба существенно меньше потенциального барьера соответственно переползания и консервативного перемещения дислокаций как целого; в силу этого и требуемые для перемещения ступеньки и перегиба напряжения значительно ниже значений критических напряжений для движения дислокаций как целого.

Дислокации взаимодействуют своими полями напряжений с другими дефектами, в том числе с точечными. Как отмечалось в [51], такое взаимодействие является одной из возможных причин эффекта Портвена – Ле Шателье. Часть физиков связывают с этими взаимодействиями появление «зуба текучести» [51]. Используя введенную выше цилиндрическую систему координат, энергию Птд взаимодействия краевой дислокации с примесным атомом (точечным дефектом) можно записать как [32]

51

где Rо – радиус атомов основного материала, ∆ = Rп – Ro , Rп – атомный

Ro

радиус примеси. Силы взаимодействия определяются частными производными потенциальной энергии по координатам цилиндрической системы координат r иθ :

Приведенные соотношения, конечно, справедливы только в области выполнения принятых при их выводе гипотез и не могут напрямую использоваться при построении ОС на макроуровне. Однако в последние годы все большее распространение получают методы дислокационной динамики, клеточных автоматов, в которых рассмотренные соотношения играют главную роль.

2.3. ДЕФОРМИРОВАНИЕ МОНОКРИСТАЛЛА ДВОЙНИКОВАНИЕМ

Основным механизмом неупругого деформирования в физических теориях пластичности является движение краевых дислокаций, что подтверждено многочисленными экспериментами. Двойникование не является преобладающим видом неупругого деформирования в металлах с большим числом систем скольжения (ГЦК- и ОЦК-кристаллы) и в основном происходит в металлах, в которых скольжение дислокаций по некоторым СС ограничено (ГПУ-кристаллы). Однако экспериментально установлено, что деформирование двойникованием происходит также в ОЦК- и ГЦК-металлах при низких гомологических температурах, в материалах с низкой энергией дефекта упаковки и при повышенных скоростях деформирования. Появление двойников приводит к значительному изменению отклика материала, поскольку двойники являются эффективным препятствием для движения краевых дислокаций. Поэтому для указанных классов кристаллов при моделировании упругопла-

52

стического деформирования необходимо учитывать не только движение краевых дислокаций, но и двойникование как механизм неупругого деформирования и как механизм упрочнения.

Двойник может быть образован посредством сдвига, иллюстрация такого типа двойникования показана на рис. 2.4 (заметим, что в физических теориях пластичности для описания двойникования обычно и используется представление деформирования за счет сдвига, величина которого фиксирована для каждого типа решетки, тогда сдвиговая деформация определяется объемной долей двойников). Для рассмотрения механического двойникования в металлах введем следующие общепринятые обозначения: K1 – плоскость двойникования (габитусная плоскость), остающаяся неискаженной при двойниковании; η1 – направление двойникового сдвига; K2 – вторая неискаженная (инвариантная) плоскость; η2 – направление, лежащее в плоскости K2 и плоскости сдвига S, перпендикулярной плоскости двойникования K1 и содержащей направление сдвига η1.

Рис. 2.4. Элементы двойникования

При двойниковании кристалла должны выполняться следующие критерии:

–две плоскости остаются неискаженными: плоскость двойникования K1 и инвариантная плоскость K2;

–инвариантная плоскость K2 образует с плоскостью K1 до и после двойникования одинаковые двугранные углы.

Рассмотрим кристаллогеометрию основных типов кристаллов – ГЦК, ОЦК и ГПУ. В случае правильной упаковки в ГЦК-металлах последовательность атомных слоев имеет вид ABCABCABC… При двойниковании она меняется ABCABACBA… Двойниковый сдвиг, равный 0,707, происходит по направлениям <112> и плоскостям {111} (рис. 2.5).

53

Перечислим элементы двойникования согласно введенным выше обозначениям:

Двойниковый переход удобнее всего наблюдать в сечении, перпендикулярном плоскости двойникования. На рис. 2.5 показан двойниковый

сдвиг в направлении 112 , создающий противоположную последова-

тельность упаковки слоев по сравнению с первоначальной, так что решетка двойника является зеркальным отражением основной матрицы.

Рис. 2.5. Геометрия двойникования в ГЦК-решетке: 1 – положения атомов до двойникования; 2 – положения совпадающих атомов; 3 – двойниковые положения атомов

В ОЦК-решетках плоскости упакованы в последовательности ABCDEFABCDEF и если в этой структуре задать смещение в направле-

нии 1 11 , то образуется дефект упаковки ABCDEFEFABCD… Для об-

разования двойникового кристалла указанную операцию необходимо проделать на каждой последующей плоскости двойникования, чтобы получить последовательность упаковки ABCDEFEFDCBA. Индексы двойникования ОЦК-структур имеют вид:

54

Величина двойникового сдвига равна 0,707. Двойник схематически изображен на рис. 2.6.

Рис. 2.6. Геометрия двойникования в ОЦК-решетке (темными точками обозначены атомы в плоскости чертежа, светлыми – выше или ниже плоскости чертежа)

В ГПУ-кристаллах обнаружено достаточно много типов двойников, тип которых зависит от величины анизотропии кристалла c/a (а – длина стороны правильного шестиугольника в базисной плоскости, c – высота призмы), чем меньше это соотношение, тем больше способов двойникования [16]. Гексагональные кристаллы двойникуются по системам:

Величина и направление сдвига зависят от соотношения c/a, однако величина сдвига всегда является относительно (кубических кристаллов) небольшой и изменяется в пределах от 0,175 (c/a = 1,89, Cd) до 0,199 (c/a = 1,59, Be). Следует заметить, что в данном случае описать движение атомов с помощью сдвига невозможно [16]. На рис. 2.7 изображена геометрия двойникования в ГПУ-кристаллах, стрелками соединены начальные положения атомов до двойникования с ближайшими к ним атомами в двойнике (доказательства того, что атомы движутся в процессе двойникования по этим путям, отсутствуют).

55

кость S). При этом частичная дислокация закручивается вокруг полюс-

и развитие двойников в кристалле, является энергия дефекта упаковки (ЭДУ). Напомним, что ЭДУ численно равна силе отталкивания частичных дислокаций и определяет ширину дефекта упаковки; чем ниже ЭДУ, тем больше ширина дефекта упаковки. В материалах с высокими значениями ЭДУ расщепленные дислокации практически отсутствуют (частичные дислокации «стягиваются» в полную). Отметим, что важнейшим этапом в образовании двойника, согласно приведенному выше механизму, являлась диссоциация полной дислокации на частичные. Вследствие этого в кристаллах с высокими значениями ЭДУ можно ожидать, что деформирование двойникованием затруднено и обеспечивается деформированием преимущественно за счет скольжения дислокаций. Напротив, низкие значения ЭДУ способствуют деформированию двойникованием. Влияние на двойникование также оказывает химический состав металлов (наличие примесей); так, например, добавка кремния к железу приводит к более активному протеканию двойникования при деформировании [56]. Известно, что примесные атомы приводят к уменьшению ЭДУ, следовательно, к более интенсивному деформированию двойникованием.

Необходимо также отметить влияние температуры на двойникование. Кристаллография сдвигов дислокаций зависит от температуры испытания [55], поэтому можно ожидать влияния температуры на развитие двойникования. Из экспериментов известно, что с понижением температуры склонность материала к двойникованию возрастает. Объяснение можно дать следующим образом: напряжение Пайерлса для полных дислокаций при понижении температуры нарастает быстрее, чем для частичных дислокаций, ответственных за двойникование, что приводит к затрудненности скольжения. Кроме того, с понижением температуры падает ЭДУ, что также способствует деформированию двойникованием.

Наряду с температурными воздействиями существенное влияние на процесс двойникования оказывает скорость деформирования. Экспериментально установлено, что при деформировании со скоростями, меньшими некоторой критической скорости деформирования, двойникование

57

в образцах не происходит. Существование минимальной скорости деформирования, при превышении которой имеет место двойникование, вероятно, можно объяснить тем, что повышение скорости деформации приводит к увеличению напряжения деформирования скольжением дислокаций, поэтому в кристалле при определенных скоростях деформации достигаются критические напряжения двойникования.

2.4. ЗАКОН ШМИДА

При построении упругопластических определяющих соотношений для монокристалла часто используется формализм теории пластического течения. В последней одним из главных является понятие поверхности текучести. При этом в качестве уравнения, определяющего поверхность текучести монокристалла, обычно используется соотношение

ориентационный тензор k-й СС, m(k ) = b(k )n(k ) ; часто в качестве ориентационного тензора применяется его симметризованная составляющая

m((S)k ) = 12 (b(k )n(k ) + n(k )b(k ) ) . Первоначально закон Шмида применялся

только для определения момента начала неупругого деформирования кристаллитов, позднее он стал использоваться для произвольного момента деформирования, при этом критические напряжения τ(ck ) для ка-

ждой СС зависят от истории деформирования, и для их определения требуется формулировка соответствующих эволюционных уравнений – законов упрочнения СС (см. п. 2.5).

Отметим, что в (2.9) полагается равенство пределов текучести в k-й системе скольжения при «прямом» и «реверсивном» нагружении,

итогда модель не будет описывать хорошо известный эффект Баушингера [51]. Как этого избежать? Указанное ограничение может быть легко устранено путем переопределения понятия системы скольжения, когда система скольжения определяется нормалью к плоскости скольжения

и«положительным» или «отрицательным» направлениями скольжения

58

в ней краевых дислокаций, т.е. осуществляется удвоение числа систем скольжения:

Далее под K будет пониматься именно число систем скольжения, равное удвоенному числу кристаллографических систем скольжения. Другим вариантом, не требующим удвоения числа СС, является переход к комбинированному закону упрочнения, введение для каждой СС дополнительного параметра – «остаточных микронапряжений», и эволюционного уравнения для него.

Полагая неизменным положение кристаллографических осей (при рассмотрении больших деформаций и разворотов монокристаллов – в локальной системе координат, связанной с монокристаллом), нетрудно видеть, что соотношения (2.9) (или (2.10)) представляют собой совокупность К линейных уравнений относительно компонент девиатора напряжений s. Следовательно, в пространстве напряжений соотношения (2.9) (или (2.10)) определяют К гиперплоскостей, или К-гранник, называемый многогранником текучести. Например, для ГЦК-кристаллов поверхность текучести представляет собой 24-гранник. В работах [48] подтверждены известные данные [118, 119] о том, что в вершинах критерий Шмида одновременно выполняется или для 6, или для 8 СС; результаты согласуются также с полученными ранее в рамках модели Линя [41].

Как отмечено выше, соотношение (2.10) в физической теории пластичности часто используется в качестве критерия текучести не только для определения момента начала текучести, но и для произвольного момента деформирования. В этом случае τ(ck ) зависит от истории деформирования.

При одиночном скольжении по k-й активной системе скольжения происходит обычно увеличение критического напряжения τ(ck ) активной систе-

мы, называемое деформационным («активным») упрочнением и зависящее от величины сдвига. А что будет происходить в других СС, даже если они не являются в данный момент активными? Из физических соображений нетрудно предположить, что изменение плотности дислокаций в активных СС, сопровождающее пластическую деформацию, неминуемо повлияет на поведение дислокаций в других СС. Действительно, наряду с активным упрочнением в экспериментах наблюдается увели-

59

чение критических напряжений в других системах, где сдвиг в процессе одиночного скольжения отсутствует; такое увеличение τ(cl ) , l ≠ k

называется скрытым («латентным») упрочнением. Последнее обусловлено увеличением плотности дислокаций в активных системах скольжения, являющихся препятствиями (дислокациями леса) для дислокаций других систем скольжения, равно как и возникновением других барьеров дислокационного происхождения.

Как показывают эксперименты, при множественном скольжении увеличение критического напряжения сдвига на единицу сдвига оказывается большим, чем при одиночном скольжении. Каким образом это можно ввести в физическую модель? Тейлором был предложен закон изотропного упрочнения, согласно которому приращения критических касательных напряжений во всех активных системах скольжения одинаковы и определяются суммарным сдвигом по всем активным системам. Указанный закон широко используется в различных модификациях физической теории пластичности. Кроме того, во многих работах принимается, что деформационное и скрытое упрочнения одинаковы; в настоящей работе данное предположение также будет частично использоваться. В то же время следует отметить, что экспериментальные исследования свидетельствуют о некотором превышении латентного упрочнения над деформационным.

Нетрудно видеть, что градиент поверхности текучести в пространстве напряжений определяется соотношением:

Если изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) находится на одной из граней многогранника текучести (т.е. выполняются условия пластического деформирования), для определенности – на грани с номером l, то активной является система скольжения l, и направление приращения пластической деформации определяется градиентом к поверхности текучести. Иначе говоря, в данном случае выполняется принцип градиентальности для поверхности текучести, т.е. справедлив ассоциированный закон пластического течения. При расположении ИТН на ребре многогранника текучести приращение девиатора пластической деформации dep имеет направление, определяемое линейной комбинацией нормалей к пересекающимся граням. Аналогичным обра-

60